Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если зависящая от времени часть гамильтониана мала по сравнению с главным (стационарным) членом, то можно использовать метод возмущений. Может также оказаться, что истинный гамильтониан содержит параметры, изменяющиеся или очень медленно (адиабатически), или очень быстро (внезапно) по сравнению с периодами приближенных стационарных решений. 9 29. Нестационарная теория возмущений Теория возмущений, применяемая к системе, гамильтониан которой зависит от времени, нередко называется методом вариайии постоянных".
В нем исходят из сделанного в 9 25 допущения о том, что Н = На+ Н'. Наи„= Еаи„ (29.1) причем для невозмущенного гамильтониана Н,можно в явном виде найти нормированные собственные функции и„и собственные значения Е„, а возмущение Н' мало. Так как теперь Н' зависит от времени, то истинное уравнение Шредингера не имеет стационарных решений, и надо рассматривать уравнение, содержащее производную по времени: 1$д,-= Нр. (29.2) Разложение по певозмущенным собственным функциям. Разложим т~ по собственным функциям и„е ' """невозмущенноговолнового уравнения, зависящего от времени.
Очевидно, козффициенты и Си. работы Дирака 111. у 2у, Неотационарния теория возмущений 227 разложения также будут зависеть от времени: вр = Ва„(1)и„е ' (29.3) здесь символ Я означает одновременно суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру. Подставляя (29.3) в (29.2), получаем Ыла„и„е ' "' + яа„Еои„е * "' = Яа„(Но+ Н') и„е ш"ио (точка означает дифференцирование по времени). Заменим в правой части этого равенства Н,и„на Е„и„, умножим обе части слева на й„проинтегрируем полученные выражения по всему пространству и воспользуемся ортонормированностью функций и: 1яа,е ' Яи = Ва„е ш"и'~йяН'и„>1т. Интеграл в правой части представляет собой матричный элемент возмущения Йя„.
Введем боровскую частоту (угловую): Ея — по о>но = (29.4) тогда ая = ((й)-'ЯН;,а„е> "Я"'. (29.5) Система уравнений(29.5), взятая для всех значений >е,полностью эквивалентна исходному уравнению Шредингера (29.2); вместо функции точки вр роль неизвестной функции теперь играет совокупность коэффициентов разложения аое В связи с данным выбором представления, определяемого собственными функциями невозмущенного гамильтониана, сам оператор Н, не входит явно в (29.5).
Апроксимация теории' возмущений> состоит в замене Н' на ЛН' в (29.1) и (29.5) и в последующем разложении а„в ряд по степеням 2: а„= а1о> 1 Да1» 1 Лоа11>+... (29.6) Как и в 9 25, мы допустим, что для значений я, лежащих в промежутке от О до 1, этот ряд представляет аналитическую функцию Я. Поэтому можно подставить его в (29.5), приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 1, а в конечном результате положить 1=1.
В результате подстановки получаем систему уравнений а'~> = О; а1' >'> = (И)-'КНянаи>ев н"' г = О, 1, 2, ... (29.7) В принципе их можно последовательно проинтегрировать и получить приближенные решения с любой заданной степенью точности. 1о — 1 228 Гл. У111. Лраблимсенные методы решения нестаиионарных задач Первый порядоктеории возмущений. Первое из уравнений (29.7) показывает, что коэффициенты нулевого порядка а'$>не зависят от времени. Их значения представляют собой начальные условия задачи; они характеризуют состояние системы до того, как на нее было наложено возмущение.
В настоящем параграфе мы допустим, что лишь один из коэффициентов а'д'не равен нулю. Это означает, что до того, как начало действовать возмущение, система находилась в состоянии с определенной (невозмущенной) энергией". Результаты, которые мы получим, легко будет обобщить на случай, когда не один, а несколько коэффициентов нулевого порядка отличны от нуля. Такимобразом,положима'~>=да илид(й — т) в зависимости от того, принадлежит ли состояние т дискретному или непрерывному спектру. Интегрируя уравнение первого порядка теории возмущений, получаем ад> (1) = (1й)-' )г:Нд (р)е' д >'>1г.
Постоянная интегрирования положена равной нулю, чтобы коэффициент н'дт> был равен нулю при ~ = —, Если возмущение Н' действует в течение конечного промежутка времени, то после снятия возмущения амплитуда состояния ид(йФ и) пропорциональна компоненте Фурье (зависящего от времени) матричного элемента Н',связывающего данное состояние с начальным, причем угловая частота определяется соотношением (29.4).
Это аналогично результату, полученному в борновском приближении для амплитуды рассеяния [см. замечания в связи с формулой (28.18)). Формула (29.8) принимает особенно простой вид в том случае когда возмущение Н' в промежутке между моментами включения и выключения имеет постоянное значение.
Обозначая два указанных момента соответственно через О и 1, получаем для амплитуд первого порядка в момент 1 а'» (1) = — — ' в юды Это выражение остается справедливым и во все последующие моменты времени. Таким образом, вероятность того, что в момент времени 1 система будет находиться в состоянии й, равна >Н > 4( Нд (~в>пз(ю~ г/2) '> Это не противоречит соотношению неопределенности (З,З). Действительно, поскольну до начала возмущения прошел бесконечный промежуток времени, начальную знергню системы можно определить со сколь угодно большой степенью точности. з 2Р.
Нестпционпрная теория возмущений Зависимость множителя (1/пуйй )й)пй(еой„//2) от оуй изображена на фиг. 27. Физическая интерпретация. Высота главного пика на фиг. 27 растет пропорционально /й,/,а",,ширина его убывает обратно пропорционально /, в связи с чем площадь, ограниченная кривой, пропорциональна /. Поэтому если имеется несколько состояний /с Ф и т.
27. Зависимость множителя а!пз (спйщг/2)/снзйщ от озй Ордината пропорциональна вероятности (вычисленной в первом приближении теории возмущения) обнаружить систему в состоянии с знергией, отличающейся от энергии началь- ного состояния на анз Указана зависимастьмасщтаба па асям абсцисс и ординат от длительности возмущения Ь с энергией, почти равной энергии начального состояния т, а величины Нйт почти не зависят от /с, то вероятность нахождения системы в одном из этих состояний пропорциональна /. Этот результат представляет физический интерес, так как в конечном счете нам нужно вычислить вероятность перехода пт, отнесенную к единице времени, а для этого необходимо, чтобы полная вероятность перехода за время действия возмущения была пропорциональна времени".
О Мьг допускаем, что полная вероятность перехода во все состояния й достаточно мала по сравнению с единицей, так что „населенность" состоя- 230 Гя.. У1П. Приближенные методы решения неетационарных задач Отсюда следует, что ш имеет определенное значение лишь в том случае, если конечное состояние й принадлежит непрерывной или почти непрерывной группе состояний.
Разброс энергии конечных состояний (Е, = Е +лгал ), показанный на фиг. 27, связан с соотношением неопределенности (3.3) между энергией и временем. В самом деле, включение возмущения Н' можно рассматривать как способ измерения энергии системы, основанный на переводе последней в одно из состояний к (з силу наличия возмущения эта энергия необязательно совпадает с начальной). Необходимое для измерения время равно г, так что предсказываемая соотношением (3.3) неопределенность в энергии по порядку величины равна $/1; это находится в соответствии с шириной главного пика на фиг. 27. Интересно отметить, что закон сохранения энергии, соответственно дополненный йринципом неопределенности, выйолняется автоматически, так что его не нужно вводить в качестве специального допущения.
Вероятность перехода. Чтобы получить явное выражение для и, удобно предположить, что система находится в большом кубе периодичности с ребром Е (см. $ 10). Тогда собственные функции и„ будут принадлежать дискретному спектру и могут быть нормированы на единицу в кубе объема 1'. Рассмотрим теперь некоторую группу конечных состояний и, энергия которых почти не отличается от начальной, и допустим, что элементы матрицы возмущения Н; слабо зависят от х.
Определим плотность конечных состояний д(й) таким образом, что величина о(й)бЕз представляет собой число состояний с энергией в интервале гуЕз, и будем считать, что о(!г) также является медленно меняющейся функцией уг. Вероятность перехода в одно из состояний данной группы, отнесенную к единице времени, можно записать в виде вг = 1 ' ~ч, ! айо (1) /э = Г-' 1 / агп(1) )з Р Я йЕм (29.10) причем ребро куба Е предполагается настолько большим, что суммирование по й можно заменить интегрированием по Ез Так как наибольший вклад в интеграл вносят уровни, лежащие вблизи точки Е, = Е, а функции Н;„и р(й) изменяются медленно, то их можно вынести за знак интеграла и переписать соот- ния т заметно не уменьшается, Это эквивалентно первоначальному допущению о малости возмущеняя, которое означает, что для физически интересных промежутков времени 1 начальное состояние изменяется мало.
Однако эффект может все же оказаться вполне заметным, если одинаковому воздействию подвергается большое число независимых систем. Е 29. Неотаиионарная теория воэяеои!ений 231 ношение (29.10) в виде ! 4)Н;,„!о . в!ав(„я е!2) (29.11) здесь индекс 1е характеризует типичное состояние из группы состояний„энергия которых близка к Е . Интеграл в (29.11) равен — ~) х- з(п хйх= — вв! !Гв.в! 2 2 и окончательно мы получаем — а~(й)~ц' (в (29.12) Как и следовало ожидать, эта величина не зависит от и Может существовать несколько различных групп конечных состояний !е с энергией, близкой к Е, но таких, что элементы матрицы возмущения Ня и плотность состояний в(й), будучи почти постоянными для состояний одной группы, имеют разные значения для разных групп.
В этом случае формула (29.12) дает (отнесенную к единице времени) вероятность перехода в состояния отдельной группы; такой же вид имеют и выражения для вероятности перехода в состояния других групп. Эффективное сечение рассеяния. Применим прежде всего формулу (29.12) для вычисления !г в случае, когда начальное и конечное состояния описываются собственными функциями оператора импульса свободных частиц (плоскими волнами), а роль возмущения играет потенциальная энергия ~"(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
