Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Неупрдгие спюлкновенин В этом приближении первая сумма в (30.12) принимает вид ' (к' ~итг ' В х 1 Р (г") с*'" ~' " лх", (30.17) где ⻠— вектор, параллельный й, с абсолютной величиной н, определяемой формулой (30.14). Аналогично для второй суммы в (30.12) получим ( л-ю1 в х ( Р,„(г") с'"''е" "Ъ", (30.18) где вектор х' параллелен й, а его абсолютная величина определяется формулой (30,14) с заменой в„ на в . Чтобы найти дифференциальное эффективное сечение, нужно составить сумму выражений (30.17) и (30.18), подставить ее вместо Н;, в (30.б) и заменить там 1е на 1е„. По закону сохранения энергии Обсуждение формулы для эффективного сечения.
Интегралы, фигурирующие в (30.17) и (30.18), обладают характерной структурой, связанной с особенностями применения теории возмущений к задаче о столкновениях. Они очень малы, за исключением тех случаев, когда абсолютное значение волнового вектора в показателе степени по порядку величины не превышает 1/а, где а — константа порядка линейных размеров атома (лишь при этом функции Р заметно отличны от нуля). Отсюда следует, что выражение (30.17) заметно отлично от нуля, только если векторы йо, ве и й„почти одинаковы как по величине, так и по направлению.
Поскольку падающий электрон, по предположению, движется быстро, абсолютные значения этих векторов во всяком случае почти одинаковы. Поэтому эффективное сечение будет заметно отлично от нуля только при условии, что векторы й и й„почти параллельны й,. Легко видеть, что допустимое угловое отклонение векторов от параллельности по порядку величины составляет 1/1еоа. Аналогично выражение (30.18) заметно отлично от йуля только в том случае, когда вектор и' и, следовательно, вектор й почти антипараллельны й, и й„ ; при этом оба последних вектора почти параллельны друг другу.
Оба выражения вместе показывают, что вероятность возбуждения двух атомов имеет заметную величину лишь в том случае, когда линия, соединяющая ядра, почти параллельна направлению 246 Гл УлП, Приближенные менюды реиеения неегиационарныя задач движения падающего электрона. Очевидно также, что эффективное сечение убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между двумя атомами [г, как и следовало ожидать. й 31. Адиабатнчеекое приближение н апрокснмация внезапных возмущений В этом параграфе мы рассмотрим приближенные методы, в которых определенные условия накладываются не на величину зависящей от времени части гамильтониана, а на скорость ее изменения со временем. Если гамильтониан с течением времени меняется очень медленно, то можно ожидать, что приближенными решениями уравнения Шредингера будут стационарные собственные функции оператора энергии, вычисленные в данный момент времени (собственные функции,,мгновенного" гамильтониана).
Таким образом, какая-либо собственная функция, найденная для некоторого момента времени, непрерывно переходит в соответствующую собственную функцию для более позднего момента времени (адиабатическое приближение). Если же гамильтониан изменяет свой вид за очень короткий промежуток времени, то можно ожидать, что волновая функция при этом изменится незначительно, хотя коэффициенты разложения ее по собственным функциям начального и конечного гамильтонианов могут быть совершенно различными (апроксимация внезапных возмущений). Мы выясним, в какой степени применимы приближения обоих указанных типов.
Разложение по мгновенным собственным функциям оператора энергии. Рассмотрим прежде всего адиабатическое приближение и попытаемся решить уравнение Шредингера [ —,= Н([) чр, (31.1) где Н(1) — медленно меняющаяся функция". Собственные функции оператора энергии в каждый данный момент времени предполагаются известными: Н ([) и„(1) = Е„(1) и„(1). (31.2) Предположим также, что функции и„ортонормированы, собственные значения не вырождены и принадлежат дискретному спектру; фазы функций и„будут выбраны позднее. Пусть в нулевой момент времени волновая функция известна; для более поздних моментов времени положим „= т.
„(а~из р~ — „'.[е„ачее~. и1а а о В См. работы Бориа и Фока [41 и Гюттаагера [51. Е ап Адиабаппинесное приближение 247 Подставляя это в (31Л), получаем ( 1л ~(а„и„+ а„-ба — — „бпи„Е„) ехр ~ — й ) Б„(р)а1'1= Так как, согласно (31.2), Ни„= Е„и„, то последний член слева взаимно уничтожается с правой частью. Умножая слева на цн и интегрируя по всем координатам системы (что обозначается символом )е(х), получаем Х "р[е 1(е — е )ее~1 е —;е*. а1.4) Теперь попытаемся найти такое выражение для интеграла в правой части (31.4), которому было бы легче дать физическое истолкование. Дифференцируя соотношения (31.2) по 1, получаем ан ди„дп„ ди„ вЂ” и +Н вЂ”,"= — "и +Š— ". д~ " д~ д~ " " де Умножая слева на и, и интегрируя по координатам, получаем ) п„д и"ох+ ) пнН а бх=Е„') йн а еех, )с+п.(31.5) Пользуясь соотношением (22.10) и учитывая, что оператор Н зрмитов, второй интеграл в левой части (31.5) можно переписать следующим образом: йпН ц" е'х = 1 (Нп") дг е1х = Ен ( пн Подставляя полученное выражение в (31.5), получаем для интеграла в правой части (31.4) дН аи 1 ап ( д ) ипбе йн — и ах = — ', л + 1е.
ае Ен — Пп Выбор фаз. Чтобы переписать уравнение (31.4) в желательной для нас форме, нужно знать выражение для интеграла ~ й„—,айх. Сейчас мы покажем, что этот интеграл является чисто мнимым и что его можно сделать равным нулю, если соответствующим 248 Гл. У111, Приближенные методы реисенин неетаиионарныл ладан образом выбрать зависимость фазы функции и„от Е Дифферен- цируя нормировочный интеграл для иеи получаем Поскольку интегралы, стоящие справа, комплексно сопряжены друг с другом, каждый из них должен быть чисто мнимым: Г н„зс сст = 1а (1).
Изменим теперь фазу функции и„на некоторую величину 7(1). Это можно сделать, поскольку в любой момент времени фазы собственных функций произвольны. Для новой собственной. функции и„' == иоестсо имеем 1 й' - з-"-его = ) 'й„е ' -з — (и„ест)Ът = са(1) + 1-~ у(1). (31.7) с Таким образом, если положить у(У) = — с а(р)бс1', то интеграл в левой части (31.7) обратится в нуль. В дальнейшем мы будем считать, что функция и„всюду, в том числе и в (31.б), заменена на и„', йричем штрихи будут ойускаться. Полагая, как и выше,'йсон„= Ен — Е„, подставим (31.б) в (31.4), ч — Х' „'," ~ р / ,. о )] ф . сзс.сс о Штрих у знака суммы означает, что слагаемое с и = й исключается из суммирования.
Последний член в правой части представляет собой йп-й матричный элемент оператора дН1дб Адиабатическое приближение. Система уравнений (31.8) в точ- ности эквивалентна уравнению Шредингера (31.1), коль скоро 1с принимает все возможные значения. Допуская, что все величины (вт аснси и„дНсд1) в правой части (31.8) не меняются со временем, оценимпорядок величины а„. Допустим также, что при 1 = 0 систе- ма находилась в состоянии и; тогда можно положить а„= д„. Таким образом, мы получаем знс ан~ — ~ — с е '", се+т, Моны ( дС Сны откуда после интегрирования имеем ан(1) ., ( —,) (ес"и ' — 1), 1с+ т. (31.9) В пределах принятых выше апроксимаций из формулы (31.9) следует, что даже если Н изменяется со временем на конечную Е З1.
Адиибапш»еское приближение 249 величину, что амплитуды вероятности всех состояний, кроме начального, осциллируют, не обнаруживая регулярных изменений даже за длительное время. Соответственно, если изменение гамильтонианазаборовский периоддля перехода т й мало по сравнению с разностью энергий этих состояний, то вероятность перехода будет мала.
Изменение амплитуды й-го состояния за большой промежуток времени по порядку величины равно отношению двух указанных величин: О! и.) (дн/дг) (31.10) пе — е1» Связь с теорией возмущений. Особое положение возникает в том случае, когда частота изменения гамильтониана почти совпадает с частотой одного из переходов, скажем (и, . Это — случай резонанса, и,в соответствии с з 29 можно ожидать, что даже небольшое изменение Н может привести к заметным изменениям амплитуды а, для большого промежутка времени. В этом случае соотношение (31.10) уже не выполняется, пренебрегать зависимостью дН(а( от времени нельзя и переход от (31.8) к (31.9) оказывается неоправданным.
Чтобы более тщательно рассмотреть этот случай, допустим, что лишь небольшая часть гамильтониана осциллирует с угловой частотой и), близкой к (и, Н = Не + Н' з(п юг, — = о)Н' сод (о1, дН д1 где оператор Н' мал по сравнению с Н„причем как Н', так и Н, не зависят от времени. Если теперь пренебречь зависимостью а„, еи, и и»от времени и положить, как и выше, а„= б„, то система (31.8) примет вид Н~р»сиее»1 (.д 1 а — — е Зеин е»Н Ъи (( Нтч»)(+ ((»Н~» — »)~) = — (е +е лае»нт Она легко интегрируется; в результате получим Отсюда следует, что адиабатическое приближение (31.10) оказывается непригодйым, если и), ° -Ь и), так как в этом случае выражение (31.11) систематически возрастает с течением времени. Если и)н,„ близко к +ю, то можно пренебречь первым членом в скобках и отношение (и,'(ие, входящее в множитель перед скобками, заменить на +1; если же и), близко к — еи, то можно пренебречь вторым членом в скобках, а (и/(ин заменить на — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
