Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из формулы (18.7) при у = 1 нетрудно видеть, что в лабораторной системе координат сечение рассеяния, отнесенное к единице угла (но не к единице телесного угла), равно о„(В,) Мп О, = 4соз О,э!п Оо()/(20в) ~'+ + ) /(л — 20,) !в ~ 2 йе [/ (20о) / (л — 2В )1 ). Это выражение симметрично относительно направления О = 45' й ЗЗ. Спиновый момент количества движения Изложенную в предыдущем параграфе теорию тождественных частиц необходимо теперь дополнить, включив в нее спиновый момент количества движения частицы. В $ 24 было показано, что оператор М, свойства которого характерны для момента количества движения, допускает бесконечное число матричных представлений. Для каждого представления величину М' и одну из компонент М, например М„можно привести к диагональному виду; собственными значениями этих операторов будут соответственно /(/+ 1) й' и система чисел /й, (/ — 1) й, ..., — /й, где 2/ — нуль или положительное целое число.
Если отказаться от представления М в виде (г х р), где г и р соответственно радиус-вектор и импульс частицы, то оператор М' может коммутировать с гамильтонианом частицы. В этом случае М', а следовательно, н / являются интегралами движения н характеризуют частицу в любой момент времени. Соответствующий внутренний момент количества движения называется олином частицы. Имея дело со спином, мы будем заменять М на 8, а/на з. Связь между спином и статистикой. Как отмечалось в $24, для элекгронов, протонов и нейтронов я = '/„ а для н-мезонов э = О. Комплексы достаточно крепко связанных друг с другом частиц тоже можно рассматривать как „частицы" и характеризовать определенной величиной полного внутреннего момента количества движения, если взаимодействие между ними не влияет заметно на внутреннее движение в комплексах н относительную ориентацию спннов составляющих их элементарных частиц.
Здесь дело обстоит совершенно так же, как и со статистикой комплексов, рассмотренной в предыдущем параграфе, 264 Гл. 1Х, Толсдественные частица и спин Правило сложения моментов, рассмотренное в $ 24, можно обобщить, определив возможные значения полного внутреннего момента количества движения, который мы будем называть сппном, для лю бого комплекса элементарных частиц.
Пусть комплекс содержит и частиц со спином половина (э = т/э), и произвольное число частиц со спином нуль (э = О). Если внутренним орбитальным моментом количества движения этих частиц можно пренебречь, то при и четном(не четном) э может принимать все целые(полуцелые) значения от 0(х/ ) до п]2. Можно показать, что орбитальное квантовое число— всегда целое (или нуль)"; при его учете максимальное значение з возрастает, но по-прежнему э равно нулю или целому числу при четном п или половине нечетного целого числа при нечетном и, Мы видим, таким образом, что как для известных элементарных частиц, так и для их комплексов, обладающих определенным спи ном, существует однозначная связь между спином н статистикой. Частицы или комплексы с нулевым или целым спином описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы или комплексы с полуцелым спином описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дирака.
Теоретические соображения, основанные на релятивистской квантовой механике", позволяют ожидать наличия такой связи также и для других элементарных частиц, которые, как можно предполагать, существуют, но спины и статистика которых еще неизвестны (другие мезоны н нейтрино). Спнновые матрицы н собственные функции. Чтобы включить спин в формализм, развитый в $ 32, нужно предположить, что каждое из чисел 1, 2,..., и, входящих в аргументы у и и, характеризует не только три пространственные координаты частицы, но также и ее спиновую координату.
Спиновая координата отличается от пространственных в том отношении, что для частицы (или комплекса частиц) со спином э она принимает только 2э + 1 значений, тогда как каждая пространственная координата может принимать бесконечное число значений. Таким образ~м, нспиновое пространство'" состоит нз конечного числа точек. Спиновая волновая функция отдельной частицы полностью определяется заданием 2э+ 1 чисел, тогда как пространственная волновая функция задается несчетно бесконечной системой чисел (представляет собой непрерывнуэо функцию пространственных координат)з. '1 В 1 14 и 24 показано, что это верно для невэаимодействующих частиц, движущихся в центральном силовом поле; результаты, однако, не изменя. ются и при наличии взаимодействия между частицами.
П См. работу Паули 161. '1 Если пространственные и спиновые движения достаточно сильно связакы друг с другом, то пространственная волновая функция может зависеть от спииовой координаты; в этом случае необходимо задать 2э+ 1 пространствен н ы х фу н кци й. е ЗЗ. Спиновий момент ноливеетва движения г65 Удобный набор ортонормированных спиновых функций одной частицы дают нам нормированные собственные функции матриц Мв и М, (24.15). Эти собственные функции представляют собой матрицы с одним столбцом и (2з + 1) строками, все элементы которых, кроме одного, равны нулю. Если, например, з = /„то, как легко видеть, четыре спиновые собственные функции имеют вид "/г) о' "(г) о' "С г> 1' "( г) о (33.1) Соответствующие нм собственные значения Я, равны '/, $, '/, й, †'/, В и †'/,й.
Свойство ортонормированности легко проверить, умножая по обычному правилу эрмитово сопряженное значение спинозой функции на эту же или на другую функцию: и т, д. Если известно несимметризованное решение, то симметричную и антисимметричную волновые функции системы многих частиц с учетом спина можно получить методом, изложенным в предыдущем параграфе.
Иногда несимметризованные решения удобно выбирать в виде собственных функций квадрата оператора полного спина системы (я, + Бв + ... 8„)в и г-компоненты этого же оператора Я + Я„ -т- ... + Я„,. Если гамильтониан не содержит членов, описывающих взаимодействие спина с орбитальным моментом, то эти величины являются интегралами движения. Кроме того, выбранные таким образом функции оказываются полезными в качестве волновых функций нулевого приближения, если только спиновые взаимодействия достаточно малы, и их можно рассматривать как возмущение.
Поскольку в отсутствие спиновых взаимодействий любое решение можно представить в виде линейной комбинации собственных функций оператора полного спина, то подобный выбор несимметризованных решений не нарушает общности рассмотрения. Столкновения тождественных частиц. Теперь, предполагая, что взаимодействие между частицами не зависит от спина, можно исследовать его влияние на характер столкновений тождественных частиц или их комплексов. Поскольку для каждой частицы имеется 2з + 1 спиновых собственных функций, то для двух частиц суще- 265 Гл, лХ.
Тсждсстеенныс насгпицм и спин ствует всего (2а + 1)е независимых спиновых функций, каждая из которых получается перемножением спиновых функций отдельных частиц. Вместо этих произведений можно пользоваться любыми их линейно независимыми комбинациями, число которых равно (2а + 1)'. Последние удобно разделить на три класса. Первый класс составляют произведения одночастичных функций, соответствующих одинаковымспиновымсостояниямчастиц,т.е.одному и тому же собственному значению глй оператора Я;. 01 (т)62(т) 8 6 Щ к 8 Здесь индексами нумеруются частицы: всего существует, очевидно, 2а + 1 таких состояний.
Во втором классе содержатся суммы произведений: и,(т') еа(т') + о,(т")е (и'), гл'+ и". Всего существует я (2а + 1) таких состояний. Третий класс образован разностями произведений: и,(т') еа(т') — е,(т") иа(гл'), т'+ т". Число таких состояний также равно з(2а+ 1). Очевидно, функции первых двух классов симметричны, а третьего класса — антисимметричны относительно перестановки спиновых координат. Таким образом, из полного числа (2а+ 1)е состояний имеется (з+ 1)(2а+ 1) симметричных и а(2з+ 1) анти- симметричных состояний.
При целом (полуцелом) з полная волновая функция симметрична (антисимметрична). Следовательно, симметричной спиновой функции соответствует симметричная (антисимметричная) функция пространственных координат; антисимметричной же спинозой функции соответствует антисимметричная (симметричная) функция пространственных координат. Таким образом, если при столкновениях все спиновые состояния появляются с одинаковыми вероятностями", то при целом а относительное число столкновений, описываемых волновой функцией (32.9) с верхним знаком, будет равно (а + 1)Я2а + 1), а число столкновений, описываемых этой функцией с нижним знаком, будет составлять з/(2а+ 1). Этот результат можно объединить с аналогичным результатом для полуцелого спина, переписывая формулу (32.10) а(О) = )/(О)(и+ !~(л — О) ~а+ 2Ке[1(О)1(се — О)] (33.2) (здесь предполагается, что функция 1 не зависит от у).
Формулу (33.2) можно вывести также с помощью сделанного ранее замечания о том, что частицы можно отличить друг от друга, Н См. иримечаиие ! иа стр. 227З. З ЗЗ. Спиновий моменги количества движения 2ат если компоненты спина у них различны; в этом случае интерференционный член в (32.10) обращается в нуль. Относительное число столкновений, в которых участвуют частицы с различными компонентами спина, равно 2э/(2з + 1). В остальных случаях, доля которых составляет 1/(2З + 1), частицы имеют одинаковые компоненты спина, и симметрия или антисимметрия пространственной волновой функции (верхний или нижний знак в интерференционном члене) определяется в зависимости от того, будет ли спин целым или полуцелым. Сниновые функции электрон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
