Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В обоих слу- 25О Гл. УШ, Праблаженние мептда решения неетацаанарннх ладан чаях формула (31.11) согласуется с результатом теории возму» щениИ (29,17). Скачкообразное изменение Е7. В качестве введения к апрокси- мации внезапных возмущений рассмотрим случай скачкообразного изменения гамильтониана от одного значения к другому, причем как первое, так и второе значения постоянны во временй. Пусть Н = Н, при 1«О и Н = Н, при 1 > О, причем Наин Еаит Нгат Етвт и функции и и в образуют полную ортонормированную систему. (Они необязательно принадлежат дискретному спектру.) Общее решение можно записать в виде к и ! !я у~ = Яани„е ", 1«- О, (31.! 2) Ян в е — ьзти" 1) О где коэффициенты а и Ь не зависят от времени.
Так как волновое уравнение (31.1) первого порядка по времени, то во всех точках пространства при 1 = О волновая функция (но не ее производная по времени) должна быть непрерывной функцией времени. Это позволяет выразить величины Ь через а, приравнивая оба решения (31.12) при 1 = О. Умножая на какую-нибудь из функ- ций И и интегрируя затем по координатам, получаем 0 = Яра )е вти„е(е. (31. 13) Появление конечных состояний и, энергия которых отлична от начальной, связано с тем, что внезапно изменяющийся гамильтониан имеет компоненты Фурье,' соответствующие нулевым частотам (см.
$29). Апрокснмацня внезапных возмущениИ. Апроксимация внезапных возмущениИ заключается в применении соотношениИ (31.13) для случая, когда гамильтониан изменяется за очень короткий, но конечный йромежуток времени га.' Чтобы оценить возникающую при этом ошибку в коэффициенте Ь, рассмотрим задачу, которая хотя и является несколько искусственной„но зато допускает простое формальное решение. Пусть Н = Н, при 1 «О, Н = Н, пРи Г ) Гаи Н = Н, пРи О <1< еа. ПРомежУточныйгамильтониан, предполагаемый не зависящим от времени, имеет полную ортонормированную систему собственных функций Нара = Еяшя.
Истинное решение можно (с постоянными коэффициентами) разложить по функциям ач еР = Ясявяе 'и""Я, О < 1 «1„ Ь 37. Адиабатическое ириближение Условие непрерывности при 1 = О дает с„= Я„а„1 Ф„и„сЬ. (13. 14) Аналогично, используя условие непрерывности при 1 = 1, и принимая во внимание (31.14), получаем = Я„Я„а, 1" и',„и„йт (и'в;Иге 'ш' ~"'~им= = Я„а„1 1 б' (В,в;Ц,е ' ' "' ')и„0т0т', (31.15) где штрих означает другую группу переменных интегрирования. В силу условия полноты (10.11) выражение в скобках в последнем члене (31.15) при г, = О равно произведению д-функций от разности штрихованных и нештрихованных координат; при этом выражение для Ь совпадает с (31.13), как зто и должно быть.
Ра™зница между точным (31.15) и приближенным (31.13) выражениями для Ь определяется разностью между ехр( — 1(Е, — Е,„уел) и единицей. Эта разность мала, если время 1 мало по сравнению со всеми периодами Ь/(Е~ — Е ), соответствующими состояниям Ь и т, в которые может попасть система при изменении Н. Полезным критерием применимости указанного приближения можно считать малость 1, по сравнению с периодами начальных состояний, так как новые состояния, характеризующиеся значительно меньшими периодами (т. е.
более высокими энергиями), возбуждаются с относительно малыми амплитудами. В тех случаях, когда апроксимация внезапных возмущений оказывается полезной, ошибка в коэффициенте Ь„ (а следовательно, и в определении т) по порядку величины равна отношению 1 к типичному начальному периоду, Временное возмущение. Интересным примером применения соотношения (31.15) является случай, когда начальный и конечный гамильтонианы одинаковы (Н, = Н, э = и ) и в начальныИ момент система находится в определенном состоянии п.
Тогда, если время 1, настолько мало, что указанный выше критерий выполняется, экспоненциальное выражение в последнем члене (31.15) можно разложить в ряд, ограничившись двумя первыми членами: г —,8,,У [1 ~а~(Е Е )~п 1 = 1 1 йжвдви [1 — 'В„' (Н; — Е4 „Ит Д '. Пользуясь условием полноты и ортогональностью функций и и и„ при т~п,атакжепринимаяво внимание равенство Е и =Н,и 252 Гл. КНЬ ссридлизненное методы решенин нееасационарносл задач и соотношение (22.10), зто выражение можно переписать в виде Ьт - — ~,' ~ и,„(Нс — Но) цис(тс пС+ и. (31.16) Формулу (31.16) можно обобщить на тот случай, когда оператор Н, и зависит от времени. Для этой цели надо заменить Нс1о на ~ Нсй; о результат по-прежнему справедлив с точностью до величин первого порядка относительно 1 .
Следует заметить, что формула (31.16) для д может оказаться полезной также и в том случае, когда оператор Н; — Н, не мал по сравнению с Н„важно лишь, чтобы выполнялся общий критерий применимости апроксимации внезапных возмущений (т. е. чтобы значение го было достаточно мало). С другой стороны, теория возмущений, развитая в $29, полезна, если к гамильтониайу добавляется небольшое зависящее от времени возмущение, действующее в тече. ние длительного промежутка времени.
Возмущение гармонического осциллятора. В качестве простого примера применения приближенных методов, развитых в настоящем параграфе, рассмотрим линейный гармонический осциллятор, у которого положение точки равновесия а(1) зависит от времени. Гамильтониан этой системы имеет вид а' д' ! 2т Эссо + 2 КсХ В каждый данный момент времени собственные функции оператора энергии имеют вид (13.13) 1со сдвигом точки равновесия в положение сс(1)), а уровни энергии те же, что и в $13: ни(х) = М„Н„(х(х — а))е " '* 'с~, Е„= '1п+ — )Ьас,.
Предположим сначала, что точка равновесия движется медленно, и исследуем, когда можно применять адиабатическое приближение. Если первоначально осциллятор находится в основном состоянии (л = О), то матричный элемент производной от гамильтониана по времени есНГЗ1 = — К (х — а) а отличен от нуля лишь для'первого возбужденного состояния. При помощи (13.18) можно получить щ) = — ~; = — Какй)и(К ) — ь. Подставляя это значение в соотношение (31.9), видим, что коэффициент перед зависящим от времени множителем в выражении для 253 Задачи амплитуды первого возбужденного состояния равен Ка (2 1 а йшй (Ки)Ч (2йгас/гл) Н ' Физический смысл этого равенства можно понять, замечая, что по порядку величины знаменатель равен максимальной скорости гипотетического классического осциллятора, энергия которого равна нулевой.
Поэтому адиабатическое приближение является удовлетворительным, если скорость движения точки равновесия мала по сравнению со скоростью классического осциллятора. Легко видеть, что для л-го возбужденного состояния скорость точки равновесия должна быть мала по сравнению с соответствующей скоростью классического осциллятора, деленной на и. Апроксимацивй внезапных возмущений можно пользоваться (для основного состояния осциллятора), если время, необходимое для перемещения точки равновесия из одного стационарного положения в другое, мало по сравнению с 1/ш.. Пусть точка равновесия сдвигается на расстояние а в направлении движения, тогда как из (31.13) видно, что амплитуда вероятности п-го состояния после перемещения равна — Оь СО С точностью до знака у а этот интеграл совпадает с выражением для коэффициента А в разложении (13.21); он уже вычислялся с помощью производящей функции для полиномов Эрмита (13.10).
Результаты $ 13 показывают, что с наибольшей вероятностью возбуждаются состояния, для которых классическая амплитуда колебаний по порядку величины равна перемещению а. Это согласуется с соответствующим классическим результатом. ЗАДАЧИ 1. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, помещен между пластинами конденсатора. На последние подается импульс напряжения, в связи с чем в конденсаторе возникает однородное электрическое поле, изменяющееся со временем по закону: Е=О (<0~ Е=Еое и', (>О. В первом приближении теории возмущений вычислить вероятность того, что спустя большой промежуток времени атом окажется в состоянии 28 (200).
Чему равна вероятность перехода в одно из состояний 2Р? 2. К конденсатору, рассмотренному в задаче 1, приложено переменное напряжение с угловой частотой оэ > глез/26а, Вычислить отнесенную к единице времени вероятность ионизации атома водорода. Считать (только в данной задаче), что в ионизованном состоянии волновая функция электрона имеет вид плоской волны.
254 Гл. ЧШ. Приближенные методы решения нестационарны~с задач 3. Обобщить соотношение (29.20) на тот случай, когда переходы могут) происходить лишь в третьем приближении теории возмущений. Считать, что энергии всех промежуточных состояний отличны как от начального, так и от конечного значений, 4. С помощью теории возмущений найти дифференциальное эффективное сечение для столкновений с переходом атома водорода из состояния 18 в 28, Проинтегрировав зто выражение, найти полное эффективное сечение и показать, что таким путем получается результат (30.!1), справедливый при высо. кой энергии падающих частиц.
5. С помощью теории возмущений найти дифференциальное эффективное сечение для столкновений, при которых атом водорода переходит из состояния 18 в 2Р, Показать, что полное эффективное сечение рассеяния дается выражением (30.1!), полученным в предположении о высокой энергии падающих частиц. 6. Обсудить замечание, сделанное в конце предпоследнего абзаца 5 31. В частности, на основании физических соображений разъяснить, почему условие малости скорости точки равновесия по сравнению со скоростью соответствующего классического осциллятора не является достаточным для применимости аднабатического приближения.
7. При каких условиях решение волнового уравнения и (!) выражается через решение для начального момента времени и через гамильтониан Н по формуле м (!) = (ехр ( — !Н!/6)] )г (О)? Показать, что, вообще говоря, фигурирующий в показателе степени оператор Нг нельзя заменить на ) Нг(1', о Показать, однако, что с точностью до величин первого порядка малости отноц сительно 1, в формуле (31.16) можно заменить Не!ч на ) Н!45 о 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
