Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Понтону если возмущение включается не внезапно, а постепенно, так что отмеченные выше трудности с законом сохранення энергии не возннкают, то второй член в 129Л9), приобретая более сложный внд, по-прежнему будет приводить к уничтожению сннгуляр- НОСТИ ПРНЮ«, = О.'Эта МОЖНО ПРОВЕРИТЬ ПУтсн НЕПОСРЕДСтВЕап«ГО ВЫЧНСЛЕ- ння. 236 Гл. У111. Приблимеенлае меглоди реичемил нееглацнонарныл задач полуокружности радиуса с/г, обходимой против часовой стрелки, На этой полуокружности абсолютная величина ео„ достаточна велика, чтобы в подинтегральном выражении можно было прз. небречь вторым членом по сравнению с первым. Тогда интеграл легко вычисляется, и мы получаем (29.23) При больших 1 штрих у интеграла в (29.21) означает, что необхо. димо брать главное значение".
Поэтому если подставить (29.23$ Дедстзительилл ось Ф и г. 28. Контур лля вычисления интеграла в(29.22). в (29,22) и сложить результат с (29.21), то получится выражение, аналогичное (29.21), но с заменой интеграла со штрихом на главное значение, сложенное с умноженным на л1 вычетом подинтегрального выра>кения в точке о>„= О. Это эквивалентно вычислению интеграла по контуру, идущему вдоль вещественной оси от— до + с обходом начала координат снизу. Таким образом, окончательно получаем вам(~) = а ) - " " р(п)ИЕ„, (29.24) и„— е„, где контур С в комплексной плоскости Е, проходит вдоль вещественной оси, огибая снизу полюс подинтегрального выра>кения в точке Е„= Е . Равенством (29.24) можно пользоваться вместо (29.29), если символ 8 можно заменить на (д(лфЕ„. Сравнениеформул (29.24) и (29.9) показывает, что выражением(29.12) для ж можно пользоваться, если заменить матричный элемент Н; на интеграл (29.24).
Последний мы будем иногда называть матричным элементом второго порядка. Пример применения полученных результатов будет дан в следующем параграфе. '> Си, книгу Уиттекера и Ватсона 121. р 80. Оеулругие столкновения Промежуточные состояния.
Мы видим, что теория возмущений описывает квантовые переходы уже в первом приближении, если отличен от нуля матричный элемент Н;, связывающий начальное (т) и конечное (к) состояния. Если же Н; = О, но существует одно или несколько состояний и, для которых отличны от нуля оба элемента Н„' и Н„'„, то переходы имеют место во втором приближении. В связи с этим одно из состояний п удобно представлять себе как промежуточное состояние: под действием возмущения система переходит из т в к в два этапа, проходя через состояние и.
При переходе в промежуточное состояние энергия может и не охраняться, так как это состояние существует лишь временно, 4 в силу соотношения неопределенности (3.3) его энергию нельзя определить сколько-нибудь точно. Если для некоторых промежуточных состояний энергия сохраняется, то суммирование по ~ этим состояниям (29.20) нужно понимать в соответствии с (29.24). В некоторых случаях отдельные переходы могут происходить лишь через два или более различных промен<уточных состояния; это соответствует третьему или еще более высокому приближению теории возмущений.
Если возмущение мало, то обычно разумный результат получается в низшем неисчезающем приближении, в то время как учет следующих приближениИ не только не улучшает этот результат, но иногда может даже привести к ошибочным выводам. й 30. Неупругие столкновения Найденное в предыдущем параграфе выражение для эффективного сечения рассеяния нетрудно обобщить на случай неупругих столкновений, когда сталкивающиеся системы могут обмениваться не только кинетической, но и внутренней энергией. В настоящем параграфе мы примейим полученные выше результаты к двум задачам, типичным для процессов первого и второго порядков'з. Особенно большой теоретический интерес представляют вычисления, относящиеся ко второй задаче, так как они явно показывают, каким образом частица, описываемая исключительно с помощью плоских волн (собственных функций оператора импульса), может оставлять резко выраженный след в камере Вильсона.
Выражение для эффективного сечения рассеяния. Формула (29.12) для вероятности перехода применима и для неупругих и Примеры, о которых идет речь в настоящем параграфе, можно рассматривать также, несколько обобщая борновское приближение. Такое обобщение на случай процессов первого порядка, сопровождающихся пере. группировкой, дается в й 34. При рассмотрении процессов второго порядка удобнее пользоваться методом вариации постоянных. 228 Гл. у111. Приближенные метода решения неегпационарныл аадач столкновений, если только соответствующим образом определить матричный элемент. Мы рассмотрим здесь столкновение быстрого электрона с атомом водорода, находящимся в основном состоянии.
Задача состоит в вычисленйи эффективного сечения рассеяния на определенный угол с переходом атома водорода в определенное возбужденное состояние. При этом мы не будем принимать во внимание возможность обмена местами между бомбардирующим и атомным электронами; такие обменные столкновения обсуждаются в гл. 1Х.
Невозмущенный гамильтониан представляет собой сумму оператора кинетической энергии бомбардирующего электрона и гамильтониана для атома водорода: ае а а' я е' Н 2н1 1 2т а ге ' (30.1) где г, и г, представляют собой радиус-векторы соответственно бомбардирующего и атомного электронов.
Начало координат совмещено с атомным ядром, движением которого можно пренебречь в силу его большой массы. Роль возмущения играет электростатическая энергия взаимодействия между бомбардирующим электроном и электроном и ядром атома; Н' = — — —. (30.2) и„ Невозмущенные волновые функции представляют собой собственные функции оператора (30.1). Возьмем их в виде 1. ' ье' '"и ег т для начального состояния, 100 1 1) (30.3) е, ьег '"и (г ) для конечного состояния. аоа ( а) В спектроскопических обозначениях зто соответствует атомному переходу 15- 28. Абсолютная величина волнового вектора электрона после столкновения определяется из закона сохранения энергии 1га = йоа — 'а, -з' — '.
(30.4) зао Равенства (30.2) — (30.4) определяют матричный элемент в (29.12): Н;1 = Е а ц' е'и'"и, (г,) ~ е — ив ) и,, (г,) Инте(тя1 К = йа — К (30.5) Дифференциальное эффективное сечение рассеяния можно получить из а тем же путем, что и в предыдущем параграфе. Нужно только помнить, что в выражении для плотности конечных состояний (29.14) фигурирует абсолютная величина й, а в формуле у' ЯО, Неулругие столкновения 239 для тока бомбардирующих частиц — начальная скорость ьо = гв1г 1т, Поэтому эффективное сечение о(9) = —,", (2 авв)'Е.в(Н;д(а (30.6) где Π— угол между векторами к и 11,. Полярная ось сферической системы координат направлена вдоль вектора К (через ю обозначен косинус угла между вэ и К).
Последний интеграл, строго говоря, не сходится, но его можно вычислить, вводя множитель сходимости е- в и переходя затем к пределу при а — О. Для оправдания этого приема заметим, что если в (30.5) сначала произвести интегрирование по г„то результат будет убывать как 1/гавн т. е. как 11оа для больших д'1, вследствие чего при больших д подинтегральное выражение ведет себя как гйп Кд/д и интеграл сходится. Таким образом, мы получаем О« ~' е' "~ 4н 1в «- о ° о 4н гк.в, у К 1 4н гк г, =к е 'йш~("+к*!=к е о1«+ (30.7) Подставляя (30.7) в (30.5) и пользуясь выражениями для волновых функций атома водорода, приведенными после общей форму- О Если г, ~ г„то главный член в 1/г1в есть 1/гы а интеграл от этого выражения по г, равен нулю вследствие ортогональйости итвв и ивен Вычисление матричного элемента.
Из выражения для матричного элемента (30.5) явствует, что член ев/», ничего не вносит в интеграл, так как функции и,оо и и„, ортогональны. Этого и следовало ожидать из физических соображений, так как взаимодействие мемеду бомбардирующим электроном и ядром но может привести к возбуждению атомного электрона. Чтобы проинтегрировать остающийся член по координатам г„заменим элемент объема г1ттг1хв на атее(т„где о = г, — г; как легко видеть, якобиан преобразовайия равен единице. Тогда получим ' е'к" тк ° е е1т,=ев "~ — 11т,= гвв е с«1 «« К вк г, ~' ~' глвж 1 1 4в гк.г, ~, о -т о 240 Гл, тоП1, Приближеннне меаюдоо ранения нееаоационарннх задач лы (18.24), приходим к интегралу по г„вычисление которого дает 16 /2 на(е' ао 4) 14ифференциальное н полное эффективные сечения рассеяния.
Итак, в рассматриваемом случае дифференциальное эффективное сечение рассеяния имеет вид «128а1 а(О) =— 9,о (Коа1 + — ) где К' = «е о+ «' — 2«а« соз О = (2«о 81п О) («о «) («о + «2«а соз О) Вычисления, основанные на теории возмущений, да1от наилучшие результаты при «оао»1; в этом случае «близко к /ео и равенство (30.4) можно переписать в виде 2ао Зе' 3 («а «) («о + «) а 8 4а (30.9) "о+ «~2«о «о «~й. о Принимая это во внимание, выражение для К' в предельном случае высоких энергий можно записать в виде К ~ (4«оо 2 о 81П' — О ~ (2 «о ян 2 ао Тогда, согласно (30.8), максимум рассеяния имеет место при Коа а.'.
1, т. е. при О е.„1/«,а,. Вне этих пределов а(О) убывает с возрастанием угла приблизйтельно как созесге О/2. Это гораздо более быстрое убывание, чем в случае упругого рассеяния, когда угловая зависимость ойределяется множителем созесоО/2. Такое быстрое спадание а(О) характерно для неупругих столкновений. Чтобы найти полное эффективное сечение, нужно с помощью точного выражения для К' заменить элемент телесного угла 2оез1пбе/О на 2оеКе/К/«а«пределы интегрирования при этом будут «а — «и «о+«. Тогда интеграл (30.8) можно вычислить в явномвиде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
