Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Применяя этот прием к уравнению (27.2б), получаем г ' д (Сд д,) [ / 112 («) (1(«) «2 И«в о — / ) й,(г) (1(г)0(г, г') (1(г')К~(г') гзг'2 бг бг'~+ о о + тйд~[Ж,(г) (1(г) г'дй,(г)— — 2(1(г) «ад)7,(г) 1 6(г, «') 11(г')Я,(г') г'за«') = о = — 2)е1~(1ег) И(г)«2Я,(г) ) 1)(К«') 11(г')1~,(г')г'й'. а Полученное соотношение обладает нужными нам свойствами: чтобы пользоваться им, надо знать И, лишь там, где потенциал имеет заметную величину, и нормировка К, здесь несущественна.
Чтобы выяснить, обладает ли полученное выражение свойством стационарности, допустим, что функция 17, слегка отклоняется от истинной и вычйслим вариацию первого порядка в тйб, (при наличии свойства стационарности она должна обратиться в нуль). Пусть в интеграле 1 = ) ф)И,(г)е1« функция й, меняется произвольо ным образом. Зто изменение можно представить как результат ряда независимых изменений во всех точках г: последние же можно изобразить с помощью д-функции Дирака.
Зто эквивалентно замене 17,(г) на й,(г) + ЬК,(«о)д(« — г,) и переходу от 1 к 1+ + /(«2)д)7,(«а). ТаКИМ ОбраЗОМ, ОПуСКая ИНДЕКС, МОЖНО СКаэатЬ, что выражение Г 37. Вариационной метод С помощью уравнения (27.24) выражение во вторых квадратных скобках в левой части можно переписать в виде 271 (Ь') (У (г) гг И, (г), а правая часть в силу (27.25) равна + 2 (д б1), ((ег) У (г) гг ЬК, (г). Два эти члена взаимно уничтожаются и, следовательно, д((о д,) = О, т. е. выражение (27.26) действительно обладает свойством стационарности. Заменяя в уравнении (27.26) правильную волновую функцию И,(г) пробной функцией п(г), можно переписать его в виде гй с(К д~ ви 00 00 00 / / и(г) у(г) й(г, г') у(г') и(г')ггг'йгйг' — / и'(г) (у(г) г*йг о о о е00 Г г / В(Кг) Еу(г) и(г) гойг~ о (27.27) Полученное соотношение представляет собой формулировку вариационного принципа для фаз.
Однако оно ие позволяет оценить верхнюю (или нижнюю) границу дь так как, будучи стационарным для правильной волновой функции, выражение (27.27) в общем случае не является ни максимальным, ни минимальным. Случай нулевого момента количестве движения. При (= О удобно заменить пробную функцию и(г) на и(г) = гп(г). В этом случае функция Грина 0(г, г') = — (Ьт') 'сйп (ег<соз (ег>, и соотношение (27.27) принимает вид (ес(ддо ~=~ 1 х а — ' ~ ~': г(и агУ (г) и (г) йг ~ о 00 г (е- 1.~ииг)( в(010 ееииагиге ~. о о Ъ $ О -,-0.01 ееи~1.~0е )е -~ 1 ° (~и(~е/.
ртгг) е о В качестве простого примера применения этого соотношения рассмотрим его предельное выражение, когда )е становится равным 14'— 212 Гл, 'чхХ, Приближенные методы решения стационарных задач нулю. Прн нулевой энергия вариацнонный принцип для фазы дает ()ес(йд,), — „', х Г Г еи(е)о(г) дг1 о ОО г ОР х / и (г) (7(г) ~ ] г'(7 (г) и (г') г(г' + г ~ (7(г) о (г') г(г ) й' + чо ОР + / ио(г)(7(г)е)г). (27.29) о Чтобы проверять это, рассмотрим случай постоянного потенциала с абсолютной величиной У, действующего внутри сферы радиуса а (это прямоугольная потенциальная яма нлн прямоугольный потенциальный барьер).
Выберем простую пробную функцию: и(г)= сопз( нлн о(г) = г. Мы не пользуемся явно условием стационарностн (27.29), так как тогда нужно было бы варьировать о(г). Это условне учитывается неявным образом в том смысле, что благодаря ему возрастает наше доверие к получаемым оценкам.
Интегрирование дает ()гс(йд) = — ~ — '- — '). В борновском приближении (26.27) для той же величины получаем — (3/Уао). Точный результат, найденный в 9 19, равен — 1(3/Уао) + +(6/ба)] плюс члены более высокого порядка малости относительно Уао, Таким образом, как н следовало ожидать, в борновском приближении хорошие результаты получаются лишь прн очень малой величине рассеивающего потенциала; варнацнонный метод, сверх того, дает правильное выражение для следующего члена разложения по степеням потенциала.
Аналогично обстоит дело н прн учете членов порядка кяа' (случай малой энергии; см. задачу 16). Е 28, Квазикласеическое приближение (приближение Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) Исторнческн правила квантования Бора — Зоммерфельда, введенные в старой квантовой теории [см. (~ 2)], занимают промежуточное положение между классической н квантовой механикой. Интересно отметить, что существует приближенный метод решения уравнения Шредингера, выявляющий связь этого уравнения с правилами квантования, Метод основан на разложении волновой функцнн в ряд по степеням и, н, хотя этот ряд оказывается лишь аснмптотнческнм, тем не менее названный метод в некоторых слу- Э 2В, Квоэиклассическое приближение 213 чаях позволяет явно найти приближенное решение квантовомеханической задачи.
Его называют обычно квазиклассическим методов или методом Вентцеля — Крамерса — Брилдюэна (сокращенно ВКБ-а]ел]одом), хотя математический прием, лежащий в его основе, использовался еще Лиувиллем, Рэлеем и Джефрисомт!. Его можно применять в тех случаях, когда в результате разделения переменных задача сводится к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предельный переход к классической механике. Решение волнового уравнения Шредингера (6.16) !л 1=. „77+ Р(г)чр ат й' а! можно записать в виде р(г, 1) = Аеги'!" огл где функция Н' удовлетворяет уравнению — + — (Ига]] Нг)з+ (г — — рзНг = О.
а! гр гр (28.1) В предельном случае классической механики (Д- О) равенство (28.1) совпадает с диф]~еренциальным уравнением Гамильтона — Якоби для действия Нга: аи —, +Н (г,р)=О, р=йгас[Нг. Поскольку импульс частицы равен градиенту действия, возможные ее траектории ортогональны к поверхностям Нг = сон31, т. е. (в классическом предельном случае) к поверхностям постоянной фазы волновой функции. Таким образом, при переходе к классической механике „лучи", связанные с функцией чр (траектории, ортогональные к поверхностям постоянной фазы), представляют собой возможные траектории движения частицы.
Если чр — собственная функция оператора энергии П(г)е-'ина, то Нг можно переписать в виде В'(г, !) = 8(г — Е!. ) В этом случае и (г) = Ае! !ю], --(Ига][8)а — (Š— и'(г)) — — р'8 = О. (28.2) О Иногда этот метод называют также методом фазовых интегралов. Оригинальные работы принадлежат Лиувиллю [24], Рэлею [25], джеф- Рису [26], Вентцелю [27], Крамерсу [28] и Вриллюэну [29[. Дальнейшие результаты можно найти в кинге Кембла [30], 1 2! и в работах ЛангеРа [3! ], Фарри [32], Миллера и Гуда 133]. В настоящем изложении мы следуем Работам Крамерса [28] и Лангера [3]].
а! См. книгу Уиттекера [34], 1 !42, Голдстейна [35], раздел 9.!. 214 Гл. УвХ. Приближенные методы решения стационарных задач Квазиклассический метод дает два первых члена (классическое выражение и еще один член) в разложении Я по степеням В для одномерного случая. Приближенные решения. Основное уравнение, которое нам предстоит рассмотреть, записывается в одной из следующих форм: лхе+ с (Х)и (28.3) — „, — кв(х) и = О, ыв ) О, (28.4) так что 1с и н всегда вещественны. Эти уравнения эквиваленты одномерному волновому уравнению (8.5), если положить lс(х) = + а (2Ус(Š— У(х)Ци пРи У(х) ( Е, (28.5) н(х) = + — „(2р(У(х) — Е)1)и при У(х) ) Е. Уравнения (28.3) и (28.4) эквивалентны также радиальному волно- вому уравнению (19.2), если заменить х на г, У(г) на У(г) + — —, ВЧ(1+ 1) 2ргв а и на гЕ,(г).
Обратимся прежде всего к уравнению (28.3); в дальнейшем мы сумеем обобщить решение и на случай'(28.4). Положим и(х) = Ае'~1*и". Подставляя это в (28.3), получаем одномерную форму уравнения (28.2): (28.6) (штрих означает дифференцирование по х). Подставим в (28.6) разложение Я в ряд по степеням $ и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Вс Я = Я, + 8Я, +... — Я; + гр (Š— У) = О, 1Я; — 2Я,'Я' = О, и т. д. Интегрируя зти уравнения, находим Я,(х) = ~ й ) 1с(х') с(х', Я,(х) = — 11п /с(х); постоянные интегрирования здесь опущены, так как их можно включить в коэффициент А. С данной точностью получаем, следо- З 28. Кеачиклаесичеекое приближение 215 вательно, приближенное решение и(х) = Ак-и ехр (~ г ) Их), У - Е.
(28.7) Аналогично в случае (28.4) имеем х и(х) =- Вн-и ехр(~ ~ нс(х), У >Е. (28.8) Асимптотический характер решений. О степени точности квазиклассического приближения можно судить, сравнивая абсолютные величины последовательных членов разложения Я, Я, и 88,. Если К(х) не равно нулю, то 5, представляет собой возрастающую функцию х. Следовательно, отношение 88~8, мало, если мала величина йЯ;/Яе'.
В связи с этим можно предположить, что выражение (28.7) будет хорошим приближением для таких значений х, когда (28.9) Поскольку длина волны де Бройля л в любой точке равна 2ее/К, неравенство (28.9) можно переписать в виде 4 (их( это означает, что относительное изменение волнового вектора (или длины волны) на расстоянии 2~4ее должно быть мало по сравнению с единицей.
Поэтому квазиклассический метод полезен лишь при достаточно медленном изменении потенциальной энергии, когда импульс частицы практически постоянен на протяжении многих длин волн. Такой же критерий получается и в случае (28.8), если только под „длиной волны" понимать здесь расстояние, на котором абсолютная величина и(х) изменяется в ее' раз.
Условие (28.9), очевидно, нарушается вблизи классических точек поворота, когда У (х) = Е, величины К и н равны нулю и „длина волны" становится бесконечной. Поэтому решения (28.7) и (28.8) справедливы лишь асимптотически, т. е. на расстоянии нескольких длин волн от ближайшей точки поворота (если только, как это обычно бывает, длина волны там изменяется медленно). Эти асимптотические решения мало полезны до тех пор, пока мы не знаем, каким образом связать осциллирующее решение (28.7) с экспоненциальным (28.8) при переходе через точку поворота.
Установление такой связи необходимо, например, чтобы наложить граничные условия и получить собственные значения оператора энергии. Вывод соответствующих формул связи, к которому мы сейчас и обратимся, составляет центральный пункт квазиклассического метода расчета. 216 Гт 711, Приблимеенние метода решения стационарная алдан Решение около точки поворота. В точке поворота уравнения (28.3) и (28.4) регулярны и, следовательно, имеют решение, аналитическое в этой точке и асимптотически выражающееся формулами (28.7) и (28.8). Обычно такое решение не удается записать в замкнутом виде. Однако можно несколько видоизменить уравнение и получить точное решение с заданными асимптотическими свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
