Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Рассеяние прямоугольной потенциальной ямой. В качестве первого примера применения борновского приближения (26.20) рассмотрим рассеяние прямоугольной потенциальной яМОИ, КОГда )г(Г) = — (го Прн г ( а и (г (г) = 0 ' при г > а. Подставив это в (26.20), получим / (О) = ~ф(з)п Ка — Касоа Ка), д К = 22 з!и —. 2 ' 2 3 4 5 О 7 х ОО ~~ цб (14 Соответственно дифференциальное эффективное сечение рассеяния имеет вид и (О) = (-",;" ) д /2/га з! и 2 ), (э(п х — х соэ х) (26 29) О,Я О 4 Б О 7 У Ф и г. 23. а — угловое распределение при рассеянии нл прямоугольной потенпияльной яме (26.29); б — полное эффективное сечение (26.30). Функция р(х)/р(0) = 9р(х) изображена на фиг.
23, а. При высоких энергиях (йа ) 1) сечение имеет резкий максимум для рассеяния вперед, так что ббльшая часть рассеянных частиц находится внутри конуса с углом при вершине порядка 1/йа. Для вычисления полного эффективного сечения проще всего перейти от переменной Окх= Ка= 2иаз!и (О/2), тогда з(п Ое(0 заменится на хе(х/((га)я и равенство (26.29) будет иметь вид яда о о (26.30) а 2б. Борновеное приближение Поскольку г(0) = 1/18, а при больших у у(у) приближается к 1/4у', то в пределе при йа ( ! полное эффективное сечение равно 1бггргуога'/9й'. Если же энергия рассеиваемых частиц Е в системе центра инерции велика, то сечение примет вид ар рУ1а' й"Е функция у(у)/у(0) = 18т(у) изображена на фиг. 23, б.
Условия применимости борновского приближения. Удобный критерий применимости борновского приближения в предыдущей задаче можно получить, пользуясь (26.6) и предполагая, что функция о(г) максимальна в центре рассеивающего потенциала. Это условие, вероятно, достаточно, но, возможно, является излишне жестким. Например, наше приближение может хорошо описывать рассеяние на малые углы (когда передается небольшой импульс), не будучи в то же время удовлетворительным для больших углов. В силу (26.16) наш критерий имеет вид оо 1 ) о (О) ) = 1г / / е" " 01 и1 У (г) п1 гг/ аг = Π— '1 -+( 1 ге*" — гг г гг г.~ = "',, ~,* ° — г г — г ~ = о = — "„,—; (у' — 2у сбп у + 2 — 2 сов у) и ~ 1, у = 2йа.
(26.31) В предельном случае малых энергий (йа < 1) неравенство (26.31) дает руоаг/й' ~ 1, тогда как при высоких энергиях (йа ~ 1) мы имеем р Уоа 1',а — = — ~1 ага ьо где о — скорость падающей частицы. Таким образом, если прямоугольная яма достаточно „велика" для того, чтобы захватить частицу (как показано в $15, для этого должно иметь место условие р Уоаг/йг 1), то борновским приближением можно пользоваться лишь при высоких энергиях, йа ~ 1.
Поэтому борновское приближение дополняет метод парциальных волн (см. $19), наиболее полезный, когда йа по порядку величины меньше или равно единице. Качественные особенности результатов, полученных для случая прямоугольной потенциальной ямы, сохраняются и для любого потенциала с конечным радиусом действия. 198 Гл, [геХ, Приближенные методы решения етапионарнык задач Рассеяние экранированным кулововским полем. В качестве второго примера применения борновского приближения рассмотрим упругое рассеяние электронов нейтральным атомом, описывая взаимодействие между ними экранированным кулоновским потенциалом: У(г) = — (Леа/г)е "!а.
При малых г это выражение ведет себя просто как кулоновский потенциал ядра с атомным номером Х; с другой стороны, [г(г) быстро убывает, если расстояние и велико по сравнению с „радиусом" а электронного облака. Статистическая теория атома Томаса †Фер показывает (см. $ 38), что для не слишком легких атомов константа а примерно равна ла/теаХь, где и — масса электрона ". Подставляя этот потенциал в (26.20), получаем 2таее г 2тхеа О / (В) = — — — / з[п Кг е — ыа ![ = —, К = 2/е з!п — . йчК,/ Ьч(Ка+а — ') ' 2 ' о (26.32) Если импульс, передаваемый при столкновении, достаточно велик, так что в знаменателе можно пренебречь величиной 1/аа по сравнению с К', то выражение (26.32) приводит для эффективного сечения к формуле Резерфорда (20.11).
В аналогичном классическом случае частица проходит поблизости от ядра, так что экранирующие электроны играют сравнительно малую роль. Однако в противоположность формуле Резерфорда равенство (26.32) дает конечную величину для сечения рассеяния на исчезающе малые углы. (В аналогичном классическом случае частицы проходят далеко от ядра, и, следовательно, действие его заметно экранируется атомными электронами.) Полное эффективное сечение рассеяния составляет аа 2лКе[К 1блт~Лееча '=,) йа йд(4йчаа+ !) ' о Если принять для а приведенное выше выражение теории Томаса— Ферми, то при больших энергиях (/еа > 1) эффективное сечение обращается в 4л2'!1/[еа, что по порядку величины совпадает с рез льтатом численного решения задачи о рассеянии для потенциала омаса — Ферми ".
Критерий применимости борновского приближения (26.31) принимает вид сйп хе — «и 1 2тУе' г . ~е-а!аа дх аай ./ х о П Обсуждение вопроса о рассеянии на атоме, описываемом по методу Томаса — Ферми, можно найти н книге Мотта н Месси [91, гл, 9, раздел 4!. а! См, работу Булларда н Месси [[О!. з" 27.
Вараационнай мевод ъ' г М 137 становится сравнимой с единицей. Интересно отметить тесное соответствие между различными результатами для прямоугольной потенциальной ямы и для экранированного кулоновского поля, если выбрать а одинаковым в обоих случаях и положить У, Ле'!а. й 2Ч. Вариационный метод Впервые вариационный метод был применен для приближенного вичисления наинизшего уровня энергии системы; в последние годы им стали пользоваться и в теории столкновений. В первом случае, который мы и рассмотрим сначала, вариационный метод можно применять и в отсутствие близкой задачи, допускающей точное решение, т.
е. тогда, когда метод возмущений оказывается непригодным. Им можно пользоваться также и в том случае, когда не удается разделить переменные в уравнении Шредингера, вследствие чего численное интегрирование чрезвычайно сложно, а квази- классический метод (см. $2б) оказывается неприменимым. Применение вариационного метода к теории столкновений будет рассмотрено в последней части настоящего параграфа. Среднее значение энергии.
В $10 было показано, что если разложить произвольную нормированную функцию г по собственным функциям оператора энергии и,: ~р = ~ А и„„где Ни; = Еив, Е образующим полную ортонормированную систему, то среднее значение Н в состоянии у дается формулой (Н> = 1 РН Р ~(т = ~ Е ~ Ав ~е. Е (27.2) Интегрирование здесь' производится по всей области изменения координат, характеризующих систему. Для удобства записи все где введена новая переменная интегрирования х = йг. Отсюда при 1а ~ 1 следует неравенство 2тУе'а/й' ~ 1, которое в связи с приведенным выше приближенным значением а эквивалентно условию Л'ь ~ 1. Поэтому при исследовании рассеяния медленных электронов на атомах борновское приближение оказывается непригодным.
С другой стороны, при йа > 1 мы получаем, что (Уе'!йо)1п1са<1. Поскольку этот результат, как можно показать, не меняется существенно при переходе к релятивистской теории, то борновское приближение оказывается непригодным для тяжелых элементов, когда величина 200 Гл. ]Г11. 7[риблимсенные методы решения стационарных задач собственные значения оператора энергии в формулах (27.1) и (27.2) считаются дискретными; этого можно добиться, помещая систему в ящик (см. $10)1 можно также заменить знак суммы символом $ (см.
й 22). Заменяя в сумме справа в (27,2) каждое собственное значение Е наименьшим собственным значением Е„можно получить полезное неравенство: <Н> гы Х Ео! Ак !' = Ео 2,"1Ав~' (27.3) и в Поскольку, как показано в $10, для нормированной функции гр г'! А ]Я = 1, из (27.3) следует: Ео — „] грНгр "т. (27.4) Если функция ы не нормирована, то неравенство (27.4), очевидно, можно переписать в виде ] йНтдт Ео ~ Вариационный метод "1 заключается в вычислении интегралов в правой части (27.4) или (27.5) для некоторой пробной функции гр, зависящей от нескольких параметров.
Затем параметры подбираются из условия минимальности среднего значения энергии. В результате определяется верхний предел энергии основного состояния системы. Следует ожидать, что он будет близок к точному значению, если пробная функция похожа на истинную (см. задачу 9). Поэтому при выборе пробной функции важно использовать любую доступную информацию или физическую интуицию ы. Применение к возбужденным состояниям. Вариационным методом можно пользоваться и для нахождения верхнего предела одного или нескольких более высоких уровней энергии, если только пробная функция ортогональна к собственным функциям всех более низких состояний. Пусть уровни энергии расположены в возрастающей последовательности: Ео, Е„ Еги ...
Тогда легко убедиться, что коль скоро функция м ортогональна к ив! при 1' = О, 1, ..., и, все соответствующие коэффициенты разложения Ав,. в (27.1) равны нулю. Неравенство типа (27.4) можно получить из (27.2), заменяя в сумме справа каждое собственное значение Е на Е„г;, при этом среднее значение энергии дает верхний предел Е„, '1 Метод был впервые применен Рзлеем в 1873 г. в связи с задачей о вычислении частот колебаний механических систем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
