Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Функция Грина для свободной частицы. Если оператор [е представляет собой гамильтониан свободной частицы, то функцию Грина (26.11) можно вычислить без особого труда. Согласно (11.11), собственная функция оператора — Га, соответствующая собственному значению [е'в и должным образом нормированная, имеет вид ин (г) = (2ж) - Ч* е'н", где к' — произвольный вектор с абсолютной величиной к'. Поэтому функция Грина есть еса 'е '" ' ()а (Г, Г') = (2вт)-~ ~ Интегрирование по всем значениям [е' проведем в сферических координатах, выбрав полярную ось в направлении вектора о= — г — г'. Мы имеем (' ии е сов в Оа(г, г') =(2вт) а ~ ) 1 ' „, [е'ее[[с'з[п Ос[бе[о = о о о Оо СО = (2ггай) ' [ .,. й.
[е'е[К'= (4ггар) ' ~ ", '"", йм, (26.13) о — юо где а= [тр = й [г — г' ~ — положительное число. и Дальнейшее обсуждение свойств функции Грина можно найти в книге Мораа н Фешбака [71, гл. 7 (а также в книге Иваненко н Соколова [361.— Прим. нерее.). у зб. Борноееное лриблииеение 191 При к = -р б подинтегральное выражение в (26.13) имеет сингулярность, что является частным случаем сингулярности при еи = ю, в коэффициентах разложения (26.9). -Уравнение (26.7) само по себе не позволяет определить характер функции А при еи =- и„так как к любому решению неоднородного уравнения и(г) можно добавить еще решение соответствующего однородного уравнения и„(г).
Какую именно добавку следует выбрать, можно определить только из граничных условий, накладываемых на функцию и(г). Подобным же образом вклад в интеграл (26.13), миымаи, обусловленный бесконечно малыми окрестностями точек н = -р б, б йенмиий можно определить только сравнивая формулы (26.3) и (26.2). Это сравнение показывает, что нужно выбирать лишь такие решенияя и (г), которые имеют асимптотический вид г '~(0, т) ем". Из С соотношения (26.10) между и(г) и 6„(г, г') явствует, что интеграл в (26.13) нужно вычислять так, О чтобы при больших и он вел себя Ю как е'". Явное вычисление функции ГРина. Указанное вычисление удобно произвести, рассматривая (26.13) как контурный интеграл в комплексной плоскости н.
Путь интегрирования в основном проходит вдоль вещественной оси, д Мыпокажем,чтозависимостьинтег- ф и г. 2К Контуры дли иычислерала от б определяется выбором иии интеграла и 126331. контура около обеих особых точек. Пусть контур выбран так, как показано на фиг. 21, а.
Интеграл в (26.13) можно записать в виде Первое слагаемое здесь можно вычислить, замыкая контур бесконечной полуокружностью С в верхней полуплоскости (фиг. 21, б), поскольку на этой полуокружности экспоненциальный множитель становится исчезающе малым и соответствующая часть интеграла равна нулю. Соответственно первый интеграл равен (умноженному на 2л1) вычету подинтегрального выражения в единственном полюсе (и = б), лежащем внутри контура, т.
е. ее1е"". 192 Гл, У11, Приближенные методы решения стационарных задач Второй интеграл в (26.14) вычисляем, замыкая контур в нижней полуплоскости (фиг. 21, в). Результат равен (умноженному на — 2л1) вычету в единственном полюсе (н = — а), расположенном внутри контура интегрирования, т. е. — л1е' . Таким образом, вся сумма в (26.14) равна ле' . Легко видеть, что при любом другом выборе контура интегрирования наряду с членом, содержащим е' (или вместо него), появляется и член е ' . Подобный член в 6 соответствует наличию в р (г) падающей волны и должен быть отброшен как не удовлетворяющий граничным условиям на бесконечности (26.2). Подставляя найденное значение в (26.13), находим функцию Грина для свободной частицы (характеризуемой оператором — р'): 6» (г, г') = (4л ) г — г' ( ) ' е'" ~ "—" ).
(26.15) Эффективное сечение рассеяния. Пользуясь соотношениями (26.3), (26.5), (26.10) и (26.15), получаем приближенное решение волнового уравнения (26.1): и (г) еры (4л) — » )" ( г г ° (-~ е» l е — е ~ еше Ц(г.) е(г (26 16) Второй член здесь представляет собой результат суперпозицни рассеянных волн, расходящихся от всех возможных точек г', причем амплитуды этих волн пропорциональны произведению амплитуды падающей волны на рассеивающий потенциал в данной точке. Допустим, что функция У(г') достаточно быстро убывает на больших расстояниях, так что существует асимптотическая область, в которой величина г значительно превышает значения г', дающие существенный вклад в интеграл (26.16). Тогда можно положить )г — г! - г — ~и', !г — г )- — — + —,, -1 1 ше' е-~ Ое и где в — косинус угла между векторами г и г'.
Следовательно, асимптотически формула (26.16) принимает вид и (г) еды — (4лг) 'е'"' Г Е/ (г') е'» ср — а'э е(г'. (26.17) Сравнивая (26.17) с (26.2), находим амплитуду рассеяния ~(6 'р) = (4л) ' Г (7(г') е'"' ''Ь'= = — (4л)-' 1 У (г') ехр 1К г' бг'. (26.18) Мы ввели здесь вектор К = 1с, — и, где векторы к„и к направлены соответственно вдоль падающего пучка (полярная ось) и вдоль радиуса-вектора, проведенного в точку наблюдения (О и р— полярные углы этого вектора). Абсолютные величины векторов к, и к одинаковы и равны 1е.
На фиг. 22 показаны эти три вектора; абсолютная величина вектора К, очевидно, равна 2Ып (012). С физической точки зрения вектор ВК характеризует импульс, 0 2б. верновское приближение 193 передаваемый падающей частицей рассеивающему центру за время столкновения. Таким образом, если разложить рассеивающий потенциал по плоским волнам (в интеграл фурье), то, как видно из второй формулы (26.18), амплитуда рассеяния в данном направлении пропорциональна компоненте Фурье рассеивающего потенциала, соответствующей изменению импульса частицы при столкновении.
11 Дифференциальное эффективное К сечение рассеяния определяется соотношением (18.11): сг(0, р) = [1(0т ет) [а. (26.19) ~п Ф и г. 22. Соотношение между функция 17 (Г) СфсрИЧЕСКИ волновым вектоРом падаюжеа МЕТРИЧНВ [ц(Г) = ц(Г)[, ТО МожНО частиЦы Ва, волновым вектором проинтегрировать (26 18) по поляр- Рас„инни б ным углам, определяющим положе- и р а р„„„„ НИЕ ВЕКтора Г'. ВЫбирая ПОЛИРНуЮ вовевии,'аавейаК а его аесолютва» ОСЬ В НВПРВВЛЕНИИ ВЕКтора К ПО" веаичива составляет ааа а1п — и.
1 лучаем 1 (О) = — К ' )' г' (1 (г') яп Кг' й'. (26.20) о Как и следовало ожидать, амплитуда рассеяния не зависит от угла р. Интересно отметить, что, как следует из соотношений (26.19) и (26.20), скорость бомбардирующих частиц о и угол рассеяния 0 входят в эффективные сечения только в виде комбинации К о яп (0[2). Применение метода возмущений к парциальным волнам. Если функция У(г) сферически симметрична, то, разделяя переменные в уравнении (26.1) в сферических координатах, как это делалось в $19, можно приближенно решить его с помощью метода возмущений. Радиальное волновое уравнение для 1-й парциальной волны имеет вид — — [гв — 1) + [1св — —, — 1У (г)1 1тг = О.
(26.21) Положим, как и в (26.3), что 1сг (г) = 11(1сг) + уг (г), где функция уг(1гг), определяемая равенством (15.5), представляет собой невозмущенное решение. Тогда из (26.21) найдем приближенное уравнение для хг.' 1 ~~ ['гв "х~) + [1гв 10+ ~>1 Хг = 1.1 (г) угу) (26.22) (член (1 (г) хг(г) отброшен). 13 Л. ШИФФ 194 Гл, е11. уериблизненные метода ресиения стационарных задач Подобно (26.5), уравнение (26.22) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с известной правой частью. По аналогии с (26.10) его решение можно записать с помощью функции Грина 6(», г'): „, (г) = ]" 6 (, ) уу(') у, (уе ) ' еу .
о (26.23) Функция 6 (», г') должна быть регулярной в точке г = О (тогда и т.,(г) будет регулярна в этой точке) и должна удовлетворять уравнению Подставив (26.23) в уравнение (26.22), можно показать, что последнее при этом действительно удовлетворяется. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений типа (26.24) часто оказывается более удобным не пользоваться общим выражением (26,11), успешно примененным в трехмерной задаче, а использовать следующий прием. Заметим, что всюду, кроме точки » = г', функция 6(г,г') должна удовлетворять радиальному уравнению для свободной частицы [когда правая часть в (26.24) равна нулю].
Это будет иметь место, если 6(г, »') при» (»' представляет собой какое-нибудь одно, а при» >» — другое частное решение волнового уравнения при УУ = О. Если, кроме того, при г = »' значения этих функций совпадают, а значения производных различны, то производная от уже имеющей разрыв производной, возникающая при двойном дифференцировании в левой части (26.24), будет содержать множитель д(» — »').
Так как в точке »= О функция 6(»,»') должна быть регулярной, то при »<»' решение нужно взять в виде у,(усг). Таким путем можно показать, что функция Грина должна иметь вид 6(г, »') = Усу,(Уег ) л,(Усг>), (26.25) где г< — наименьшая, а»> — наибольшая из величин »и г', Очевидно, эта функция регулярна при г = О и удовлетворяет уравнению (26.24) всюду, исключая, быть может, точку г = г'. Чтобы исследовать поведение 6 в этой точке, подставим (26.25) в (26.24) и проинтегрируем обе части полученного равенства по бесконечно малой окрестности точки г'. Интеграл от правой части дает 1У»", второй член слева обращается в нуль при стремлении области интегрирования к нулю, а первый член слева дает У Ц-е У-е = IР [у', (Зс»') и', (ус»') — у; (уег') л, (уег')].
л Зб. Верновское приближение 196 Фазы. Подставляя (26.25) в (26.23), получаем )(, (г) = 8,1 у, (/ег<) п, ()гг>) (7(г) у, (Ат') г'~й', о х, (г) — — Йи, ()гг) ) 1,' (Ат') () (г') г'аг'. (26.26) о Фазы б, определяются асимптотическим представлением )7,(г); в соответствии с (19.7) КДг) — сопзЩ, ()гг) — (д д,и, ()гг)). Сравнивая это с асимптотическим представлением функции )7,(г) м ы 1',(1т) + )(,(г), полученным из (26.26), находим 186,- -Ф (И~Г) и(г)' йг.
о (26.27)т) Равенство (26.27) дает выражение для фаз в борновском приближении. Если все д, малы, то в формуле (19.11) для 1(б) можно приближенно положить еаьн — 1 ~ 2Иь так что ((О) ~ )г ' „л, (21 + 1) д,Р, (соз ()) ° е-о л — 6) »Ч3(г) Г~(21+ 1)Д(Ь)Р,(сов 0)1дг. (26.28) ю.г= о Можно показать", что сумма в скобках равна гйп Кг/Кг, где К = 21 6)п (й/2), так что формула (26.28) совпадает с полученной ранее амплитудой рассеяния в борновском приближении (26.20), что и следовало ожидать. Проведенное выше исследование парциальных волн с помощью теории возмущений представляет практический интерес, так как в ряде случаев было найдено, что если фазы не малы по сравнению с единицей, то подстановка (26.27) в точное выражение (19.11) для амплитуды рассеяния дает лучшее приближение, чем простая П У автора выражение (26.27) называется борновским приближением.
Обычно борновским приближением называется выражение, в которое пере- холит (26.27) при малых б (й «и 1). — Прим. перев. а) См, книгу Ватсона 161. 13'— Е силу последней из формул (15.9) член в квадратных скобках справа равен (А»') ', Отсюда следует, что функция 6(», г'), опре- деляемая равенством (26.25), действительно совпадает с искомой функцией Грина. 196 Гл. У11. Приблилееиные методы решения стационарных задач формула (26.20), Вообще говоря, гораздо проще вычислять интегралы в (26.27), чем находить точные значения фаз, решая радиальное волновое уравнение. Далее, формулой (26.20) можно воспользоваться для суммирования ряда по парциальным волнам при больших !, когда фазы д, действи- (О тельно малы; после этого в пер- вые члены ряда можно внести поправки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
