Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 35
Текст из файла (страница 35)
)г коммутирует с Н. Таким образом, любое вращение )г представляет собой интеграл движения, и это непосредственно следует из инвариантности Н относительно вращений. С другой стороны, физически единственной динамической переменной, постоянство которой обусловлено сферической симметрией Н, является момент количества движения. Поэтому можно ожидать, что существует некоторое соотношение между К и М. Е 24. Момент количества движения 167 Произвольное вращение )е можно получить, последовательно производя вращения на бесконечно малые углы вокруг каждой из трех координатных осей.
В силу сказанного выше можно ожидать, что каждая компонента М связана с бесконечно малым вращением вокруг соответствующей оси. Вращение на бесконечно малый угол о вокруг оси 2 переводит произвольную функцию 1 в Д,(7)1(х, у, г) = 1(х + чу, у — ох, г) = — 1(х, у, 2) + ч у — — чх — = [1 + р (у — — х — )) 1(х, у, 2).
э1 э1 В силу произвольности 1 из (24.1) получаем Р, (ео) = 1 + —."„М„ где угол 7 бесконечно мал. Это соотношение носит более фундаментальный характер, чем (24.1), и его можно использовать для определения а1 также и в том'случае, когда не существует величин г и р, фигурирующих в (24,1). Выбор представления. Из формул (24.2) явствует, что любые две компоненты М не коммутируют друг с другом, и, следовательно, в любом представлении может быть диагональной только одна из них.
Однако все три компоненты коммутируют с оператором яй из+из 1 ме. так, например, (м„м ) = м,м„— и„'и, + м,м„— м„м, = = и (м„м„+ м„м.) — )й (м„м„+ м.м„) = о. Поэтому можно одновременно диагонализовать одну из компонент М, например М„и М', этим мы и воспользуемся, чтобы задать йредставление. Удобно пользоваться оператором М, и неэрмитовой матрицей 1.= М,+ 1ио, (24.3) из определения которой следует равенство я1в = М,' + ~ (1.1.Я + СвЕ). (24.4) Пользуясь (24.2), можно найти правила перестановки для Е;.
(м' ц = о, [м„ц = и., [1., с.*) = 2йм,. (24б) Вадача состоит в нахождении такого представления, в котором матрицы М, и М' диагональны. Для нумерации строк и столбцов у матриц в этом представлении можно воспользоваться собствен- 166 Гл. уд Матричная формулировка кванеоовой механики ными значениями данных динамических переменных; их и надлежит определить, равно как и элементы матрицы Е. Далее, из уравнения (24.3) и эрмитово сопряженного с ним можно будет найти матрицы М, и М„: м„= — — (Е.в + Е,), М„= ! 1(Е. — Ц. (24.8) -Соотношения между матричными элементами.
Строки и столбцы в рассматриваемом представлении мы будем нумеровать парой индексов т и Е'. Собственные значения М, будут равны тй, так что и есть безразмерное вещественное число; связь собственных значений М' с числами Е' будет определена ниже (24.13). Первое из соотношений (24.5) в матричной форме имеет вид (МЧ.)„,, „,-,- — (Е.Мв)т;,т ч- = О. Вычисляя матричное произведение и принимая во внимание, что матрица М' диагональна, получаем отсюда ((Мв)е — (Мйч Е. чр щ 1- — — О, (24.7) где (М')р — собственное значение матрицы М', соответствующее числу Е'. Из (24.7) следует, что у матрицы Е отличны от нуля лишь те элементы, для-которых Е' = Е'".
Поэтому при определении Е индекс Е' можно временно не принимать во внимание; следует лишь помнить, что получаемые матрицы будут принадлежать какому-то определенному значению Е. Они могут быть частями большей матрицы, содержащей элементы с различными Е'; в ней, однако, не будет отличных от нуля недиагональных элементов, связывающих части матрицы с разными значениями Е. Таким образом, для обозначения строк и столбцов матрицы Е. на первых порах достаточно' одного индекса и. Тогда второе из равенств (24.5) дает (М,Е.)т, - — (Е.М,), ° = йЕ т. или, поскольку матрица М, диагональна и ее собственные значения равны тй, (гл' — т") йЕ,, -= йЕ, (24.8) Поэтому не равны нулю только те матричные элементы Е., для которых и' = лг"+1.
Обозначим их следующим образом: (24.9) где 1 — некоторое безразмерное число (может быть комплексное). Возьмем теперь и-й диагональный элемент от третьего из соотношений (24.5) ~ (Е,т т,Е,*, т — Е.,*„,Е., ) = 2йвш. Легко видеть, что каждая сумма здесь содержит только один в 34. Момент количества двинсенил отличный от нуля член, так что в силу (24.9) отсюда следует: ,'Л,Ф вЂ” !Л !в = 2т. (24.10) Собственные значения ЛХ„Равенство (24.10) представляет собой линейное разностное уравнейие первого порядка относительно !Л /в, и его общее решение содержит одну произвольную постоянную; ! Л," = С вЂ” и (и + 1). (24.11) Но, с другой стороны, величина !Л /' по определению положительна или равна нулю, тогда как правая часть (2411) при достаточно больших положительных и отрицательных т, очевидно, отрицательна.
Однако это не будет приводить к трудностям, если среди возможных значений и есть два такие т, и т„для которых Л = 0 и которые отличаются друг от друга на целое число. Тогда ряд последовательных чисел и, отличающихся друг от друга на единицу, может обрываться на обоих концах без того, чтобы величина (Л !' становилась отрицательной. На верхнем пределе (и = и,) уравнение(24.8) будет удовлетворяться, если У,т,+кт,= 0 (а не за счет наличиЯ собственных значений М„ б!льшнх и,). Равным образом выполнение равенства (24.8) на нижнем пределе (т = и,) будет обеспечено условием у.„, ь , = 0 (а не наличием собственных значений М„меньших т,+1). Очевидно, в интервале значений и от та+1 до т, включительно величина Я ~в будет неотрицательна.
Таким образом, мы получаем конечную последовательность собственных значений оператора М„отличающихся друг от друга на единицу и лежащих в интервале от ив+1 до и,; при этом числа т, и п~, представляют собой соответственно больший и меньший корни квадратного уравнения С вЂ” и (т+1) =- О, т. е. т, = — — + — (1 + 4С)'", и, = — — — — (1 + 4С)". Обозначим теперь и, через у. Тогда С = у'(у'+1) и собственныезначения М, изменяются в пределах от — у до у', отличаясь друг от друга на единицу. Это означает, что 2у'есть целое положительное число или нуль, т. е. у' может прийимать только значения О, 'У„1, 'У,... Собственные значения М'.
Матрица Е. Теперь в новых обозначениях равенство (24.11) принимает вид ! Л ~а = у'(у' -1- 1) — т (и + 1) = (у' — и) (у'+ и + 1). (24.12) Вычисляя диагональный элемент матрицы (24.4), находим собственные значения М': (М') = (т'+ — [у'(у'+ 1) — (т — 1)т+ у(у+ 1)— — и (и + 1) ) у! й' = у (у + 1) йв 170 Гл, !>Д Матричная формулировка квантовой механики Таким образом, имеется бесконечное число представлениИ для матриц М', М, и 1., каждое из которых характеризуется целым или полуцелым значением / и содержит 21+1 строк и столбцов. Как и следовало ожидать, при данном !'все собственные значения М' одинаковы.
Все эти представления можно объединить в одно представление бесконечного ранга, хотя часто удобнее рассматривать их отдельно, Равенство (24.12) не определяет фазы матричных элементов Е, которая остается произвольной. Это соответствует произволу в выборе фазы нормированных собственных функций оператора момента количества движения и не имеет физического значения. Поэтому мы положим все фазы равными нулю, в связи с чем для отличных от нуля матричных элементов !. получим 1(н>+!)Ь т! = ((!' — ел) (/+ 1п + 1))и Д.
(24,14) При 1'= О полный момент м' и все компоненты М представляются нулевыми матрицами первого ранга; (0). Для следующих трех возможных значений 1' матрицы, полученные с помощью (24.6), (24.13) и (24.14), имеют вид 1 — 2' х=-2 "11 О)> и — 2 1! О)> 1 1 О М.= 2й >.О 1), 3 „,~! О) (24.15) 3 2' Уз! ΠΠΠ— 21 О 2! Π— УЗ! О Уз! О 1 О О О 13 до О 1 О 0~1 О О ! О/ О О О 1 '=-"(" о о о 1 ΠΠΠ— 1 ΠΠΠ— 3 3 м,= —,'ч>,' М У2 1 0 1 О УЗ 1„Уз О О 2 О О „1О М„= -=.— ! о 1 Мв=23в О О о »)' О л-е. Момент величества движения Связь со сферическими функциями.
Сравнение всего изложенного с результатами $14 указывает на тесную связь между матричными представлениями оператора момента количества движения при целом 1' = 1 и сферическими функциями У, (О, ео), определяемыми уравнением (14.6). Сопоставление равенств (14.22) н (14.23) с выражениями для матриц М' и М, приводит к выводу, что введенные в $14 операторы момента количества движения дают просто другое представление матриц, рассмотренных в настоящем параграфе. Равным образом это относится и к матрице Е„ что можно показать, вычисляя результат действия С на сферические функцни. В соответствии с (14 20) и (24 3) в полярных координатах оператор 1.
имеет вид ь = деев [ав + (с1Я О з ) (24.16) зф Соответственно, пользуясь рассмотренными в О 14 свойствами сферических функций, можно показать, что 1Х~ (О, ч) = *[(! — т)(1+ ел+ 1))нИ', е,(О, р), (24,17) где знак минус берется для ел = О, а знак плюс — для ел < 0 (вычисления носят несколько различный характер для разных групп значений !и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
