Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е' сев — = ( — — рв+ — - А ° агап + — 61» А+ - — А'+ ер) вр. ЗС ( 2т сис 2тс 2тс' (23.24) Интегралы движения. Из уравнения (23.2) вытекает, что если Е не зависит явно от времени (так что вР/М = 0) и коммутирует с Н, то с)Р(с11 = О. В этом случае говорят, что Р является интегралолс движения. Обычно эти условия могут выполняться в любой момент времени, только если оператор Н сам является постоянным. Если вместо Е в (23.2) подставить Н, то для постоянной функции Гамильтона должно иметь место равенство ЭН~д1 = О, т.
е. оператор Н не должен явно зависеть от времени. Таким образом, если Н не зависит от 1, то функция Р от динамических переменных будет постоянной, если она не зависит от 1 и коммутирует с Н. Примером интеграла движения является любая координата (или любой импульс) системы, если только канонически сопряженный импульс (или координата) не содержится явно в Н. Поскольку рассматриваемая каноническая переменная коммутирует со всеми другими динамическими переменными, кроме канонически сопряженной с ней самой, то она в этом случае коммутирует и с Н. Так, например, если гамильтониан системы взаимодействующих друг с другом частиц не зависит от координат центра инерции, то полный импульс системы представляет собой интеграл движения.
Это З 28. Уравнения двианения в матричной форме 16З находится в соответствии с классическим результатом, согласно которому полный импульс системы взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил сохраняется. Аналогично с помощью третьей формулы (14.20) можно найти условие сохранения момента количества движения частицы. Из этой формулы следует, что оператор г-компоненты момента количества движения есть М, = (й(д/Зр), гдеф — угол поворота вокруг оси г. Поэтому имеет место операторное соотношение, аналогичное (23.1!): (23.25) уМ, — Му=1В, где у и М, можно рассматривать как канонически сопряженные переменные.
Следовательно, М, является интегралом движения, если оператор Н не зависит от угла ф )например, если потенциальная энергия ьг в (22.2) зависит только от расстояния 2 до фиксированного центра). Поскольку выбор оси г произволен, то величины М и М„также будут интегралами движения. Это согласуется с классическим результатом, согласно которому в центральном силовом поле момент количества движения частицы сохраняется. Оператор четности.
Четность,впервые рассматривавшаяся в й 9, определялась (см. также $ 14) как свойство собственной функции оператора энергии быть четной или нечетной по отношению к изменению знака всех пространственных координат. В квантовой механике можно ввести оператор четности Р, хотя он и не имеет классического аналога; он определяется как оператор отражения всех координат всех частиц относительно начала координат Р1(хы Уы аы х„ра, 2„..., 1) = = 1( — х„— у„— 2„— х„— у„— а, ..., 1). (23.2б) Из определения (23.26) непосредственно следует, что Р* равен единичному оператору 1. Поэтому если диагонализовать матрицу Р, то квадраты всех диагональных элементов будут равны единице, и; следовательно, собственные значения Р равны +1.
Если гамильтониан Н не изменяется при отражении всех координат относительно начала, то Р коммутирует с Н и потому является интегралом движения. Кроме того, в соответствии с й 21, матрицы Р и Н можно одновременно привести к диагональному виду. Поэтому собственная функция оператора'энергии имеет вполне определенную четность, которая с течением времени не измен яетсяп П Частица может обладать также внутренней четноотью, положительной или отрицательной в зависимости от знака, фигурирующего в уравнении Ртв(т, 1) =+ и( — т, 1). Заметим, что при этом оператор Р будет изменять уже не только координаты, от которых зависит волновая функция, но и саму волновую функцию.
11' — 4— 164 Гл. У1. Матричная формулировка квантовол механики Энергетическое представление. В $ 22 было показано, что систему собственных функций оператора энергии и,(г), удовлетворяющих уравнению Шредингера, можно рассматривать как унитарную матрицу, преобразующую гамильтониан от г-представления к диагональному виду; Нм = Ендм или Е,д()с — 1). Хотя результаты, полученные в $22, относились только к одному моменту времени, однако их можно сделать справедливыми и для любого момента времени, совершая преобразование с помощью зависящих от времени собственных функций и„(г)е ' "' (если только Н не зависит явно от времени). Матричное представление, в котором оператор Н приведен к диагональному виду, называется энергетическим.
Если функция Р не зависит явно от времени, то уравнение движения (23.2) принимает в этом представлении особенно простой вид: Екм 1 г — = — (РН вЂ” НР)м = „(Ек — Е~) Ры. (23 27) ш и Интегрируя (23.27), получаем к (1) рв н <вк — ар им (23.28) где Рко, есть значение матричного элемента при г = О. Таким образом, в энергетическом представлении недиагональные матричные элементы любой не зависящей от времени функции динамических переменных гармонически зависят от времени, причем частоты связаны с разностями энергий стационарных состояний формулой Бора (см. $ 2); диагональные же матричные элементы не зависят от времени. Теорема вириала.
Доказательство квантовой теоремы вириала можно провести по аналогии с соответствующим доказательством в классической механике. Там исходным пунктом является усред- нение по времени временнбй производной от г р (для системы, совершающей периодические движения, результат должен быть равен нулю). В квантовой механике аналогичной величиной будет производная по времени от среднего значения г р, т.
е. (в энер- гетическом представлении) диагональный матричный элемент ком- мутатора г р и Н (также равный нулю): — (г р) = —.„(((г р), Н)) = О, ((г ° р), Н) = ~(кр, + ур„+ ер,), а*+ ~~" + ~'+ 'у'(х, у, г)~ = И ас ау а~л = — (р' + р' + р') — И (х — + у — + г — ! = т х о в ах ау а ) = 2ИТ вЂ” И (г йгаб 'у), з Зд. Момент количества движения 165 (Т вЂ” кинетическая энергия). Отсюда следует, что 2 (Т> = (г ягас[ [г). (23.29) 3аметим, что совершенно безразлично, будем-ли мы исходить из выражения г. р или из р г, поскольку разность между этими выражениями постоянна и потому коммутирует с Н.
Если функция [г сферически симметрична и пропорциональна г, и, сверх того, средние значения существуют, то из (23.29) явствует, что 2(Т) = п([г). Случай и = — 1 находится в соответствии с результатами задачи 13 гл.[Ч, а случай и =- 2 в соответствии с результатами й 13. Днраковекие обозначения бра н кзт". Несколько отличные обозначения для состояний и матричных элементов основываются на представлении о бра- и кэт-векторах". Кзт-вектор аналогичен волновой функции, характеризующей состояние системы.
Группа таких векторов обозначается символом ) >, а один кэт, соответствующий и-му состоянию системы,— символом [и>. Суперпозиция двух состояний характеризуется линейной комбинацией соответствующих кэт. Бра-вектор аналогичен комплексно сопряженной волновой функции.
Символ (! означает группу таких векторов, а символ (и( — один бра-вектор, соответствующий и-му состоянию системы. Скалярное произведение бра-вектора на кэт, обозначаемое символом (п[пт), соответствует интегралу от произведения комплексно сопряженной волнозой функции одного состояния на волновую функцию другого состояния. Матричный элемент (22.5) в этих обозначениях записывается в виде (л~Н[гл).
й 24. Момент количества движения Интересный и практически важный пример прямого применения матричных методов для описания динамических переменных дает исследование свойств оператора момента количества движения. Мы будем рассматривать их лишь в некоторый определенный момент времени, не интересуясь изменением матриц момента количества движения со временем.
Однако нужно отметить, что если оператор момента количества движения коммутирует с гамильтонианом, то он является интегралом движения, и матрицы его не изменяют своего вида с течением времени. В 9 23 было показано, что зто имеет место в том случае, когда гамильтониан является сферически симметричным, П Указанные обозначения введены Дираком в третьем переработанном издании его книги [91 [во втором издании, переведенном на русский язык, зти обозначения отсутствуют). Названия бра- и кзт-векторов происходят от английского слова „Ьгасйе1" — „скобка". — Прин.
перев. и) См. книгу Дирака [9), 1 б — 8. хоб ГЛ. 'вв'. Матричная формулировка квантовой механики Определение момента количества движения. В соответствии с (14.19) момент количества движения М относительно некоторой точки выражается через радиус-вектор частицы г и ее импульс р равенством М=-гхр. (24.1) Здесь оператор р отнюдь не обязательно представлять в обычном дифференциальном виде; существенно лишь, чтобы для компонент г и р имели место правила перестановки (23.16).
Благодаря этому оказывается возможным найти не содержащие г и р правила перестановки между компонентами М: [Мх, Му] = (ур, — гру) (зр, — хр,) — (зрх — хр,) (ур, — ер ) = = урх (р,г — зр,) + хр, (гр, — р,г) = И (хру — урх). Таким образом, [Мх~ Му[ = ИМх~ [Му~ Мх) = ИМх~ [Мх~ Мх) = ИМу (242) Нетрудно видеть, что соотношения (24.2) справедливы также и для компонент оператора полного момента количества движения системы частиц, поскольку для различных частиц операторы г и р, а следовательно, и операторы момента количества движения коммутируют друг с другом. Однако оказывается, что соотношениям(24.2) удовлетворяют и такие матричные представления М, которые не совместимы с первоначальным определением (24.1). При возникновении такого рода противоречий иногда есть физические основания считать соотношения (24.2) более фундаментальными, чем (24.1) (см.
ниже). Заметим, что в силу первоначального определения (24.1) матрица М эрмитова, так как эрмитовыми являются операторы г и р. Будем считать, что это имеет место и в общем случае, так как допущение об эрмитовости компонент М не противоречит правилам перестановки (24.2). Определение с помощью бесконечно малых вращений. Момент количества движения можно определитьтакже способом, допускающим обобщение на более сложные случаи (системы многих взаимодействующих друг с другом частиц, волновые поля, спин). Пусть рассматриваемая система характеризуется гамильтонианом Н, не изменяющимся при вращениях Р системы координат. Тогда для произвольной функции 1 мы будем иметь )сН[ = Н[х[, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
