Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 31
Текст из файла (страница 31)
в1 Выражение А  — ВА обычно называется коммутатором величин А н В. — Прим. перев. таты на случай матриц с бесконечным числом строк и столб- цов". з" 21. Матричная алгебра 147 Нулевая, единичная и постоянная матрицы. Если А — произвольная квадратная матрица, то нулевая матрицаО определяется равенствами СА=гч А '=,~ (21.7) из которых следует, что все элементы матрицы С) равны нулю.
Если матрица А не квадратная, то все элементы С) по-прежнему равны нулю, но сами матрицы О, фигурирующие в разных местах в (21.7), имеют неодинаковое число строк н столбцов. Единичная матрица 1 определяется требованием, чтобы для произвольных матриц А и В выполнялись соотношения 1А=А, В1=В. (21.8) Из (21.8) следует, что единичная матрица является квадратной, и ранг ее (число строк или столбцов) равен числу строк в А или числу столбцов в В. Далее, ее элементы, лежащие на главной диагонали (й = 1), равны единице, а недиагональные элементы равны нулю; таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с символами Кронекера да„ введенными в й 1О.
Произведение числа с на матрицу А равно матрице сА, элементы которой получаются в результате умножения элементов матрицы А на с. Поэтому, если определить постоянную матрицу С как матрицу, кратную единичной, так что вместо единицы диагональным элементом будет отличное от нуля число с, то сА=СА, (21.9) где Са~ = сдвн — матричные элементы постоянной матрицы С'>. Шнур, детерминант и обратная матрица.
Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется ее шпуром (а также следом или диагональной суммой) и обозначается символом Яр: 8р (А) = ч," А „, (21.10) Детерминант квадратной матрицы определяется по обычному правилу вычисления детерминанта для чисел, расположенных в квадратной таблице, Матрица А может иметь или не иметь обратную матрицу А-', определяемую равенствами АА '=1, А зА=1. (21.11) Матрица А называется несингулярной, если она имеет обратную матрицу, и сингулярной в противном случае.
Если А — несингуляр') Терминология автора в данном случае отличается от принятой в математнне, где постоянной называется такая матрица, все элементы которой— постоянные числа. Однако данное определение соответствует определению интегралов движения в матричной формулировке квантовой механики (см.
1 23). — Прим, перев. 1О* — тг !48 Гл, 'вл. Матра»на» форМулировка квантовой меканики ная матрица конечного ранга, то можно показать (см. задачу 2), что она является квадратной и (!в, !)-й элемент обратной матрицы равен алгебраическому дополнению элемента Ам, деленному на детерминант матрицы А; таким образом, матрица сингулярна, если ее детерминант равен нулю.
Легко проверить, что для несингулярных матриц А, В и С (АВС) ' = С 'В 'А (21.12) Эрмитовы и унитарные матрицы. Матрица А' называется эрмитово сопряженной с А, если она получается из А заменой строк на столбцы и всех элементов на комплексно сопряженные им величины. Поэтому, если В= А*, то Вы= А„. (21.13) Нетрудно проверить, что эрмитово сопряженной с произведением нескольких матриц будет матрица, полученная в результате перемножения сопряженных матриц в обратном порядке: (АВС)* = С*В*А*. (21.14) Матрица называется эрмитовой, или самосопряженной, если она равьш своей эрмитово сопряженной матрице; таким образом, матрица А эрмитова, если А= А». (21.15) Эрмитовыми, очевидно, могут быть только квадратные матрицы.
Матрица называется унитарной, если эрмитово сопряженная с ней матрица равна обратной; таким образом, матрица А унитарна, если А* = А-' или АА' = 1 и А*А = 1. (21.16) Унитарные матрицы конечного ранга должны быть квадратными. Преобразование и диагонализация матриц. Преобразосание квадратной матрицы А в А' с помощью несингулярной матрицы Я определяется соотношением ЯАЯ-' = А'. (21.17) Отсюда ясно, что Я-' преобразует обратно А' в А.
Преобразование не изменяет вида матричного уравнения. Так, уравнение АВ+ СРЕ = Е при преобразовании переходит в ДАВЯ '+ БСРЕБ ' = ЯЕЯ-', з 21. Матричная алгебра 149 что эквивалентно уравнению ЯАЯ ' ЯВЯ '+ ВСЯ ' 81лЯ '. ЯЕЯ ' = ЗРЯ ' или А'В'+ С'11'Е' = Е', где штрихами обозначены преобразованные матрицы.
В силу инвариантности матричных уравнений относительно преобразований можно производить любые подходящие преобразования системы матриц, не нарушая справедливости получаемых при этом результатов. Квадратная матрица называется диагональной, если у нее отличные от нуля элементы расположены только на главной диагонали (1е = !). Диагональные элементы называются при этом собсп1- веннылш значениями матрицы. Нетрудно видеть, что п-я степень диагональной матрицы также будет диагональной и собственные значения ее будут и-ми степенями собственных значений первоначальной матрицы. Говорят, что матрица Я в (21.17) диагоналазуеш матрицу А, если полученная в результате преобразования матрица А' диагональна, т. е. А'„, = А'»д»и Для явного определения А' умножим (21.17) справа на Я: ЯА = А'Я.
(21.!8) Приравнивая элементы правых и левых частей (21.18), получаем систему линейных алгебраических уравнений: ~; В»„Ат, = А»Я»и нлн ~Я" В» (Ааа — А»д„,) = О, (21.19) где А» — одно из собственных значений А', а суммирование по индексу ш производится от единицы до д! (Х вЂ” ранг матрицы А). Равенства (21,19) можно теперь рассматривать как систему Х однородных алгебраических уравнений относительно элементов матрицы преобразования В»яи где !е фиксировано.
Необходимым и достаточным условием разрешимости этой системы является обращение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов уравнения; иначе говоря,детермйнант квадратнойматрицы(А „— Айд,) должен быть равен нулю. Отсюда получаем одно алгебраическое уравнение !ч'-й степени, так называемое вековое уравнение, имеющее 1»! корней А,'.
Таким образом, собственные значения диагональной матрицы А', полученной из А в результате преобразования, не зависят от способа диагонализации А (исключая, может быть, последовательность расположения): поэтому их называют также собственными значениями первоначальной недиагональной матрицы А. Матрицы А и А' называются вырожденными, если два или более собственных значения совпадают друг с другом. 15О !л, у1, Матричная формулировка квантовой меХаники Матрицы бееконечного ранга. Правила сложения и умножения матриц (21.2) и (21.3) очевидным образом переносятся на случай бесконечного числа строк и столбцов, если только бесконечная сумма в (21.3) сходится. Иногда мы будем иметь дело с матрицами, у которых число строк или столбцов (или и тех и других) является несчетно бесконечным; в этом случае один или оба матричных индекса становятся непрерывными переменными и обычное суммирование нужно заменить интегрированием. Мы не будем здесь подробно рассматривать эти возможности, но просто допустим, что все разумные результаты без каких-либо затруднений переносятся с конечных на бесконечные матрицы".
Когда говорят, что эрмитова матрица бесконечного ранга является квадратной, то имеют в виду, что ее строки и столбцы перенумерованы одинаковым образом. Унитарная матрица бесконечного ранга не обязательно должна быть квадратной, Ее строки и столбцы могут нумероваться различно; при этом, например, число строк может быть счетным, а число столбцов — несчетно бесконечным. В квантовой механике в основном имеют дело с эрмитовыми и унитарными матрицами, чаще всего бесконечного ранга. Основная теорема, которую мы примем без доказательства, состоит в том, что любую эрмитову матрицу можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования.
Из этой теоремы следует, что собственные значения эрмитовой матрицы определяются однозначно, с точностью до порядка их расположения. Как легко показать с помощью этой теоремы (см. задачу 1), для того чтобы можно было диагонализовать две эрмитовы матрицы с помощью одного и того же унитарного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы они комлеултировадш (Матрицы А и В коммутируют, если АВ = ВА.) Далее из этой теоремы следует, что собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.
Если Я и А в (21.17) представляют собой соответственно унитарную и эрмитову матрицы, то это соотношение можно переписать в виде ЯАЯ* = А'. (21.20) В силу (21.14) уравнение, эрмитово сопряженное с (21.20), имеет вид ЯАЯе = А"". Отсюда следует, что Агв = А', т. е. в результате преобразования с помощью унитарной матрицы свойство эрмитовости сохраняется. Если матрица А' эрмитова и диагональна, то из (21ЛЗ) следует, что все ее собственные значения вещественны. Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: если в результате унитарного М Более тщательное обсуждение этого вопроса и доказательство приводимой далее теоремы имеется в книге Неймана [51.
в' 22. Матрицы в квантовой механике преобразования матрицу можно привести к диагональному виду и все ее собственные значения вещественны, то она является эрмитовой, Важно отметить, что если ранг А бесконечен, то матрица А-х будет обратна А лишь в том случае, когда выполняются оба соотношения (21.11). Аналогично для унитарности А должно выпол литься как второе, так и третье соотношения (21.1б).
й 22. Матрицы в квантовой механике Появление матриц в квантовой механике легко связать с решением уравнения Шредингера (8.2). В этом параграфе мы будем пользоваться обозначениями, связанными с методом Гамильтона; более подробно они будут обоснованы в З 23. Перепишем уравнение (8.2) в виде Ни, (г) = Е„и, (г), (22.1) где индекс )о характеризует различные собственные функции оператора энергии и„(г), образующие полную ортонормированную систему, и соответствующие собственные значения Е, 1)о служит для обозначения как уровней энергии, так и различных вырожденных собственных функций; иными словами, этот индекс включает и Е и з из (10.7)1. Оператор энергии Н, называемый также гамильтонианом, определяется соотношением ев ав Зт+ () зтв + (22.2) В соответствии с й 8 индекс )о может принимать как дискретные, так и непрерывные значения; он может быть также дискретным в одном интервале значений и непрерывным — в другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
