Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Слагаемое с /, в правой части (20.9) представляет расходящуюся рассеян- ную волну, так как только в нем имеется множитель (1/г)е'а". Соответственно первый член в (20.9) изображает „плоскую" падаю- щую волну; в асимптотической области множителем — п'/й(г — з) можно пренебречь. Как падающая, так и рассеянная волны даже на бесконечности искажены логарифмическими фазовыми мно- жителями. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния в соответствии с (18.11) равно 'т,(О) (/'(О) ~ (гав)п' вге)' = (з в) ~ож~' г О.
(20 !!) Именно эта формула была получена Резерфордом с помощью классической механики. Она была подтверждена эксперименталь- но при исследовании столкновений а-частиц (ядер гелия) с более тяжелыми ядрами. Однако следует отметить, что при столкно- вениях тождественных частиц часть фазового множителя в ампли- туде рассеяния /,(О), содержащая угол О, может дать отклонения от классических закономерностей (см.
О 32). Нормируя падающий пучок на единичную плотность потока, следует взять константу С в виде С = п-и Г (1 + )п) е-""!'. Таким образом, волновая функция в кулоновском поле есть и, = п — ))Г(1+ т)е ™ме~'Р( — !и, 1, ИО) = = п-иГ(1+ т)е "' е! '"' Р( — т, 1, 2йгз)п"/вО). (20.12) Тогда плотность частиц при г = 0 можно найти с помощью раз- ложения (20.6) ' ~ д (0) )в — )С(в и-в (Г(1 -1- )и) (ве = ! в " —. (20.13) При малых скоростях сталкивающихся частиц (~и! ~ 1) отсюда следует; 2п)л) )и,(0))~~ „для сил притяжения, и (О, (20.14) ) и, (0) )в в~ — е и"" для сил отталкивания, и ) О.
140 Гл. ч'. Непрерывные собтсвенные значения. Теория столкновений Вторая из формул (20.14) представляет определенный практический интерес. Экспоненциальный множитель играет основную роль в реакциях между положительно заряженными ядрами малой энергии, когда радиусы ядер можно считать столь малыми, ,что для возникновения реакции сталкивающиеся ярда должны приблизиться друг к другу на нулевое расстояние. Величина ехр ( — 2зеЛГеа(йо) называется множителем Гамован и в основном именно она определяет значения скоростей многих ядерных реакций, происходящих при малых энергиях падающих частиц.
Решения в сферических координатах. При ядерных столкновениях, например в случае рассеяния протонов с энергией в несколько миллионов электроно-вольт атомами водорода,отклонения от кулоновского закона взаимодействия на малых расстояниях могут привести к изменению эффективного сечения. Для рассмотрения таких задач удобно модифицировать развитый в з 19 метод парциальных волн так, чтобы производить разложение по сферическим функциям для чисто куло ноас ко го поля, а поправки за счет искажения закона взаимодействия вводить в первые несколько членов с малыми !. Для этой цели нужно прежде всего решить задачу о рассеянии в чисто кулоновском поле с помощью сферических парциальных волн. Положим (20.15) и, = ~ И,(г)Р,(сон 9). ~ о Радиальное уравнение будет иметь вид Если сделать подстановку )г,(г) = г'е'н"1,(е), то для функции 1, получим г„—,'+ [2!!т + 2 (! + 1)] -„1-'+ (2!)е(! + 1) — 2пЦ 1, = О.
(2017) Это есть вырожденное гипергеометрическое уравнение (20.4), и его решение, регулярное в точке г = О, имеет вид !, (Г) = С,Р (! + 1 + !п, 2! + 2, — 2!!сг). (20.18) Пользуясь (20.7), можно найти асимптотическое представление (20.18) на больших расстояниях, откуда получаем Сидов/2Непг (2! 2) И, (г) —— — з1п(lсг — — !п — п1п 2!гг+ тв1, (20.19) <за)'гй+ 1+ !н)дс з О См. работы Гамова 181 и Горин и Кондоаа 19]. ! 20. Рассеяние кулоноссним полем где ~, = агд'Г(! + 1 + !и).
Коэффициенты С, следует определить так, чтобы разложение по нарциальным волнам (20.15) совпадало с решением уравнения в параболических координатах (20.12). В силу ортогональности полиномов Лежандра имеет место соотношение Р,(г) = — + ) Р,(сов В) и,(г, В) яп В И, (20.20) о где функция ис(г, В) дается второй из формул (20.12). Полного вычисления интеграла можно избежать, заметив, что в функции Р, (г) нам неизвестен только постоянный множитель Си Соответственно можно взять правую и левую части (20.20) лишь вблизи точки г = 0; тогда находим (2Ис) е "и Г(! + 1 +!и) ,и (з0~ Таким образом, мы получаем другое выражение для (20.12): и, = е-ие '"~ ~ + + (2!)ег)'е'"' х (~0 х Р(! -1- 1 -(- (л, 2! + 2, — 2!Кт)Р,(сов О).
(20.21) Искаженное кулоновское поле. Если истинный потенциал отклоняется от кулоновского выражения лишь при малых г, то по аналогии с результатами З 19 можно ожидать, что в сумме (20.21) изменятся лишь несколько первых членов. Поскольку вне области аномального потенциала все радиальные'функции должны удовлетворять уравнению (20.18) !и, следовательно, (,— уравнению (20.17)), то единственная возможность изменения (, состоит в том, чтобы добавить к ней нерегулярное решение 6 (! + 1+ (л, 2! + 2, — 2йт), определяемое формулой (20.8).
Коэффициент при 6 определяется из условия, чтобы асимптотическое выражение для полной волновой функции складывалось из кулоновских падающей и рассеянной волн, а также из добавочной расходящейся волны. Поэтому в каждом члене (20.21) нужно заменить Р на линейную комбинацию Р и 6, причем член УУ'„характеризующий падающую волну, должен оставаться неизменйым. Такой комбинацией будет ект (Рсоа д, + 6 гйп д,) = М,ею" + й',. Тогда модифицированную волновую функцию, удовлетворяющую волновому уравнению вне области аномального потенциала, можно 142 Гл. у. Непрерывные собственные значения. Теория столкновений записать в виде со и = и + и-ие ' 'з ~~ 1 ")(2йгг3'е'Я' х о1 с ~, 120! ~-о х (ееей 1) И~а(1+1+ 1п, 21+ 2, 2!йг) Р,(соз О).
(20.22) Это асимптотически дает и — и-и ~,' (21+ 1) ре' гм+вр (йг) х х е-в са ~-о х з!и (1ег — — 1п — п)п 2)гг+ щ + д~)) Р,(соз 0). (20,23) Как было показано в связи с (19.5), каждый член в правой части (20.23) с точностью до комплексного множителя должен быть вещественной функцией г, так что все фазы д, должны быть вещественны, Дополнительные сдвиги фаз д, можно найти, как и в 2 19, из условия непрерывности всех парциальных волн на границе области аномального потенциала. Однако если в 2 19 фазы д, характеризовали отклонение волновой функции от вида, соответствующего свободной частице, то здесь они описывают отклонение от волновой функции для частицы, рассеиваемой чисто кулоновским полем".
С помощью формулы (20.22) можно показать, что асимптотическое представление и имеет вид (20.9) с заменой 1,(О) на юо (О) = 1,(0) + ~х и-т (21 + 1) е' <хчгьвр х)п ЬР, (сох О). (2024) ~=о Дифференциальное зффективное сечение рассеяния равно )~ (О))'; в общем случае оно содержит член, возникающий в результате интерференции между амплитудой кулоновского рассеяния 1,(0) и добавочными членами, зависящими от фаз би Классический предельный случай для чисто кулоновского поля.
Как указывалось в 2 12, следует ожидать совпадения результатов квантовой и классической теорий во всех тех случаях, когда можно образовать волновые пакеты, движущиеся по классическим траекториям без заметного расплывания и притом настолько малые, что во всех точках пакета действующие силы можно считать одинаковыми. Там же было найдено, что наименьшее расширение волнового пакета за время 1 по порядку величины равно (Ф1)в)и или (М/усо)н = (20)н, где О = о) — расстояние, и Лли вычисления фаз би фигурирующих в 120.22), нужно знать ход функции й при малых г; полезные формулы приведены в работе йоста, Уилера и Бреата 1101.
Задачи проходимое пакетом за время 1, а Л = й/2м й/)хн — приведенная длина волны для относительного движения. Таким образом, классическую теорию можно применять, если (лп)н щ г( или (г(/й)н ~ 1, где Ф вЂ” расстояние, в пределах которого сила изменя- ется заметным образом. В кулоновском поле отталкивания длина б по поряд величины совпадает с классическим прицель- 71 ным расстоянием ЛЯ'ез/ — )хнз . Это дает также полезную оценку г/г и для кулоновского поля притяжения, поскольку при всех столкно- вениях, за исключением относительно небольшого числа случаев рассеяйия на большие углы, частицы никогда не приближаются друг к другу ближе, чем на зто расстояние, Таким образом, условие применимости классической теории есть ~гг'ез ~и В силу больших значений л угловая часть фазы /,(О), определяемая равенством(20.!О), быстро осциллирует с изменейием 8 и, следова- тельно, лишь в малой степени влияет на характер столкновений одинаковых частиц (см.
задачу б, гл. 1Х). Интересно отметить, что для кулоновского поля классический предельный случай осуществляется при малых скоростях н, тогда как для потенциала с конечным радиусом действия а (типа рассмотренного в 5 19) ои имеет место при (и/л)" ~ 1, т. е. при больших о. Это связано с тем, что при уменьшении п „протяженность" )22'сз/,иоз! кулоновского поля увеличивается быстрее, чем и = Д//гн. 3 А Л А Ч РГ 1, Показать, что в случае одномерной прямоугольной потенциальной ямы (фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
