Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Два значения 0, соответствующие одному и тому же В, [лежащему в интервале от О до агсз!п(1/у)], 8 18, Трехмерные столкновения 121 можно отличить по энергии рассеиваемой частицы (энергия больше при меньших О). Схематическая иллюстрация этого последнего случая (и )1) дана на фиг. 16,8. Наблюдаемая в лабораторной системе скорость частицы т, складывается из скорости в системе центра инерции ты и скоростй центра инерции в лабораторной системе координат т'. Если начало вектора ч, лежит в точке О, то геометрическим местом его концов будет окружность радиуса и".
Поэтому при и" (и' угол 0„ между результирующей скоростью т, и направлением падающего пучка не может превышать агсебп ( —,) = агсз!п ~ — ). По мере уменьшения у = и'/и" размеры окружности возрастают, и вектор и, получает возможность поворачиваться на все более и более значйтельные углы. Рассмотренные геометрические соотношения в равной мере справедливы как для квантовомеханической, так и для классической системы.
Дело в том, что по существу мы имеем здесь соотношения между векторами импульса в асимптотической области, где нет необходимости считать частицы точно локализованными в пространстве, вследствие чего они могут иметь определенные импульсы. Интересно отметить, что для столкновений электронов с атомами различием между лабораторной системой и системой центра инерции можно пренебречь, так как отношение масс сталкиваю- Шихся частиц весьма велико. Однако для ядерных столкновений различие между обеими системами координат обычно бывает существенно. Асимптотическое поведение. В системе центра инерции дифференциальное эффективное сечение а(0, т) можно найти, зная асимптотическое решение уравнения для относительного движения (16.5): Зв — — ° рви+ Рц = Еи.
2,и (18.8) В качестве аргументов волновой функции и можно взять изображенные на фиг. 16,6 углы О, р и расстояние между двумя частицами г. Согласно (16.4), приведенная масса р = т,т.~(т, + те). Из фиг. 16 нетрудно видеть, что энергия относительного двйжения Е= ' — Еел (18.8) т +т ою где Е, — начальная энергия падающей частицы. Интересно отметить, что величина Е представляет собой кинетическую энергию частйцы, масса которой равна приведенной массе 1в, а скорость— а22 Гл. У. Непрерывные собственные значения. Теория столкновений скорости относительного движения и.
Поэтому можно представить себе, что уравнение (18.8) описывает рассеяние частицы с массой ус, начальной скоростью о и кинетической энергией Е = удой/2 на неподвижном рассеивающем центре, описываемом потенциальной энергией У(г); при этом положение (фиктивной) частицы с массой га относительно рассеивающего центра определяется вектором г. Как и в $17, рассеяние определяется асимптотическим поведением функции й(г, О, ет) в области, где У = О.
На больших расстояниях между сталкивающимися частицами функция и должна содержать, во-первых, часть, описывающую падающую частицу с массой р, движущуюся в определенном направлении со скоростью о и, во-вторых, радиально расходящуюся волну: и (т, О, р) А[егйс+ т-'1(О, р)е'дт1, я =рз .
(1810) ! )— ф и г. 17. Схема лабораторной установки для исследования рассеяния. ский смысл коэффициенв точкенаелюдення р отсутствуетантерФеренвнв та А и угловои функции между падающей н рассеянной волнамн. можно выяснить вычислив \ поток частиц (как в $17). Однако при непосредственной подстановке (18.10) в уравнение (7.3) возникают члены, соответствующие интерференции между падающей и рассеянной волнами, которая не имеет места в большинстве экспериментальных устройств. Действительно, практически падающие и рассеянные частицы обычно отделяют друг от друга, коллимируя те или другие частицы.
Пусть, например, экспериментальная установка имеет вид, представленный схематически на фиг. 17. Падающие частицы, выходя из источника Я, коллимируются Первый член в (18.10) описывает частицу, движущуюся в положительном направлении вдоль оси г (т, е., поскольку г = г соя О, вдоль полярной оси О = О). Он представляет собой плоскую волну — собственную функцию оператора импульса (11.2), причем волновой вектор й направлен вдоль полярной оси и по абсолютной величине равен 1с. Второе слагаемое в (18.10) изображает радиально расходящуюся волну, амплитуда которой зависит от О и ср и обратно пропорциональна г (поскольку радиальная составляющая тока должна быть обратчо пропорциональна квадрату радиуса). Легко проверить, что при любом виде функции 1(О, т) выражение (18.10) асимптотически ,удовлетворяет волновому! уравнению (18.8) в области, где У = О, с точностью до членов порядка 11г.
и' Ж Рассеяние сферичесни симметричным нолем 123 диафрагмами ЕЮ в достаточно ограниченный пучок. Хотя коллимированный пучок и не описывается плоской волной типа е»а», однако его можно образовать путем наложения таких волн с волновыми векторами, лишь слегка отличающимися по величине и по направлению.
Полный угловой разброс, выраженный в радианах, по порядку величины будет равен отношению длины волны частицы к диаметру коллимирующего отверстия и, следовательно, практически его можно сделать чрезвычайно малым. Так как функция / обычно не слишком быстро изменяется при изменении углов, то небольшой разброс направлений волновых векторов не очень существен. Таким образом, в точке наблюдения Р имеется только член, содержащий /, и он практически совпадает с членом, фигурирующим в (18.10). При достаточно большом удалении от области рассеяния, член с / становится пренебрежимо малым, вследствие чего при вычислении падающего потока можно принимать во внимание только член, описывающий 'плоскую волну.
Поэтому в области наблюдения интерференционные члены обычно не имеют физического смысла, будучи лишь следствием идеализации, связанной с подстановкой в уравнение (18.10) точно плоской волныт'. Подставляя в отдельности каждое из слагаемых (18.10) в формулу (7.3), видим, что падающий поток направлен вдоль полярной оси и по абсолютной величине равен о1А)', главный член в рассеянном (радиальном) потоке есть и ~ А 1»1/(О» ф) 1» г» Отсюда по определению эффективного сечения получаем и(б, р) = ~/(б, в») 1в.
(18. 11) Как уже отмечалось в $17, в задачах о рассеянии точный выбор коэффициента А не играет существенной роли. Можно, в частности, нормировать волновую функцию так, чтобы плотность падающего потока была равна единице, для чего достаточно положить А=1/)го; иногда пользуются также условием / '(и~зйх = 1, где интегрирование проводится по объему большого параллелепипеда, на границах которого наложены условия периодичности. Часто мы будем полагать константу А просто равной единице. 9 19.
Рассеяние сферически симметричным полем Дифференциальное эффективное сечение рассеяния определяется лишь асимптотическим поведением волновой функции, но чтобы найти это последнее, необходимо решить 'волновое уравне- '1 В известной степени исключительный случай будет рассмотрен в следующем параграфе — см. дискуссию в связи с формулами (19.14) и (19.24). 124 Гя. (г. Неарерывние агбеягвенние значения. Теория еяголнновений ние (18.8) во всем пространстве.
Как и в задаче об уровнях энергии, рассматривавшейся в гл. Гт, решение возможно лишь если переменные в волновом уравнении разделяются. В частности, большой физический интерес представляет случай сферически симметричной потенциальной энергии. Мы допустим сейчас, что )г зависит только от г, и найдем связь асимптотического выражения (18.10) с решениями волнового уравнения, в котором произведено разделение переменных в сферических координатах; такой подход называется методом пирциальных волн. В последующей части настоящей главы мы в большинстве случаев не будем проводить различия между рассеянием частицы неподвижным центром и столкновением двух частиц в системе центра инерции.
Асимптотическое поведение. Очевидно, что задача теперь является симметричной относительно полярной оси, в связи с чем функции и, / и а не зависят от угла (в. Общее решение уравнения (18.8) имеет вид (см. $14) чч чч и(г, О) = '«'/ч',(г)Р,(сов О) = ~~„г-'Х,(г)Р,(сох О), (19.1) 1-0 ~-о где Р, — полипом Лежандра порядка 1, а функция т., удовлетворяет уравнению (19.3) евх, в~1 (((+ ц 19.2 (/(г) = зр(г (г) ( .) (а ) г -~ чо О. Асимптотический вид решения (19.2) с точностью до произвольного постоянного множителя определяется граничным условием, со- гласно которому при г = О функция /с, должна быть конечной, т.е. Х~ должна быть равна нулю. Чтобы выяснить общий характер асимптотического поведения функции ть будем считать г настолько большим, что в уравне- нии (19.2) можно пренебречь членами с (/ и 1.
Тогда решение (19.2) будет иметь вид е"'". Лучшее приближение получим, положив т,(г) = А ехр1 /г/(г')Ог'~ е*м", ьа где А и и — постоянные. Предполагается, что при больших г пер- вый экспоненциальный множитель является медленно меняю- щейся функцией г, в связи с чем при г функция /(г) должна уменьшаться быстрее, чем 1/г. Подстановка (19.3) в (19.2) приводит к следующему уравнению для /: /'+ /' ~ 21/(/ У()+ -(-„-,— 1 У(г), (19.4) я 1У.
Рассеяние сферичесяи симметричнмм исаем 125 где штрих означает дифференцирование по г. Если теперь Ис(г) при болыпих г убывает как г-е(з > 0), то главную роль в левой части играет последнее слагаемое, и ! также убывает как г-". Если еще а> 1, то при больших г волновая функция т, ведет себя как е*'Я",так как интеграл в показателе (19.3) сходится при больших г. Если же И' при возрастании г убывает экспоненциально или как гауссова функция (что возможно лишь при ! = 0), то может оказаться существенным не только третий, но и первый член в левой части (19.4). Легко показать, что и в этом случае т, при больших г ведет себя как е""". Единственный физически интересный случай, требующий особого подхода, представляет кулоновское поле, когда независимо от значения ! функции (! и И/ при больших г ведут себя как 1!»; этот случай,,будет рассмотрен в $ 20.Таким образом, асимптотическое выражение функции т,(г) в общем случае можно записать в виде Х,(г) — А~ гйп (!се+ д,'), (19.5) где величины А; и д;, вообще говоря, могут быть комплексными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
