Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Параболические координаты 9, и, сс выражаются через сферические координаты следующим образом: 9 = г — з = г (1 — соз 9), ч = г+ з = г(1+ соз 9), (! 6.25) т' = 9' Поверхности 9 = сопз1 имеют вид конфокальных параболоидов вращения с полярной осью з и фокусом в начале координат, открытых в направлении положительных з (илн 9 = О).
Поверхности Ч = сопз1 представляют собой аналогичную систему конфокальных параболоидов, открытых в сторону отрицательных з (9 = и). Поверхности р = сопз1 — такие же, как и в сферической системе координат; они представляют собой плоскости, проходящие через полярную ось. Волновое уравнение для атома водорода в параболических координатах принимает вид + — — ~ — -и = Еп, Е (О. (16.26) сч зор с+и Переменные можно разделить, полагая и Ы ч, р) =! Я и (ч) Ф (р) н деля обе части на и; при атом сразу же отделяется переменная р.
+ 4ры,ч зр!я~И 1 аа (1627) ае(~ + ч) ае э фР ' Поскольку левая часть уравнения (16.27) зависит только от 9 и и, а правая часть — только от р, обе части должны быть равны постоянной, которую мы обозначйм через и'. В соответствии с $ 14 это дает для нормированной функции Ф (р) выражение, совпадающее с (14.8): Ф„(<р) = (2гс)-не'"'е, и = О, ~ 1, ь 2,... (16.28) о 1д. Аоова водорода 1ОВ В оставшейся части уравнения (16.27) можно разделить переменные с и и: 1 И И! вав р1Е1 алев =-1 —.— (" — )- — —.— '1=' (' 1 д НЕ вав р~Е~ где постоянную разделения о нужно определить из граничных условий.
Таким образом, уравнения для функции 1 и р имеют вид Поскольку они имеют одинаковый вид, отличаясь только постоянными членами, достаточно решить лишь одно из них. Уровни энергии. Первое из уравнений (16.30) можно решить тем же методом, что и (16.6). Подстановка 1 = аб приводит его к безразмерному виду С дд (('~у)+(С А Ам)~=0~ (16.31) коль скоро параметры а и Л, даются формулами 2,и!Е~ 1 1рЛЕв л.= — ( — * —,). ав ' ' а 1 ав (16.32) Второе из уравнений (16.30) также приводится к виду (16.31), если положить ~ = ал, где а — то же, что и в (16.32); при этом Л, заменяется на Ле=— (16.33) Будем теперь решать уравнение (16.31) так же, как и (16.7).
Асимптотическое поведение решения определяется множителем е-', где в показателе надо выбрать знакминус. Ряд, на который умножается экспоненциальная функция, начинается с члена с', где, как легко показать, з = ~ и/2. Поэтому положим 1((') = е " С~ "~ Ь(~) (16.34) Подставляя это в (16.31), получаем для Ь уравнение Ь + (~л1~+ 1 ~) Ь + [Л' 2 (~пг/+ 1)1 Ь 0' (16'35) Как и в случае (16.12), волновая функция (16.34) расходится при больших с, если ряд для 1.
не обрывается, превращаясь в полипом. Полиномиальные решения представляют собой присоединенные 110 Гл. 1У. Диснретнвсе сооственнвве значения. Уровни внергии полиномы Лагерра; сравнение (16.20) и (16.35) показывает, что они равны Е.„","+',,(с), где и, = 1, — — (~т(+ 1) (16.36) есть положительное целое число или нуль. Аналогично из уравнения для р(и) следует, что и, = Ав — — ((т)+ 1) (16.37) также есть положительное целое число или нуль.
Равенства (16.36) и (16.37) дают Л, + 2, = и, + ив+ ~ т ~+ 1 = и, . (16.38) где и — положительное целое число, не равное нулю. Уровни энергии находим, комбинируя (16.32), (16.33) и (16.38): евай рввев Е = — ~Е » = » = ср обвив ~ в согласии с (16.15). Поскольку, согласно (16.38), число и можно различными способами выразить через три квантовые числа и„ и, и т, то уровень энергии Е„является вырожденным. При т = О и, и и, можно выбрать и способами.
При )т( > О можно двояким образом выбрать значение т(=~)т!), после чего остается еще и — 1т~ возможностей задать и, и и,. Таким образом, кратность вырождения и-го уровня в соответствии с полученным ранее результатом равна » — 1 и + 2 ч' (и — ~ т ~) = и + 2 [и (и — 1) — ] = ив. ~.Т:~ Волковые функции. Из предыдущего ясно, что в параболических координатах ненормированные волновые функции атома водорода имеют вид — » П ч- я) т ~ т Пз / т ( 1т/ И»„»., ($, В1, Вр) = Е (б В1) 1-»,+~т ~ (аб) Е,Ч. ~ т ~ (ап) Е™МВ, роев В'(и,+л +~т~+Ц' При заданных значениях уровня энергии Е„и магнитного квантового числа т (и > ~т!) параболические квантовые числа и, и и, можно выбрать так, что и, + и, = и — (т) — 1, т.
е. и — (т~ различными способами. Аналогично при заданных и и т азимутальное квантовое число 1 можно выбрать так, что )т! =-1~ и — 1, т. е. также и — ~т! различными способами. Поэтому и — ~т~ произведений функций от б и и представляют собой линейные комбинации и — 1т~ произведений функций от г и б. Задачи Связь между решениями в параболических и сферических координатах выглядит особенно просто для основного состояния. В этом случае и, = и, = т = О, и в параболических координатах решение есть просто ехр [ — /[Лез(с+ г))/2дз). При этом в сферических координатах мы имеем п = 1, / = и = О, и собственная функция имеет вид ехр [ — /[2езг/Дз[, Из (1б.25) ясно, что эти два решения тождественны.
ЗАДАЧИ 1. Прнменнть правила квантования Бора — Зоммерфельда (см. 1 2) для определения уровней энергии гармоннческого осцнллятора н для нахождения кртговых орбит в атоме водорода. Сравнить с результатами, полученнымн в настоящей главе. 2. Определить по порядку велнчнны разброс квантовых чисел н энергий состояний, дающих существенный вклад в осцнллнрующнй волновой пакет для гармонического осцнллятора. 3. С помощью пронзводящей функцнн для полнномов Эрмнта вычислить ОО / й„(х) х'и„(х) дх, где и — нормированные волновые функции гармоннческого осцнллятора. 4. С помощью производящей функции для полнномов Лежандра вычнслить ннтеграл 1 [ Р[(м) Р[ (я[) Дж. -1 6. Найти приближенное аналитическое выражение для уровня энергии в случае прямоугольной потенциальной ямы (1 = 0) прн условии, что У,аз лишь немногнм больше л'й'/8т.
6. Показать, что для прямоугольной потенциальной ямы значення Учат, пан которых происходит образованне новых уровней энергии с !) О, равны а х'/2т, где а — не равные нулю корня уравнении /[ [ (а) = 0 (см. прнмечанне ! на стр. 10!). 7. Предположить, чтоэнергня взанмодействня между нейтроном н протоном в дейтроне нмеет внд прямоугольной потенцнзльной ямы с а = 2,00 ° )О " сэь Принимая, что прн ! = 0 уровень знергнн системы равен — 2,23 Мзг, вычислить значение Уч в Мэз с точностью до третьего знака. Сравнить ответ с получающимся по приближенной формуле, выведенной в задаче б.
8. Рассмотреть уравнение (!4.)7) с ! =0 н У (г) = — У,е — Нч, Заменить переменные, полагая х = е-с[за, н показать, что прн этом получается уравненне Бесселя. Выяснить, какие граничные условия нужно наложить на функцню д (з) н как с нх помощью можно определять уровни энергнн. Найти ннжннй предел У„прн котором еще существует связанное состояние. 8. Найти выраження для собственных функцнй н уровней знергнн частицы, находящейся в двумерном круговом ящике с идеально твердыми стенками. 18.
В $ 9 показано, что в .одномерной прямоугольной потенцнальной яме связанное состояние существует прн любом положнтельном значеннн У,аэ, а в з !б показано, что в трехмерной прямоугольной потенцнальной яме связанное состояние существует лишь прн У,аз) лайз/8т. Как будет обстоять дело в случае двумерной прямоугольной потенцнальной ямы? 112 Гл. (р. Дискретные собственные значения. Уровни энергии Имеют ли эти результаты физический смысл, и если да, то в чем он заключается? 11.
Если твердое тело с моментом инерции 1 относительно некоторой оси вращается вокруг этой оси, то уравнение Шредингера дчя него имеет вид др йв дчр !й— д! 2( Зев ' где р(р, 1) — функция времени ! и угла поворота вокруг аси вн Какими граничными условиями нужно пользоваться при решении этога уравнения? Найти нормированные собственные функции н собственные значения оператора энергии, Имеет ли здесь место вырождение? !2.
Решен волновое уравнение в прямоугольной скстеме координат, найти уровни энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора (У(г) = Кгв/2). Определить степень вырождения каждого иэ уровней энергии. Показать, что переменные в этом уравнении разделяются также в сферических и в цилиндрических координатах. 13. Показать, что среднее значение потенциальной энергии электрона в и-м квантовом состоянии атома водорода равно — 2вев/авив. С помощью этого результата найти среднее звачеиие кинетической энергии. 14. Найти нормированные волновые функции атома водорода в параболических координатах для и = 2, т = О. Представить их в виде линейных комбинаций соответствующих волновых функций в сферических координатах.
15. Рассмотреть вопрос о четности волновых функцяй атома водойода в параболических координатах. ЛИТЕРАТУРА 1. 8 о ш ш е г ! е(б А., %аче Месйап(сз, Хевч Уог1с, 1929. (Имеется русский перевод: А. 3 о м и е р ф е л ь д, Волновая механика, М.— Л., 1933.) 2. Е( з е п Ь а г 1 !.. Р., РЬуз. Кеч., 45, 428 (1934). 3. Р а и!(п 8 1, )н'!!за п Е. В., (г., 1п1гобисВоп 1а Яиапгиш Месйап(сз, Хечв Уог1с, 1935. 4. )й Ь ! 1!а !с ее Е. Т., % а!хоп О.
Х., А Соигзе о1 Мобегп Апа1умз,41Ь еб., СашЬНбйе, (.албан, 1935. (Имеется русский перевод: Е, У и ттек е р, Г. В а тс он, Курс современного анализа, М.— Л., 1937,) 5. М о г з е Р. М., ЪЧЬга((оп апб 8оипб, 26 еб., Хечв Ъог(с, 1948. (Имеется русский перевод: Ф. Мор з, Колебания и звук, М.— Л., 1949.) 6. чг а1зо п О. Х., Тпеогу о1 Веззе! РипсЫопз, 26 еб., Хевв Уог(с, 1945. (Имеется русский перевод: Г. В а т с о и, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.) ГЛАВА НЕПРЕРЫВНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ Задачи с непрерывным спектром собственных значений оператора энергии обычно возникают при рассмотрении рассеяния частицы силовым полем (столкновений). Метод решения этих задач отличается от метода, применявшегося в предыдущей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
