Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(14.13) 2~т>(~т!)!(1 — 2зт+в)~ ~+ и Сферические функции. Угловая часть у, (В, р) полной волновой функции, удовлетворяющая уравнению (14.4) при Л = ! (1 + 1), называется сферической функцией (или сферической гармоникой). Очевидно, )с, (В, у) = Ж, Р(" (соэ В)Ф (у), (14.14) где Фм (у) дается формулой (14.8), а )ч', — нормировочная постоянная для присоединенного полинома Лежандра. Так же, как в В 10 была доказана ортогональность собственных функций оператора энергии, можно доказать и ортогональность ешеннй уравнения (14.4), соответствующих различным значениям или 1.
Однако собственное значение 1 является (21+1)-кратно вырожденным, так как ему принадлежат все линейно независимые решения г, (В, о), в которых и принимает любое целое значение от — 1 до +1. В силу специального вида функции Ф (р), определяемой выражением (14.8), все эти вырожденные собственные функции взаимно ортогональны. Таким образом, интеграл я 2л 1 Зя ) ) ),„<В,ср))сг ° (В, р) э(п Вс(Встр= ) ) )', )е, Ь ьр о о -з о обращается в нуль, если только не имеют места условия! = Р и и = сп'. Интересно отметить, что сферические функции, так сказать, не более ортогональны, чем это необходимо для обращения интеграла в нуль, когда следует. Именно при любых значениях 1 интеграл по р обращается в нуль при и ~с ж'; интеграл по В 6 74. Сферичесни симметричные потенциалы в трехмерном пространстве 93 или в обращается в нуль только при 1-х 1' и (тл! = ~т'(, так как при ел ~х ел' ортогональность обеспечивается.
интегралом по р. Интеграл 1 ) Р, (в) Р~."(ьч) Ов (14.15) -е можно вычислить различными способами, например с помощью производящей функции (14.13), как это делалось в $13. Как и следовало ожидать, интеграл (14.15) отличен от нуля только при 1 = Г, причем в этом случае он равен (21(21+1)] 1(1+)т!)!1(1 — ~гл!)11. Следовательно, в качестве постоянной Х, (содержащей произвольный фазовый множитель единичного модуля) можно взять обратное значение корня квадратного из этой величины. Таким образом, нормированные сферические функции имеют вид В частности, первые четыре гармоники запишутся так: 1 ~ 3 чи усчо = Уел = ~ — ) сйп Ое'в, (4п) ь (вп) )ено =(4 — ) соз О, Уь е=(8 — ) "81п Ое-'в.
Четиость. Теперь можно обобщить введенное в $ 9 представление о четности на случай трехмерных задач, рассматриваемых в настоящем параграфе. Произведем отражение относительно начала координат, т. е. заменим переменные так, чтобы радиус-вектор гперешел в — г. Зто соответствует замене х на — х, у на — у и г на — г или же (при неизменном г) замене 6 на л — 6 и р на р+ л.
Единственное изменение, которое может при этом произойти в (14.1), состоит в замене волновой функции и(г, О, р) на и(е, ее — О, р + л); структура и коэффициенты уравнения остаются неизменными. Тогда из результатов $9 следует, что можно найти ортогональные линейные комбинации вырожденных собственных функций, имеющие определенные четности, а невырожденные собственные функции должны сами обладать определенной четностью. При 1 > 0 уровни энергии для сферически симметричного потенциала вырождены по крайней мере по отношению к квантовому числу и.
В этом случае четность всех вырожденных собственных функций одинакова и, как мы теперь покажем, равна четности числа 1. Действительно, при преобразовании отражения радиальная часть решения . Р(г) остается неизменной. функция Ф(р), определяемая соотношением (14.8), имеет четность (ел!. Четность Р, (сов 6) определяется величиной1 — )т(,так как функция Р',"(в) равна четной части (1 — юв)~/з, умноженной на полипом 94 Гя э У, Дискретные собственные значения. Уровни энергии от 1р, четность которого относительно изменения знака ю или сод а равна четности ! — )т!. Таким образом, четность у! (О, в), а следовательно, и и(г) совпадает с четностью числа !.
Момент количества движения. Радиальное волновое уравнение (14.3) можно переписать в форме, напоминающей одномерное волновое уравнение (8.5). Если положить )ч'(г) = т(г)!г, то уравнение для новой радиальной волновой функции т можно записать в виде гаа'+ 1!)г(г)+ г ' ] Х= ЕХ. !(! +!) вв Таким образом, радиальное движение аналогично одномерному движению частицы с потенциальной энергией 1 (г) + 2еясв !(! + 1) вв (14.18) Физическое происхождение добавочной „потенциальной энергии*' связано с моментом количества движения, в чем легко убедиться следующимобразом. Обозначим через М момент количества дви- жения классической частицы относительно оси, проходящей через центр орбиты перпендикулярно ее плоскости. Тогда угло- вая скорость частицы будет си = М!тгв, где г — расстояние от частицы до начала координат.
Чтобы удержать частицу на орбите, необходимо приложить силу, направленную внутрь и равную елен г = — . Мв еяез ' Эта „центростремительная сила'" создается потенциальной энер- гией, в связи с чем к энергии У(г), характеризующей радиальное движение, нужно прибавить дополнительную „центробежную потенциальную энергию" Мв!2тгв. Коль скоро М = [!(! + 1)]и й, то эта энергия совпадает с добавочным членом в (14,18), Высказанные физические соображения в пользу отождест- вления квантового числа ! с моментом количества движения частицы получат количественное обоснование, если ввести опера- торы, соответствующие трем компонентам вектора момента коли- чества движения.
В классическом случае мы имеем а1 = гхр, следовательно, при квантовом рассмотрении надо положить а а Мх= Уре гРи = И!У д га ) Мя = хр„— хр, = — !Д ( —, — — ), а а (14. 19) ах ае! ' а а1 М, = ХЄ— УР„= — !ее (Х вЂ” — У вЂ” 1. ау дх! ' О 14, Сферически симметричные потенциала в трехмерном пространстве зз Преобразуя выражения (14.19) к сферическим координатам, получим М„ей (мп р — + с!з 0 сов р а а М„ей(-свеев — + с!д Омп со — ), з з М, = — !й —. а~ ' В силу (14.20) оператор квадрата полного момента количества движения имеет вид Сравнение уравнений (14.21) и (14.4) показывает, что У~ (О, р) является собственной функцией оператора М', йринадлежащей собственному значению !(!+1)й'.
М' У,„,(0, о) = ! (! + 1) йЧ'„„(О, р). (14.22) Аналогично, сопоставляя (14.8) и последнюю из формул (14.20), видим, что Ф (р), а следовательно, и У, (О, р) есть собственная функция оператора М„принадлежащая собственному значению тй: (14.23) М,)е, (О, р) = !яйся, (О, д). Таким образом, волновые функции, получающиеся при разделении переменных в волновом уравнении в сферических координатах, являются собственными функциями как полного момента количества движения, так и его проекции на полярную ось.
Квантовое число 1, фигурирующее в (14.22), называется азимутальным или орбитальным квантовым числом. Величина гл, входящая в (14.23), называется магниелныле квантовым числом, так как она играет важную роль в теории эффекта Зеемана (см. $39), где приходится иметь дело с компонентой момента количества движения в направлении магнитного поля (направленного вдоль оси г). Следует заметить, что если потенциальная энергия Ъ'(г) не является сферически симметричной, то в общем случае нельзя разделить переменные в волновом уравнении и получить таким путем собственные функции оператора момента количества движения. Это соответствует классическому результату, согласно которому момент количества движения является интегралом движения только в случае центральных сил, описываемых сферически симметричным потенциалом. Есть, однако, одно характерное различие между классической и квантовой теориями: в пер- 96 Гл. в"е'.
Дискретневе собственнвее эначения. Уровни энергии вой все три компоненты М можно точно определить одновременно, тогда как во второй в общем случае одновременно можно задать только М, и М'. Действительно, сферические гармоники У, (9, р) не являются собственными функциями операторов Мв й М„(исключая случай 1 = О). Этот результат можно связать с прийципом неопределенности.
Разумеется, выбор направления полярной оси, выделяющий М, по сравнейию с М„и М„, является совершенно произвольным, что соответствует произволу в выборе оси пространственного квантования в старой квантовой теории (в отсутствие внешних полей). й 15. Трехмерная прямоугольная потенциальная яма Теперь мы можем приступить к определению уровней энергии связанных состояний, соответствующих тому или иному част- ному виду потенциальной энергии 1г(г) и Уггг данному, значению орбитального квантового а числа 1.
Для этого надо будет решить г радиальное волновое уравнение (14.3) при заданной функции (г(г). В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную потенциальцую яму конечной глубины, для котоРой (г(г) = — (го пРи г<а и М(г) =0 при г) а, где )го>0 (фиг. 13). Сферичеф я г 1 3 с ф е р я я е с к я с к а я о б л а с ь д а н н о ' о и п а, в н у р и ко о р о й сяииетряяяяя прямо- потенциал меньше, чем в остальных точках угольяяя яотеяцияяь- пространства, является центром притяжения "эя яиэ гяувяяов Ув таК жЕ, КаК ЗтО ИМЕЛО МЕСТО В ОдНОМЕрНОМ случае, рассмотренном в $9.
Нулевой момент количества движения. При 1 = 0 проще решать волновое уравнение, записанное в виде (14.17), а не (14.3). В этом случае 17(г) = Х(г)/г и уравнение имеет вид М «'х — — — — (гх=Ех г<а 2т «гв 0 а' «'х — — — =ЕХ г>а. 2т «гя Уравнения (15.1) решаются так же, как и в $ 9 (случай конечного скачка потенциала), с той лишь разницей, что, во-первых, в настоящей задаче энергия отсчитывается не от нуля, а от ~'„.
вовторых, в $9 переменная х изменялась от — до +, тогда как теперь г изменяется от 0 до +; в-третьих, граничное условие, согласно которому волновая функция не должна обращаться в бесконечность при х = —, заменяется теперь таким же усло- вием в точке г = О. 5 >5. Трелмеряая прямоугольная потенциальная яма 97 Из результатов $9 следует, что решение (15.1) имеет вид у(г) = Аз!пзбг+ В сов иг, и = [ '„, 1, г< а, гэт(к — ! е ~1>н (15.2) т(г) = Се р", причем нас интересуют связанные состояния, когда Е ' О. В силу условия конечности /г(г) при г = О следует положить В = О в первой формуле(15.2). Таким образом, функция т(г) имеет вид нечетного решения одномерной задачи, Уровни энергии можно найти, приравнивая два значения (1/у) (дт/с!г) в точке г = а [что эквивалентно условию непрерывности (1/1г) (гЯ/>/г) в этой точке) и решая уравнение а с!б иа = — />, (1 5.3) совпадающее с (9.6). Из результатов й 9 явствует теперь, что при Ъ'„аз ь лава/8л> дискретные уровни энергии отсутствуют, при л'йз/бт < Ъ'звз ~ 9>гзйз/8п> имеется одно связанное состояние и т.
д. Решения во внутренней области при произвольном 1. Если 1-Ф О, то удобнее пользоваться не уравнением для т, а первоначальным радиальным уравнением (14. 3). Положим д = аг, где и дается формулой (15.2), тогда при г < и волновое уравнение имеет вид — „, + — „—,+ [! — —, 111 = О. (15.4) Близкое сходство между(15.4) и уравнением Бесселя наводит на мысль связать /с(г) с функциями Бесселя. Это действительно можно сделать. Введем сферическую функцию Бесселя />(р), регулярную в точке р = О, определив ее соотношением'> />(р) = ~,) ./>+и(р) (15.5) где / — обычная функция Бесселя полуцелого порядка. Как нетрудно проверить, функция /,(р) удовлетворяет уравнению (15.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
