Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 18
Текст из файла (страница 18)
соответствующие этим стационарным волновым функциям, мало похожи на соответствующие плотности для классического гармонического осциллятора; последние пропорциональны я — «в)-ч», где йо — амплитуда классического осциллятора, энергия которого равна квантовомеханическому собственному значению оператора энергии. С возрастанием п классическая и квантовая плотности вероятности становятся все более и более близкими. На фиг.
11 приводятся графики )и !в для и = 10 (сплошная кривая) и плотности для классического осциллятора с полной энергией (вт/в)йео, (пунктирная кривая). В среднем соответствие является очень 86 Гл, в )с. Дискретные собственные значения. Уровни внергии хорошим; главное отличие состоит в быстрых колебаниях функции [и,['.
Из равенства (7.8) можно получить среднее значение потенциальной энергии: ()г)„= ) й„(х) — Кхви„(х) е(х = ОЭ 'ч( в ) (П+ )йсос Ен [интеграл ) ха[и„[ас(х можно вычислить с помощью производящей функции аналогично (13.18)). Таким образом, как и у классического 1В 17 1б 1Б 14 1В 1й 1 вв -В - 1 -3 -В -1 О г З 4 5 и Ф и г. 1!.
Плотность вероятности координат для гармонического осцнллятора в состоянии и = 10 (сплошная кривая) и для классического осциллятора с той нге полной энергией (пунктирная кривая), (Паулинг и Вильсон (3).) осциллятора, средние значения потенциальной и кинетической энергии при любом п равны половине полной энергии. Аналогичным путем можно показать, что <х) = (р = О для любой волновой функции гармонического осциллятора и, следовательно, в силу (12Л) (ох)' = (ха> и (йр)а = ( ра). В связи с этим легко видеть, что произведение неопределенностей равно йх стр = [и + 1) й. Для собственной функции основного состояния () З.)й) е ГЗ.
Линейный гармонический осциллятор 87 это произведение достигает наименьшего 1см. (12.7)1 возможного значения $~2. Как и следовало ожидать, функция (13.19) имеет вид (12.11). Таким образом, если величину Ьх соответствующим образом связать с К и т,то функция, характеризующая минимизирующий волновой пакет, будет собственной функцией оператора энергии гармонического осциллятора.
Осцнллнрующий волновой пакет. В соответствии с (10.18) общее решение зависящего от времени уравнения Шредингера для гармонического осциллятора а ач аа 1 гЬ вЂ” т(х 1) — ( а *+ Кх) р(х 1) можно разложить по стационарным волновым функциям; чр(х, 1) = ~2', А„и„(х) е ' "и =е '""' ~~'," А„и (х) е ""', (13.20) о-о -о где А„— произвольные постоянные. Таким образом, с точностью до фазового множи'геля е * ' " функция р(х, г) является периодической по1 спериодомклассическогоосциллятора 2гс/ео,.
Это наводит на мысль, что, по-видимому, возможно найти решение в виде волнового пакета, центр тяжести которого осциллирует с классическим периодом. Для исследования этой возможности допустим, что при Г = 0 функция (13.20) имеет вид нормированного минимизирующего пакета (13.19), центр тяжести которого, однако, смещен в положительном направлении оси х на расстояние а: чр (х, 0) = ~ А„и„(х) = —,—, е ' '* ю м.
(13.21) =о Для определения коэффициента А умножим (13.21) на и (х)и проинтегрируем по всем значениям х, пользуясь свойством ортонормированности функций и„: А = ) и (х) чр(х,О) дх = ц (с) е ечзр и — Б>ча й~ с = сей ; ч,а'б Интеграл в правой части можно вычислить с помощью производящей функции, приравнивая почленно коэффициенты в двух разло- 88 Гл. Х(е. Дискретние собственные энаиенин. Уровни энергии жениях интеграла: ОР ие Эп е — е +Ое(е (в и '! (1м) !(ее ~~ в !' О (ее) е (Р (ее '! (1м) се и! и-О и '1, -(1м+е( 1, -(ем (эее) и! -О Принимая во внимание (13.17), получаем -(1 м епв А,= (2пи!) (13.22) Подставляя это в (13.20), находим — М(а — ФΠ— ве!а ~ ((п(в) (! Ое -еев!) и п-О и ' ! 1 О 1 е 1 . 1 в — геев! \! 'ее!! — ехр ( — — с — — с — — ио ! — — с е -1- сесе !! и!' !. 2 4 О 2 ' 4 = —, ехР ! — — (8 — (:О соэ со,!)'— ине ! 2 ! ( 2 Овс! + Сио Э!П Сае( 4 СО $!П 2вое!)1 !сумма вычислена с помощью производящей функции (13.10)].
Плотность вероятности координат, определяется квадратом модуля ер(х, (): (Х () !О = — " ' (* е"'""'> Отсюда видно, что функция ер в данном случае описывает волновой пакет, осцнллнрующий без изменения формы около точки х = 0 с амплитудой о н' классической частотой Ое„Волновая функция ер при а — 0 стремится к собственной функции ио(х)е ™ена, соответствующей наименьшей энергии. С увеличением а возрастает число стационарных состояний, играющих заметную роль в образования пакета, и увеличивается квантовое число л„для которого А„ в (13.22) принимает максимальное значение. Прй л ~ 1 для нахождения максимального значения 1пАО можно воспользоваться формулой Стирлинга; пренебрегая членами, порядок величины которых меньше или равен 1п и, получаем !п А„~ и (1п 8Π— — !п 2) — — и (!п и — 1), (13.23) 1 1 1 е Кае и.
° в 2 ее — 2ат Г" 14, Сферичсски симметричные потенциалы в трехмерном пространстве 89 Таким образом, собственные функции, дающие основной вклад в гр(х, 1), принадлежат энергиям Е„, = (л, + '/а)йш„близким к энер- гии классического осциллятора Каа/2, колеблющегося с той же амплитудой. й 14. Сферически симметричные потенциалы в трехмерном пространстве В общем случае невозможно получить аналитические решения трехмерного волнового уравнения (8.2), если только путемразделе- ния переменнььх его не удается свести к обыкновенным дифферен- циальным уравнениям, каждое из которых содержит только одну из трех пространственных координат.
В работах Эйзенхарта 12) было показано", что имеется 11 координатных систем, допускающих разделение переменных в волновом уравнении для свободной частицы 1т. е. лолнрнан уравнении (8.2) прн у' = 0). Одной из наиболее важных является сферическая система координат, в которой прямо- 1 угольные координаты точки имеют вид (см.
фиг. 12) х = г зги О сон р, у = г 81п б 81п уг, чь. г= ГСО8 0. У Ф и г. !2. Соотношение между прямоугольными и сферическими координатами точки Р. Разделение переменных в волновом уравнении. В сферических координатах волновое уравнение (8.2) со сферически симметричной аг См. также книгу Паулинга и Вильсона 131, приложение Гтг. Если потенциальная энергия сферически симметрична, так что функция 1г (г) = 1' (г) зависит лишь от абсолютной величины г вектора г, проведенного из начала координат, то разделение переменных всегда возможно в сферических координатах. Многие задачи,' представляющие физический интерес, можно точно или приближенно свести к уравнению Шредингера со сферически симметричным потенциалом того или иного вида. В настоящем параграфе мы проведем разделение переменных и решим получагощиеся при этом обыкновенные дифференциальные уравнения с аргументами б.и ~.
Остальные два параграфа будут посвящены решению радиального уравнения для некоторых частных видов потенциальной энергии Ъ' (г). 90 Гя, Г1е, дискретные собственные значения. уровни внереии потенциальной энергией имеет вид Зт!ев де ~ деl+ е' в1и 0 да ( 00) + ев вт' Вд|р'! + + Ъ' (г) и = Еи. (14.1) Прежде всего разделим радиальную и угловую части, полагая п(г, О, вв) = 1с(г) У (0, вв). Деля обе части (14.1) на и, получаем — — [гв — „)+ „, [Š— У(г)) = Поскольку левая часть (14.2) зависит только от г, а правая — только от 0 и у, то обе части должны равняться постоянной, которую мы обозначим через я. Таким образом, из (14.2) получаем радиальное уравнение —,— [г' — ) + ~ — „, [Š— Ъ'(г)[ — —;)Я = О (14.3) и угловое уравнение ВвФ вЂ”;+ иФ= О в в в1и 0 00 [з[п 0 да) + [" ° 0) о = О. 1 и . д8 (14.5) (14.6) Уравнение (14.5), определяющее зависимость волновой функции от р, немедленно интегрируется; общее решение его имеет вид Ф (у) = Аеев '+ Ве '" *', р -е'= О, Ф (р) = А + В1в, и=О.
В силу условия непрерывности функций Ф (р) и 0Ф/ир величина р во всей области О р = 2вс (см. $8) должна быть равна квадрату целого числа. Соответственно вместо (14.7) мы получим Ф (0~) =(2л) '*е' '. (14.8) Полагая в (14.4) )с(0, р) = 6(0) Ф (о) и повторяя тот же самый прием, можно разделить переменные 0 и е, в результате чего по- лучим О 74.Сферически симметричные потенциалы в трехмерном пространстве 91 Коль скоро т может равняться любому положительному или отрицательному целому числу или нулю'>, здесь учтены все решения, имеющие физический смысл. Постоянный множитель выбран равным(2вг) 1 для того, чтобы функция Ф была нормирована на единицу в области изменения со. Полиномы Лежандра.
Пока функция !г (г) не задана, самое большее, что мы можем сделать — зто решить уравнение (14.6), где тЕПЕрЬ я = Гоа. УдОбНО ПрОИЗВЕСтИ ЗаМЕНу арГуМЕНта 1р = СОЗ 0 И положить О(0)=~ ( ). Тогда уравнение (14.6) примет вид — „', [(1 — а')"— „~+ (А — —, в~р = О. (14.9) Поскольку 0 изменяется от О до вс, то 1р изменяется от 1 до — 1, Решение уравнения (14.9) можно получить методом, во многих отношениях аналогичным примененному в $ 13; мы здесь не будем останавливаться на нем"'. Будучи дифференциальным уравнением второго порядка, уравнение (14.9) имеет два линейно независимых решения. Исключая некоторые специальные значения 1, оба зти решения обращаются в бесконечность при 1о = *1 и, следовательно, являются физически недопустимыми (см.
й 8). Однако, если 1 = ! (! + 1), где 1— положительное целое число или нуль, то одно из решений остается конечным при ш = ~ 1. Это конечное решение имеет вид полинома от 1р порядка ! — )и~, умноженного на (1 — 1ра)1 оа; четность его равна четности ! — ~т!. Физически допустимые решения уравнения (14.9) при и = О называются лолиномами Лежандра Р1(то). Их свойства, как и в случае полиномов Эрмнта, можно рассматривать с помощью производящей функции Т(гр, а) =- (1 — 2зш+ оя) ч = ~ч,"Р,(1р)а', а(1. (14.10) ~=о Дифференцирование производящей функции по ш и по з приводит к соотношениям, аналогичным равенствам (13.11) для полиномов Эрмита: (! 4.11) (1 + 1) Р ы = (21 + 1) юр — 1р~-~,' О для квантового числа, соответствуюпгего координате т, мы применяем обычное обоаначение т, которое не следует смешивать с массой частицы.
в1 Полное решение этого уравнения можно найти в книге Уиттекера и Ватсона 141, гл. 15. 22 Гя, е'ч'. Дискретное собственные значения. Уровни внергии (штрихом обозначено дифференцирование по а). Дифференциальное уравнение наименьшего порядка, вытекающее из (14.11) и содержащее только Рь как нетрудно видеть, совпадает с (14.9), если в последнем положить 2 =1(1+1) и и = О.
При сп, отличном от нуля, уравнение (14.9) имеет физически допустимые решения, если А =1(! + 1) и )и) — 1. Эти решения, называемые присоединенными полиномалш Лежандра, выражаются через полиномы Лежандра следующим образом: О( т ( Рт (а,) (! !рз)~ т из Р (ю) ,ц с Это можно показать, подставляя (14,12) в уравнение, получаемое путем )п!(-кратного дифференцирования уравнения для Р, (ю). Дифференцируя (14.10) )сп! раз по в и умножая результат на(! — в в)И~а, получим производящую функцию для присоединенных полиномов Лежандра: (2|т ~)! (! — м')~ '" ~ !~в~ Т (со, о) — ( ) ( (+ч — ~ Р7 (в) г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
