Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 13
Текст из файла (страница 13)
111. Собственныв функции и собстввнныв значения где индекс л означает проекцию вектора на внешнюю нормаль к элементу поверхности аА. Поверхностный интеграл в (10.5) равен нулю, так как в силу условия периодичности волновая функция и ее производная в направлении нормали на соответствующих точках противоположных граней куба имеют одинаковые значения, а производные в направлении внешней нормали на противоположных гранях куба имеют противоположные знаки. Тогда из равенства (10.4) следует, что при Е~:Е' функции и, и ия, ортогональны". Собственное значение Е оператора энергии называют вырожденным, если ему соответствуют две или более линейно независимые собственные функции и„и„...
Составляя линейные комбинации вырожденных собственных функций, можно многими различньияи способами получить взаимно ортогональные функции. Например, функцию и, = а,и, + а,и, можно сделать ортогональной к и„выбирая коэффициенты так, чтобы они удовлетворяли соотношению а, ) ихиМ это не нарушает условия нормировки'и„и и, по-прежнему является собственной функцией оператора энергии, принадлежащей собственному значению Е.
Выбор ортогональных линейных комбинаций, очевидно, не однозначен. Описанным способом можно сделать взаимно ортогональными все собственные функции оператора энергии, даже если некоторые из собственных значений вырождены. Совокупность подобных собственных функций, каждая из которых нормирована и ортогональна ко всем остальным, называется ортонорлшрованной системой функций. Ортонормированная система невырожденных собственных функций оператора энергии характеризуется соотношением ие (Г) пя (Г) в[т = дель (10.6) где дик,— символ Кронекера, равный единице, если Е = Е', и равный нулю, если Е~:Е'.
При наличии вырождения равенство (10.6) нужно заменить на Йе'и (Г) ив (Г) [[т = бее' двв' (!0.7) Н Очевидно, что приведенное доказательство ортогональности собственных функций дискретного спектра справедливо и в отсутствие ящика, так как на больших расстояниях функции и быстро убывают, и поверхностный интеграл, который в этом случае беретсн по сфере бесконечного радиуса, равен нулю. Собственные функции, принадлежащие непрерывному спектру оператора энергии, тоже можно рассматривать, не прибегая к нормировке в объеме ящика (как зто сделано в 1 11 для собственных функций оператора импульса, принадлежащих непрерывному спектру).
В свнзи с этим см, книгу Кембла [21, в которой содержится подробное обсуждение вопроса и приводятся ссылки на оригинальные работы. а 10, Физические лостулаты и собственные функции олератора энергии 61 где индексом у обозначены различные ортогональные вырожденные собственные функции. Часто оказывается удобным не вводить явным образом индекс з, пользуясь и для вырожденных состояний соотношением (1О.б); индекс з в этом случае подразумевается. Вещественность собственных значений оператора энергии. Теперь можно непосредственно показать, что, как и предполагалось, числа Е вещественны. Для этой целй умножим уравнение (10.2) на й (г) и проинтегрируем по кубу периодичности объема 1.а, Если функция и нормирована, то в результате получим Е = — — 1 йе раин дт + 1 'й (г) ) ие ~а бт, причем правую часть этого соотношения, выраженную через средние значения, можно записать в виде (1/2т) (ра) + ('у'>.
Второй член 1г вещественен, в силу вещественности подинтегрального выражения. Что касается первого члена, то можно непосредственно убедиться в его вещественности, выполнив интегрирование по частям: — ) йе ра пе сЬ = ) (бгабйе) ° (бгас1 ие) бт — ~ йе(пгад не)чоА. А Объемный интеграл, очевидно, вещественен, а интеграл по поверхности (как и в случае (10.5)] равен нулю в силу периодичности граничных условий на стенках ящика.
Интересно отметить, что величина ра) не может быть отрицательной. Разложение по собственным функциям оператора энергии. Как указывалось в начале настоящего параграфа, мы делаем математическое допущение, согласно которому собственные функции ие(г) полного ойератора энергии образуют полную систему, т. е.
по ним можно разложить произвольную непрерывную функцию'>. Пусть теперь в некоторый момент времени задана какая-то функция ч(г), нормированная в ящике объема 1.в и подчиняющаяся на его стенках периодическим граничным условиям. Предполагая, что существует разложение р(г) = ~ Аепе (г) (10.8) Е можно однозначно определить не зависящие от г коэффициенты Ан Коэффициенты в разложении (10.8) можно определить, умножая обе части равенства на иен и интегрируя по объему ящика. я дальнейшее обсуждение см.
в книге Кембла 121, гл, 4, 1 ЗО, 62 Гл, 111. Собственные функции и собственные значения Допуская, что можно изменить порядок суммирования и интегрирования", получим с помощью (10.6) или (10.7) ~йе (г) вр(г) йт = ~~, Ае)ие (г) ие(г)<Ь = ~Авдее = Ае.(10.9) Условие полноты. Подставляя выражение (10.9) для Ае обратно в формулу (10.8), получаем вР (г) = ~ч', ~ ~ иа (г') гР (г') йт')и (г), Е или, изменяя порядок суммирования и интегрирования, уг (Г) = ) вр (Г') (,я,' йе (Г') ие (Г)~ йт'. (10.10) Е Поскольку вр(г) — произвольная непрерывная функция, из равенства (10.10) следует, что заключенная в квадратные скобки часть подинтегрального выражения равна нулю при всех значениях г', кроме г' = г.
Действительно, в противном случае при изменении чр в точках г'~а г в силу (10.10) изменится и значением в точке г, что противоречит допущению о произвольности ы. Если же область пространства, по которой производится интегрирование, содержит точку г'= г, то интеграл от выражения в скобках должен быть равен единице. Таким образом, ~йе(г')ие(г)=0, г'~г, (10.11) Г ~ йе (г') ие (г) Ы = 1, если область, по которой производится интегрирование, содержит точку г' = г. Равенства (10.11) носят название условия полноты для ортонормированных функций и (г).
Они вытекают непосредственно из полноты системы, выражаемой соотношением (10.8), и справедливы независимо от того, являются ли данные функции собственными функциями оператора энергии или нет. Вероятность н среднее значение. Согласно второму и третьему физическим постулатам, сформулированным в начале настоящего параграфа, при точном измерении полной энергии могут получаться лишь собственные значения оператора энергии; если т~ В принципе законность изменения порядка суммирования и интегрировааия нужно исследовать для каждого случая отдельно. Относящиеся к атому вопросу математические соображении выходит за рамки настоящей книги, и мы всегда будем предполагать, что в случаях, представляющих физический интерес, подобное изменение порядка суммирования и интегрирования допустимо.
10. физические постулаты и собственные функции оператора энергии 6З частица описывается волновой функцией у(г), то вероятность того, что при измерении получится некоторое значение Е, пропорциональна )А )в. Нетрудно видеть, что множитель пропорциональности равен единице, так как если вероятность некоторого значения энергии Р(Е) = ! Ав/в, (10.12) то при суммировании по всем Р(Е) получается единица: .Р, Р (Е) = ~ч, / йл (г) вР (г) «х / ил (г') (У (г') «х' = Я Я = цевр(г') 1р (г) 1"„р,йа(г) ии(г'),'«х«х' = ~)вр(г))в«х= 1.
Е Мы воспользовались здесь соотношением (10.11) и условием нормировки функции ер. С помощью выражения для вероятности можно вычислить и среднее значение энергии: <Е> = ~', ЕР (Е) =- ~ 1 Еив (г) вр (г) «х 1 ил (г') ер(г') «х'. (10,13) В первый интеграл подставим вместо Еи, соответствующее выражение из уравнения (10.3) и дважды проинтегрируем по частям: [ Ейь (г) вр (г) «ъ = [ вр (г) [ — — р' + у'(г)] йл (г) «х = йв (г) [ — — у' + 1 (г)] вр (г) «х.
Два поверхностных интеграла, получающиеся при интегрировании по частям, обращаются в нуль в силу периодических граничных условий, которым подчиняются функции и и ~. Таким образом, с помощью (10.11) и (10.13) получаем <Е>= Х.]™'() [ —,— р'+ Р(г)]у(г)«х3 пв(') р(')«'= = О вр (г') ( [ — — у'+ у' (г)] вр (г) ) фйв (г) ив (г )] «х «х' = = [ вр(г) [ — — ух + в'(г)] вр(г) «х.(10.14) Результат, содержащийся в (10.14), подтверждает сделанное в й 7 предположение о том, что для вычисления среднего значения некоторой величины нужно поместить соответствующий оператор между (у (г) и вр(г) так, чтобы он действовал только на т(г), а затем проинтегрировать по всем г. 64 Гк.
111. Сойсиввенные функции и собственные значении Общее решение уравнения Шредингера. Если потенциальная энергия У(г) не зависит от 1 и если известно решение уравнения Шредингера (6.16) для некоторого момента времени, то можно записать формальное выражение для решения, справедливого в любой момент времени. Разложим функцию <с(г, г) по собственным функциям оператора энергии (коэффициенты разложения при этом будут зависеть от времени): р (г, 1) = е,' Ав (1) иь (г), А, (1) = < йв (г) р(г, 1) бх.
(10.15) Подставляя (10.15) в волновое уравнение (6.16), получаем И ~ ив (г) — „, Ав (1) = ~ Ал (1) Еил (г). (10.16) Вследствие ортонормированности функций и уравнение (10.16) эквивалентно следующему: И вЂ” Ал (1) = ЕАв (1). Отсюда, интегрируя, непосредственно получаем Аь" (1) = Ав(1о) е <ап — цло (Ш.17) Заметим, что величина Р(Е) = <Ан(1)<о = <Аа(<о)/о не зависит от времени. Таким образом, если функция р(г, 1) известна в момент Ф = 1„ то с помощью соотношений (10.15) и (10.17) можно определить решение для произвольного момента времени П р(г, 1) = ~ Аа (го) е-'в<' — ь><а ив(г), (10.18) Аа (1о) = ) йв (г') р (<", <о) <гх', или во(г,1) ) ~~йв(г') ил(г)е <в<' цно~ в<в(г',1о)<(х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
