Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Очевидно, для полноты нашей интерпретации волновой функции нужно научиться вычислять вероятности различных значений для произвольных операторов; это, в частности, позволит нам получать и выражения для средних значений (использовавшиеся в $ 7), не делая каждый раз особых предположений. В настоящей главе мы прежде всего сформулируем три физических постулата, на основании которых можно получить полное истолкование волновой функции; далее с их помощью будет обсужден вопрос о полной энергии и импульсе частицы, а также решена одна иллюстративная задача. Легко видеть, что интерпретация, предложенная в $7, будет получаться как частный случай более общей трактовки, развиваемой в настоящей главе. й 10.
Физические постулаты и собственные функции оператора энергии Будем исходить из волновой функции т(г, г), являющейся решением уравнения (6.16) и описывающей движение частицы с массой гл и потенциальной энергией г'(г). Постараемся с помощью этой волновой функции получить наиболее полное описание движения частицы, согласующееся с обсуждавшимися в З 3 соотношениями неопределенности. Представление динамических переменных с помощью операторов. Первый постулат состоит в том, что каждая динамическая Э УО, Физические постулаты и собственные функции оператора анвргии 57 переменная, характериэугогцая движение частицы, может быть представлена линейным оператором.
Последний может быть как просто оператором умножения (например, г, если речь идет о пространственной координате частицы), так и дифференциальным оператором (например, — вй агад для импульса). С каждым оператором связано линейное уравнение для нахождения собственных значений, аналогичное введенному в начале З 8. Так, оператору ав соответствует уравнение Ои„= сои„, (1ОЛ) где и„— собственная функция эг, принадлежащая собственному значению во.
Второй постулат гласит, что в результате точного измерения динамической переменной, характеризуемой оператором вв, может получаться лишь какое-либо иэ собственных значений во. Отсюда следует, что собственные значения всех операторов, характеризующих физические переменные, являются веществейными числами.
Разложение по собственным функциям. Предположим, что все собственные функции любой динамической переменной образуют полную систему в том смысле, что по ним можно разложить произвольную непрерывную функцию. Это предположение носит математический, а не физический характер; в дальнейшем мы обсудим его в связи с вопросом о собственных функциях операторов энергии и импульса. Предположим теперь, что некоторая волновая функция разложена по собственным функциям и„оператора Й..Примем статистическую интерпретацию вр, изложенную в начале З 7. Согласно этой интерпретации, в пространстве имеется большое число тождественных неперекрывающихся областей, в каждой из которых находится частица, описываемая функцией вр.
Будем теперь для каждой из этих частиц измерять динамическую переменную, характеризуемую оператором аг. Третий физический постулат утверждает, что число измерений, лри которых получается собственное значение т, пропорционально квадрату абсолютной величины коэффициента лри и, в разложении функции вр. Этот постулат, введенный Борном (см. стр. 35), позволяет определять вероятйости тех или иных значений любой динамической переменной". Отсюда следует, что мы можем с достоверностью измерить некоторое собственное значение т лишь в том случае, если волновая функция, описывающая частицу, совпадает с соответствующей собственной функцией и., '! Другая, детерминистическая, интерпретация, использующая вместо динамических переменных представление о „скрытых параметрах", была предложена Бомом 1П, но она не является общепринятой.
58 Гл, 111. Собственные функции и собспненные значения Вместо того чтобы выводить следствия из этих постулатов для произвольного оператора О, мы рассмотрим в настоящем параграфе полную энергию частицы, а в 8 11 — ее импульс. Ббльшая часть результатов, которые мы получим, справедлива и для операторов других физических величин. Оператор полной энергии. В силу соотношений неопределенности (3.3) полную энергию частицы невозможно точно измерить втечение ограниченного промежутка времени. Поэтому для того, чтобы полная энергия имела определенное значение, существенно, чтобы потенциальная энергия У(г) не зависела от времени.
Тогда собственные функции и(г) оператора — (йв12т)7'+ У(г), эквивалентного, как показано в $ 8, оператору полной энергии Лд/дг, не должны зависеть от времени. Собственные значения оператора энергии определяются уравнением (8.2) — — + У (г)] пя (г) = Еп; (г), где собственная функция иа(г), принадлежащая собственному значению Е, должна удовлетворять граничным условиям и условиям непрерывности, рассмотренным в 8 8. Как указывалось в 8 8, собственные функции оператора энергии можно разделить на два класса: функции первого класса локализованы в конечной области и принадлежат дискретным собственным значениям; функции второго класса остаются конечными на больших расстояниях и спектр собственных значений непрерывен.
Нормировка в ящике. Часто бывает желательным рассматривать оба класса функций единым образом; это можно сделать, помещая исследуемую частицу в ящик произвольно большого, но конечного объема. Простейшим примером является случай ящика с идеально твердыми стенками, на которых, как показано в $8, волновая функция обращается в нуль. В этом случае, как показано в $8, все собственные значения дискретны. Если ящики велики по сравнению с характерными для данной задачи размерами, то собственные значения, которые в отсутствие ящика были дискретными, практически не изменяются, так как до введения стенок волновые функции в этих местах были чрезвычайно малы.
Что же касается собственных значений, которые при отсутствии ящика были распределены непрерывно, то они очень близко расположены друг к другу; для свободной частицы зто будет явно показано в $11. Удобнее предположить, что на стенках ящика волновые функции не обращаются в нуль, а подчиняются периодическим граничным условиям, так как при этом собственные функции оператора импульса имеют более простой вид (см. 8 11). Пусть я Ш. Фиаивеские постулата и собственные функции оаератора внергии ов наш ящик („ область периодичности") имеет форму куба с длиной ребра Е и центром в начале координат (куб периодичности); потребуем, чтобы на соответствующих точках противоположных граней куба волновые функции (равно как и их производные по нормали к стенке) принимали одинаковые значения.
Без этих граничных условий собственные значения были бы непрерывны, теперь же они становятся дискретными, так как фазы собственных функций на больших расстояниях уже не произвольны 1см. дискуссию в связи с соотношениями (8.6)). Как и в случае ящика с твердыми стенками, влияние, которое оказывают стенки, пренебрежимо мало; их роль ограничивается тем, что непрерывные собственные значения становятся дискретными, и волновые функции можно нормировать в области конечного объема; мы по- прежнему будем называть зти функции „непрерывными", даже если они нормированы в объеме ящика.
Свойство ортеиермиреваниести собственных функций оператора энергии. Интеграл 1 )и (г)!еае, всегда сходящийся для собственных функций дискретного спектра, сходится для всех собственных функций, нормированных в ящике конечного объема ьв. Коэффициент при и можно в этом случае выбрать таким образом, чтобы этот интеграл был равен единице; тогда функция ия(г) будет нормирована. Покажем теперь, что собственные функции, принадлежащие двум различным собственным значениям, Е и Е', являются ортогональными, т. е. интеграл от произведейия одной из функций на комплексйо-сопряженное значение другой, взятый по общей области определения обеих функций, равен нулю.
Из уравнения (10.2) следует, что й,(г) удовлетворяет уравнению [ — -"- га + У (г)~ йя (г) = Е' йя (г), (10.З) где, в соответствии с принятой физической интерпретацией, величина Е' считается вещественной; в дальнейшем это предположение будет оправдано. Умножим уравнение (10.2) на и ц а (1О.З)— на ик, проинтегрируем по объему Е' и составим разность полученных таким путем выражений. При этом члены, содержащие У, сокращаются, и мы получаем — — ~(йя р'ия — ням'йя) йт = (Š— Е') 1 ия ляйм (10.4) Интеграл в левой части (10.4) с помощью теоремы Грина можно преобразовать в интеграл по поверхности куба А: ~ (йя у~ив — ия риля ) йе = 1с е)1ч (ия бган ия — ия йгае) ия )йг = = ) (ир бган ия — ия бган ия )„йА, (10.5) А 60 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
