Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Отсюда получаем 2 А в1п ка = (С вЂ” О) е р, 2к А сов ка = — д (С вЂ” 0) е-ра (9 4) 2В сов ка = (С+ О) е р 2к Вгйпка= р(С -1- 0) е-р . (9.5) При А ~ О и С Ф 0 из уравнения (9.4) следует к с1пка = —;б. (9.6) Аналогично при В ~ О и С цг- — 0 из уравнений (9,5) получим к 1а ка = ф. (9.7) Уравнениям (9.6) и (9.7) нельзя удовлетворить одновременно, так как, исключив из них р, мы получим 1бяка = — 1, откуда в противоречии с (9.3) следует, что к — мнимое, а р" — отрицательное числа. Нельзя также требовать, чтобы все постоянные А, В,С и Р обращались в нуль. Поэтому решения снова можно разделить на два класса. Для первого класса А=О, С=Р н к1ака=б, а для второго класса В = О, С = — 0 и ксгака = — ф.
Уровни энергии. Уровни энергии находятся путем численного или графического решения уравнений (9.6) и (9.7), где к и ф определяются выражениями (9.2) и (9.3). Мы опишем простой графический метод решений, позволяющий с полной ясностью выявить зависимость числа дискретных уровней от У, и а.
Положим с = ка, и = ра; тогда уравнение (9.7) примет вид 6 1д ~ = ч, причем 2т у,аь Ч аь Поскольку величины с и и могут принимать только положительные значения, уровни энергии определяются (лежащимн в первом квадранте) точками пересечения кривой о = ееас с окружностью заданного РадиУса (2туьа'/л')чч На фиг. 8 изобРажено необходимое построение для трех значений У,а'. Двум меньшим значениям этого произведения принадлежит по одному, а большему — два решения уравнения (9.7).
4'— Гл. Хд Волновое уравнение Шредингера 52 На фиг. 9 аналогичное построение проведено для уравнения (9.6), когда уровни энергии определяются пересечением тех же окружностей с кривой т) = — с с(д с (в первом квадранте). Для 0 1 Ф н г, 8. Графическое решение уравнения (9.7) * для трех значений У,а'. Вертикальные пунктирные линии предстаалию первые две асимптоты «ривых и Е Еав. 2 З Ф н г.
9. Графическое решение уравнения (9.б) для трех значений У,ав. Вертикальная пунктирная линна преаставляет собой первую асимптоту кривой о - — С сев Е. наименьшего значения Уоаз решение отсутствует, а двум другим принадлежит по одному решению. Таким образом, всего для трех последовательно возрастающих значений У,ай имеется соответственно один, два и три уровня энергии. Из фиг.
8 и 9 ясно, что при заданной массе частицы уровни энергии зависят от параметров потенциальной энергии через а р. Одномерная нряморгольная нотенциальная яма 53 произведение У,дь. Если Уьаь лежит между нулем и льйь(8гл, то имеется лишь один уровень энергии первого класса; в области геяйя/8т =- 1' ая < ляйя(2т имеется по одному уровню энергии каждого класса, т. е. всего два уровня. По мере возрастания Ъ'ьая уровни энергии последовательно появляются то для одного класса решений, то для другого. С помощью(9.2) нетрудно видеть, что если расположить собственные функции в порядке возрастания собственных значений, то у л-й собственной функции будет и — 1 узел. Четкость. Из предыдущего ясно, что собственные функции первого класса будут четными, а второго класса — нечетными относительно изменения знака х.
Это разделение собственных функций на четные и нечетные отнюдь не случайно; мы увидим сейчас, что оно непосредственно связано с симметрией потенциальной энергии (г(х) относительно точки х = О. Если в волновом уравнении (8,5) 2 —,Н а ' + Ъ'(Х) И(Х) = ЕИ(Х) Ьь дьа (х) (9.8) изменить знак у х и если Ц вЂ” х) = Ъ'(х), то мы получим — — + Ъ' (х) и ( — х) = Еи ( — х). Вь дои ( — х) Таким образом, функции и(х) и и( — х) удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же собственному значению Е, Если каждому уровню энергии соответствует лишь одна собственная функция, то эти решения могут отличаться только постоянным множителем: И( — Х) = еи(х).
(9.9) Изменяя в (9.9) знак у х, получаем и (х) = еи( — х). Из двух этих соотношений непосредственно следует, что ее= 1 нли е= 1-!. Таким образом, для симметричного потенциала все собственные функции являются либо четными, либо нечетными. О таких волновых функциях говорят, что они характеризуются определенной четностью. Если некоторому собственному значению принадлежит несколько линейно независимых собственных функций, то они необязательно обладают определенной четностью, т. е. необязательно являются четными или нечетными. Легко видеть, однако, что можно найти такие линейные комбинации этих собственных Функций, которые будут либо четными, либо нечетными.
Пусть собственйая функция и(х) не имеет определенной четности. Ее Гл. 11. Волновое уравнение Шредингера всегда можно записать в виде и (х) = и„(х) + и. (х), где и„(х) = '/, 1и(х)+и( — х)] — четнаЯ, а и„(х) = х/з]и(х) — и'( — х)]— нечетная функции, Тогда, если волновое уравнение (9.8) симметрично, его можно записать в виде аз аа„ а нн йш,с* + (У вЂ” Е) и" зш ех + (У вЂ” Е) ив = О. (9.10) Изменяя в (9.10) знак у х, получаем а' бза„ ~~ цн ош лхв ~У вЂ” Е) ич + ш ехз (У вЂ” Е)ио — — О.
(9.11) Складывая н вычитая уравнения (9.10) н (9.11), находим, что каждая нз функций и„н и„удовлетворяет волновому уравнению с одним н тем же собственным значением Е. Упрощенное решение. Зная, что решения обладают определенной четностью, можно иногда упростить процедуру вычисления уровней энергия, так как в этом случае достаточно найти решение лишь для положительных значений х.
Для четных решений в точке х = 0 обращается в нуль производная, а для нечетных— сама волновая функция. Пусть, например, требуется найти четные решения. Тогда вместо выражения (9.2) н (9.3) сразу же можно написать и(х) = В совах, 0 <х< а, и (х) = Се- р', х ) а. Вместо того, чтобы требовать непрерывности и н аи/ах прн х =. а, достаточно потребовать непрерывности логарифмической производной (1/и)(аи/ах), так как нормировочные постоянные В н С прн этом исключаются. Это тотчас же приводит к уравнению (9.7). Аналогично нечетные решения нмеют внд и (х) = А 61п ах, 0 < х < а, и (х) = Се-р*, х > а, н нз условия непрерывности логарифмической пронзводной (!/и)(аи/ах) прях = а сразу же получается уравнение (9.8).
ЗАДАЧИ 1. Исходя из соображений, приведенных в 1 6, найти для свободной частицы дифференциальвое уравнение для т, содержащее вторую производную т по времени. Рассмотреть какие-либо его решения, не совпадающие с решениями уравнения Шредингера, для свободной частицы. а. Показать, что одномерное волновое уравнение 16.8), описывающее движение свободной частицы, инвариантно по отношению к преобразованиям Лпглература 55 Галилея.
Для этого показать, что если провести преобразование х' = х — ег, 1 = Г, то преобразованная волновая функция имеет вид р' (х', р) = р (х', р) х кеидхч и) (где !' зависит только от х', 1', д, ш и о) и удовлетворяет уравнению (6.8) со штрихованными переменнймй. Найти вид функции 1 и показать, что решение р(х,г) = Ае?1ьхлж), описывающее бегущую волну, преобразуется так, как и следовало ожидать, 3.
Как быстро должна убывать при больших г функция р, описывающая волновой пакет, для того чтобы объемный интеграл от Р и поверхностный интеграл ба в (7.4) были сходящимися? 4. Показать непосредственным путем, что значение(р„) для волнового пакета вещественво. 5. Показать, что длн трехмерного волнового пакета имеет место соотношение б, 1 — (х') = — ((хр„', + (р„х)). 6. Вычислить уровни энергии и начертить графики собственных функций для трех связанных состояний частицы с потенциальной энергией, изображенной на фиг. 7,6, где У,а' = 65'/ш. Сравнить с первыми тремя состояниями для случая потенциала, изображенного на фиг.
7, а. 7. Рассмотреть соотношение между уровнями энергии для потенциала, изображенного на фиг. 7, б, и уровнями энергии для потенциала У (х) =+се, х<0: У(х)=О, 0<к<а; У(х)= Ум х)а. Ь. Показать, что если потенциальную энергию У (г) везде изменить на постоянную неличину, то не зависящие от времени волновые функции останутся неизменными.
Что произойдет при этом с собственнымн значениями оператора энергии? ЛИТЕРАТУРА 1. 8сцгоб)пйег Е„Апп, б. РЬуз., 79, 361, 489 (1926); 81, 109 (1926). 2. Реупшап И. Р., йещ Мод. Рйуз., 26, 367 (1948). (Имеется руссой перевод в сборнике „Вопросы причинности в квантовой механике", ИЛ, 1955.) 3. В о г п М., 2з. 1. Рйуз., 37, 863 (1926); ?(а!иге, 119, 354 (1927).
4. Е Ь г е п1е з! Р., 2з. 1. РЬуз., 45, 455 (1927). ГЛАВА И! СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В гл. !! было получено волновое уравнение Шредингера и рассмотрено его применение к решению одной простой задачи. В $7 были сделаны некоторые замечания о физическом истолковании волновой функции. Главным образом они относились к вопросу о вычислении средних значений операторов, характеризующих различные физические величины; однако, сверх того, было введено еще представление о плотности вероятности пространственных координат. Таким образом, мы можем с помощью волновой функции вычислить любую величину, зависящую от положения частицы в пространстве (таково, например, среднеквадратичное отклонение координаты частицы от среднего значения). В то же время для других операторов мы пока умеем вычислять лишь средние значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
