Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1, н дать соответ ствующее истолкование. 2. Дать краткое описание опытов Дэвнссона — Джермера н Томсона. Описать применение камеры Вильсона для наблюдения следов частиц. 3. Пучок атомов серебра в опыте Штерна — Герлаха получается нспа. реннем серебра в печи с температурой !200' С н пропусканием нспаренных атомов через коллнмнрующее устройство. Пользуясь соотношением неопределенностн к допуская, что расстояние, проходимое пучком, равно ! м, найтн порядок величины наименьшего пятна, которое можно получить на детекторе.
4. Показать, что если какая-нибудь компонента момента количества двнженпя электрона в атоме водорода с точностью до 5ьг, равна 23, то вообще невозможно определить угловую координату электрона на орбите в плоскостн, перпендикулярной этой компоненте. 5. Винтовочная пуля весом в 30 г достигает мишени за 0,5 сек. Рассматрнвая пулю как материальную точку н пренебрегая сопротквленнем воздуха н движением Земли, найти порядок величины разброса точек последовательных попаданий в мишень прк оптимальных условиях прнцелнвання я стрельбы.
б. Идеально упругий мяч для игры в пинг-понг падает в вакууме на закрепленный идеально упругий шар такого же радиуса с высоты, равной десятн радиусам. Пренебрегая движением Земли, вычислить наибольшее число отскоков мяча от неподвижного шара прн наиболее благоприятных условиях. 7. В опыте Франка — Герца для возбуждения одного нз энергетических уровней атома кспользуется пучок электронов с определенной энергией. Предполагая, что вследствие обратного перехода в нижнее энергетическое состояние время существования возбужденного уровня невелико, показать, что электроны, потерявшие ввергаю в результате неупругого рассеяния на атомах, будут обладать разлкчной конечной энергией. Каков (по порядку величины) разброс значений конечной знергнн (в зз), если время жизни возбужденного уровня составляет приблизительно 1О " сек.? 8. Обсудить возможные связи между тремя соотношениями неопределенностн (3.1), (3.2) н (3.3).
9. Вывести выражение для групповой скорости, фигурирующее в левой части уравнения (5.6). Литература ЛИТЕРАТУРА) 1, й ! с Ь 1 ш у е г Р. К., К е п п а г б Е. Н., 1. а и г 1 ! з е и Т.„1п!гобис!1оп !о Мобегп РЬув!св, Нетч Уог1г, 1955. 2. Вогп М., А!апис РЬув!св, Ыем Уог1г, 1951. 3, Нагпгче!1 О. Р., 81ерЬепв Ю.
Е., А!ош!с РЬув!св, Ые!и Уогй, 1955. 4, Ран!)пй Ен %!1воп Е. В., )г„!п!гобис!1оп !о Гйиап!шп Меспап!св, Ыетч Уог1г, !935, СЬ. 11. 5, Н е! хе п Ь егй %., Ев. 1. РЬуз., 43, 172 (1927). б. Ри Мои б .). %. М., Сойеп Е. й., йеч. Мои. РЬув., 25, б91 (1953). 7. В опг Х., Ыа!иге, 121, 580 (1928), 8. В о Ь г Ыо А!ога!с ТЬеогу апс1 Гйе Ревсг!р!!оп о! Ха!иге, 1.опдоп, 1934, РагС !1.
9. Вой г Ы., РЬув. йеч., 48, б9б (1935). 10. Н е 1 в е п Ь е г 8 %., ТЬе РЬув!са! Рг!пс!р1ев о1 Гйе анап!шп ТЬеогу, Сййсайо, 1930, СЬ. П, !Н. (Имеется русский перевод: В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, М,— Л, 1932,) 11. Войт Р., !)иап!шп ТЬеогу, Хетт Уог1г, 1951, СЬ. 5. 12. Р ! р е в 1.. А., АррВед Ма(пеша!!св !ог Епй!пеегз апд РЬув!с!в!в, Ыетч Уогй, 1946, СЬ. 111.
13", Ш и о л ь с к и й Э. В., Атомная физика, М. — Л., 1951. 14*. Б л о х и н ц е в Л. И., Основы квантовой механики, М. — Л„ 1949 !5*. С м и р и о в В. И., Курс высшей математики, т, 2, гл. б, М, — Л,, 1948, !б*. Ф о к В. А., Усп. физич. наук, 45, 3 (195!), !7', Соколов А. А., Научные доклады высшей школы, йй 1, 120 (1958). 18*. Сборник „Вопросы причинности в квантовой механике", ИЛ, 1955 и Здесь н далее звездочкой отсечены рзбочы добавленные редакцией, — Прим.
ред. ГЛАВА 11 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА й 6. Вывод волнового уравнения Обобщая указанные в $5 свойства волновой функции, мы получим здесь волновое уравнение Шредингера. Некоторые свойства этого уравнения и его решений будут рассмотрены в следующих параграфах настоящей главы. Бегущие гармонические волны. Прежде всего дадим более точное (количественное) описание свойств одномерной волновой функции м(х, 1), качественно рассматривавшихся в 1 5. Там была показано, что в случае непрерывных бегущих гармонических волн длийа волны и импульс связаны равенством (1.2), а энергия и частота — равенством (5.5).
Перепишем эти соотношения, вводя универсальную постоянную $ = И~2л: р =М, А' = —. 2о л Е = йсо, со = 2яг. (6.1) (6.2) Настоящая и несколько последующих глав посвящены нерелятивистскому движению частицы в силовом голе, которое можно охарактеризовать с помощью потенциальной энергии. В настоящей главе развивается метод количественного описания с помощью дифференциального уравнения, так называемого еолно-, вого уравнения Шрединеера, и рассматривается применение этого уравнения к простой одномерной задаче. Прн этом необходимо сделать ряд предположений о структуре волнового уравнения, о граничных условиях и условиях непрерывности решений, а также о физическом смысле последних. Сопоставление (в настоящей и последующих главах) этих предположений с экспериментальными результатами, особенно с данными одиффракции частиц вещества и с возможностью предельного перехода к классической механике, делает наши гипотезы в высокой степени правдоподобными.
Однако мы не пытаемся однозначно вывести формализм теории из опытных данных. Окончательной проверкой теории должны быть, разумеется, ее внутренняя согласованность и хорошее совпадение вытекающих из нее выводов с результатами конкретных экспериментов; некоторые примеры будут рассмотрены в гл. 1Ч и Ч. З д. Вывод воянового уравнения Тогда можно ожидать, что волновая функция ер(х, 1), характеризующая движущуюся в положительном направлении оси х частицу с полностью неопределенной координатой, но с точно известными импульсом р и кинетической энергией Е, дается одним из следующих выражений: соз (Уех — со0, з1п (Рех — ео1), е' ("" — "о, е — ' а — "о (б,ч) или же некоторой их линейной комбинацией. Это следует из диффракционных экспериментов типа опытов Дэвиссона и Джермера и Томсона (см.
з 1), а также из требования, чтобы групповая скорость волнового пакета, приблизительно характеризуемого волновым числом й и круговой частотой ео, совпадала со скоростью классической свободной частицы с импульсом р и энергией Е 1см. уравнение (5.6)1. Необходимость найти волновое уравнение. Чтобы выйти за рамки простейшей задачи о гармонических волнах, крайне желательно иметь уравнение, решениями которого будут как гармонические, так и более сложные волны.
Для большей ясности приведем пример из более знакомой отрасли физики. В случае трехмерных звуковых волн в газе решение задачи о рассеянии звука на твердом шаре можно получить путем наложения плоских гармонических волн, распространяющихся в различных направлениях. Однако значительно проще непосредственно решать дифференциальное уравнение для звуковых волн в сферических координатах. Если же температура газа изменяется от точки к точке, то в общем случае без такого дифференциального уравнения совсем невозможно обойтись. Основное уравнение для звуковых волн можно найти с помощью непосредственного рассмотрения механических свойств газа.
Хотя последнее и не относится к уравнению, решениями которого являются волновые функции $ 5, найти такое уравнение в данном случае столь же необходимо. Это обстоятельство станет еще более очевидным, если с помощью волновой функции нужно будет описывать движение частицы под действием внешних сил. Ситуация в этом случае оказывается аналогичной распространению звуковых волн в неоднородном газе. Поэтому перейдем к нахождению уравнения для волновой функции и, найдя его, будем считать, что именно оно 1а не частная гармоническая форма (6.3)] предстйвляет собой фундаментальный закон природы. Искомое уравнение должно обладать двумя основными свойствами. Во-первых, оно должно быть линейным, чтобы его решения удовлетворяли принципу наложения и можйо было объяснить интерференцию (в трехмерном случае), а также образование волновых пакетов.
Во-вторых, коэффициенты уравнения должны содержать только такие константы, как й, масса и заряд частицы, 32 Гл. 11. Волновое уравнвнш Шрвдингвра и не должны содержать специфических параметров, характеризующих тот или иной частный вид движения (т. е. импульса, энергии, волнового числа). Дело в том, что должно быть возможно наложение решений, относящихся к различным значениям этих параметров, а результат такой суперпозиции не может удовлетворять уравнениям, в которые они явно входят. Поскольку проще всего иметь дело с дифференциальными уравнениями, целесообразно п ежде всего попытаться найти именно уравнения такого типа.
ы увидим, что это действительно оказывается возможным, причем будут соблюдены все сформулированные выше требования. Имея в виду все изложенные соображения, рассмотрим прежде всего наиболее известное одномерное волновое уравнение, описывающее поперечные колебания. струны или плоские звуковые волны в газе: дййр дййл . (6.4) здесь т — квадрат скорости волны. Подстановка гармонических функций (6.3) в (6.4) показывает, что все они (а следовательно, и все их комбинации) удовлетворяют данному дифференциальному уравнению в том и только в том случае, когда .,й Вй й У ой й й (6.5) дй р' 4нйй ' где т — масса частицы, движение которой мы пытаемся описывать.
Но из (6.5) следует, что коэффициент у, фигурирующий в (6.4), зависит от параметров движения (Е илй р), вследствие чего это уравнение оказывается непригодным. Одномерное волновое уравнение. Для дальнейших попыток найти волновое уравнение полезно заметить, что дифференцирование волновых функций типа (6.3) по х приводит к умножению функции на х (с возможной заменой синуса на косинус и наоборот), тогда как дифференцирование по ~ сводится к умножению на ай.
Поэтому соотношение Е = р'/2т, или эквивалентное ему равенство ай = лай/2щ наводит на мысль, что искомое дифференциальное уравнение содержит первую производную по ~ и вторую — по х: И й дхй' дт дчл (6.6) Подстановка показывает, что первые две волновые функции (6.3) не удовлетворяют уравнению (6,6), тогда как любая из других функций (но не обе одновременно) может ему удовлетворять, если только выбрать соответствующим образом постоянную у. Если, в частности, положить ро ИЕ йй (6.7) йй рй 2йн ' зз д б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
