Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Второе устройство, изображенное на фиг. 3, позволяет определить, через какую именно щель проходит фотон, и, следовательно, дает сведения об у-координате фотона. Во втором устройстве фотон, проходящий через щель, регистрируется одним из индикаторов С, расположенных вблизи диафрагмы, передавая ему некоторый импульс в направлении осн у (с неопределенностью др„). Коль скоро мы не желаем нарушить диффракционную картину, создаваемую большимчисломтаких фотонов, неопределенность импульса отдельного фотона, возникающая при столкновении его с индикатором, должна быть ° значительно меньше импульса, необходимого для попадания фотона в соседний диффракционный минимум(вместо макси- з В МУМа). ДЛЯ фОтОНа С ИМПУЛЬ- Ф и г. 3 Установка, изображенная сом р, это означает, что на фиг. Ц с добавлением индикатора Дри ~~ Орк.
(4.9) квантов С. В рассматриваемом простом случае, когда 1с > а > 2, угол О, как известно из волновой оптики (илй из опыта), можно выразить через длину волны Я и расстояние между щелями а: О= — ' (4.10) Гл. д Физические основы квантовой меванинн Обсуждение диффракционного опыта.
Только что рассмотрен-' ные соображения выявляют тесную связь между принципами неопределенности и дополнительности, с одной стороны, и опы тами по диффракции н по измерению координат — с другой". Мы нмеемздесь наглядное подтверждение справедливости принципа дополнительности, взятого в сочетании с наблюдаемыми на опыте свойствами вещества и излучения (дополнительность в данном случае состоит в необходимости выбора между двумя взаимно исключающими друг друга, но классически дополнительными опытами по диффракции и локализации частиц).
Из изложенного следует, что представление о фотонах не приводит к существеннымтрудностямтолькодотех пор, пока мы не настаиваем на таком же детальном описании, как и в классической физике. Разумеется, для объяснения данных опыта все же приходится приписывать фотонам необычные свойства; приведенные выше соображения не разъясняют, каким образом фотон может интерферировать сам с собой при образовании диффракционной картины".
Равным образом остается неясным, каким путем злектромагнитные волны могут вырывать фотозлектроны из экрана'>. Эти вопросы лежат за пределами качественных рассуждений настоящей главы; они требуют применения математического аппарата квантовой механики. Тем не менее квантовомеханическое рассмотрение днффракционного опыта позволяет устранить трудность, с которой мы встретились в й 2: при успешной попытке определить, через какую именно щель проходит фотон, диффракционна я картина исчезает. й 5. Волновые пакеты в пространстве и во времени Соотношение(1.2)между импульсом и длиной волны, справедливость которого доказана зкспериментально как для фотонов, так и для частиц вещества, наводит на мысль о том, что для описания локализованных частиц и квантов можно было бы воспользоваться волновыми образованиями, занимающими небольшую область пространства.
Для разъясйения этой идеи рассмотрим волновую функцию чр, зависящую от пространственных кофрдинатх, у, ги отвремени 1. Предполагается,чтоонаобладаетследующими тремя основными свойствами: 1) она может интерферировать сама с собой, что позволяет объяснить результаты диффракцион- О Фактически соображения дополнительности не играют здесь никакой роли, — Прим. оерею в1 В гл. Ч1 будет показано, что волновые представления, излагаемые в гл. 11, зквивалентны общей квантовомеканической теории вещества. в1 В гл. Х1ч' будет показано, каким образом можно видоизменить теорию злектромагнитного поля так, чтобы она включала и квантовые аффекты.
з' 5. Волновмг панств в пространстве и во времени 25 ных опытов; 2) ее абсолютное значение велико там, где наиболее вероятно нахождение частицы (или фотона), и мало в остальных МЕСтаХ; 3) сд СЛЕДУЕТ РаССМатРИВатЬ КаК фУйКЦИсп, ОПИСЫВаЮЩУЮ поведение отдельной частицы (или фотона), а не как характеристику статистического распределения многих квантов. Последнее свойство существенно, поскольку в 2 2 было показано, что квант вещества илн излучения интерферирует не с другими квантами, а сам с собой.
В настоящем разделе мы ограничимся лишь качественным обсуждением одномерного случая, когда волновая функция ср зависит только от х и (; количественное рассмотрение будет отложено до гл. П. Пространственные пакеты. Волновые образования, занимающие ограниченную область пространства, мы будем называть волнобылси пакетами". Типичный пакет изображен на фиг. 4, а, где Козсрфпслиеит е Ф и г. 4, Графики функции т(х), характеризующей типичный волновой пакет (а), и его преобразования Фурье (б). представлена зависимость ср(х, () от х для данного момента времени П На фигуре показаны средняя длина волны Л, и приблизительные размеры пакета сах.
В связи с исследовайием волновых пакетов представляет интерес разложение М в интеграл Фурье' > по х, так как прн этом выясняется, каким образом можно составить пакет, суммируя гармоники с различными длинами волн. Это показано на фнг. 4, б, где графически изображена зависимость коэффициентов Фурье функции ср от волнового числа )с = 2зт/Л. '1 Коль скоро речь идет об ограниченном интервале времени, чаще употребляется термин „группа волн", который будет использоваться и в втой книге.
— Прим. перев. в> См., например, книгу (121 (или (15). — Прим. перев.), Гл. д Физические основи «вангновоа мезонина С помощью стандартных математических методов можно показать, что ~ ак ' (5.!) где с1н приближенно характеризует разброс волновых чисел в пакете. Если считать, что длина волны связана с импульсом соотношением (1.2), то разбросу с11с будет соответствовать разброс импульса Ь) 2 Сопоставление уравнений (5.1) и (5.2) дает 5х.4р~й, (5.3) что согласуется с соотношением неопределенности (3.1). Таким образом, принцип неопределенности для координаты и импульса непосредственно вытекает из свойств волнового пакета и соотношения (1.2). Временные пакеты. Аналогичным путем можно исследовать зависимость ер от времени 1 в некоторой точке х. Преобразование Фурье (по 1) будет показывать в данном случае, каким образом ер образуется из непрерывной последовательности гармонических волн с различными частотами о, Соотношение между интервалом времени и разбросом коэффициентов Фурье по частотам дается формулой Ы ° бм,.о — ° 1 2н (5.4) Используя связь энергии кванта Е с частотой волны (соотношение (1.1)), можно привести (5.4) в соответствие с принципом неопределенйости.
Именно, определим связь между энергией и частотой равенством (1.1): Е=йв (5.5) (в случае фотонов оно вытекает из опытов, описанных в 2 1). Сопоставление (5.4) и (55) приводит к соотношению неопределенности (3.3). Предположение о справедливости формулы (5.5) не только для излучения, но и для вещества можно сделать более убедительным, если вычислить групповую скорость" волнового пакета, характеризующего нерелятивистскую частицу с массой и, кинетической энергией Е и импульсом р. Пусть длина волны и частота определяются соответственно формулами (1.2) и (5.5); тогда П Сн, книгу Бориа 121, стр.
88 и 330. В 5. Волновав макета в аространвтве и ео времени 27 групповая скорость (скорость центра пакета) будет равна ав йЕ Ф (рв/2т) р (5.6) Н (1/Л) Хр ар т ' что совпадает с классическим выражением для скорости. Это означает, что если можно пренебречь размерами и внутренней структурой волнового пакета, то, с учетом (5.5), волновое описание движения частицы будет совпадать с классическим. Волновой формализм.
Таким образом,мы видим, что частицы вещества, равно как и кванты излучения, можно представить в виде волновых пакетов, при наложении которых может иметь место интерференция. Амплитуды волн определяют вероятность нахождения частицы в данной точке. Это представление согласуется с принципом неопределенностя, коль скоро принимаются во внимание выведенные из опыта соотношения (1.2) и (5.5). Таким путем, исходя из математического описания волновых движений, можно развить количественный аппарат квантовой теории. Для вещества это будет сделано в гл.
Н на основании развитых в настоящей главе физических принципов. Мы также всегда будем требовать, чтобы при соответствующем предельном переходе результаты любых вычислений совпадали с классическими выражениями. Это требование выражает принцип соответствия Бора, упоминавшийся в 2 2. В настоящее время, когда существует достаточно полная квантовая теория, принцип соответствия представляет интерес главным образом в связи с требованием, чтобы квантовый формализм в пределе давал правильные классические результаты; однако при новых расчетах или при расширении границ теории принцип соответствия может иметь эвристическое значение.
На первый взгляд может показаться, что описание вещества исключительно с помощью волнового формализма, как это сделано в последующих четырех главах, противоречит корпускулярно-волновому дуализму, обсуждавшемуся в б 1, и, следовательно, не соответствует принципу дополнительности. Однако это неверно, так как в действительности данный формализм позволяет разобраться во всех доступных измерению свойствах вещества, включая, например, и такие явления, как образование следов частиц в камере Вильсона.
Так, в 2 30 будет показано, что если в камере Вильсона движется одна частица с определенным импульсом и, следовательно, совершенно неопределенной координатой, то вероятность ионизации двух или более молекул газа будет пренебрежимо мала для всех точек, не лежащих очень близко к линии, параллельной вектору импульса. Необходимо подчеркнуть, что сделанные замечания справедливы только в том случае, если описанная в настоящем разделе Гл. Е. Фозические основы кванпювой механики 28 волновая функция всегда интерпретируется как величина, характеризующая одну частицу, а не статистическое распределение многих частиц. Для описания нескольких частиц надо воспользоваться волновой функцией, зависящей от координат их всех.
Аналогичное количественное описание световых квантов, которому посвящена гл. Х(Ъ', требует несколько иного подхода. Это связано главным образом с тем, что при взаимодействии с веществом фотоны могут испускаться и поглощаться так, что их число не сохраняется (тогда как число частиц, в рамках задач, рассматриваемых в этой книге, является постояйным). В связи с этим волновая функция фотонов должна была бы зависеть от переменного числа параметров, что является нежелательным. ЗАДАЧИ 1. Кратко описать опыты, перечисленные в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
