Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Хотя указанное истолкование вектора $ и напрашивается само собой, нужно иметь в виду, что $ невозможно измерять так же непосредственно, как Р. Например, было бы ошибочным утверждать, что 8 (г, 1) представляет собой, скажем, среднее значение тока частиц в точке г в момент времени 1, йоскольку под измерением среднего тока в данной точке подразумевается одновременное точное определение координаты и скорости (эквивалентной импульсу), что противоречит соотношению неопределенности (3,1). Тем не менее иногда удобно представлять себе $ как вектор тока, особенно в тех случаях, когда он мало или совсем не зависит от г, так как тогда Если под объемом 17 подразумевать все пространство, то в случае волнового пакета, когда на больших расстояниях функция 1о обращается в нуль и нормировочный интеграл сходится, интеграл по поверхности, очевидно, равен нулю.
В случаях типа (6.10) волновые функции можно определить в конечной области таким образом, что на ограничивающих поверхностях они либо обращаются в нуль, либо удовлетворяют условиям периодичности (см. $10). Легко показать, что при любых условиях поверхностный интеграл в (7.4) равен нулю, так что нормировочный интеграл в (7.2) не меняется с течением времени. Га.
1д Волноеое рроененое Шредингера можно достаточно точно определять скорость, не нарушая смысла представления о токе, Среднее значение. Существование плотности вероятности координат частицы Р(г, 1) позволяет определить величину, которую мы будем называть средним значением радиуса-вектора: компоненты его представляют собой взвешенные средние соответствующих компонент радиуса-вектора частицы. Это среднее значение представляет собой математическое ожидание (в смысле теории вероятности) результатов отдельного измерения; его можно рассматривать также как результат усреднения измерений, проводимых над большим числом независимых систем, рассмотренных в начале настоящего параграфа.
Запишем среднее значение г в виде (г) = / гР(г,1) де= ~ ер(г,1)гр(г,1)йх, (75) что эквивалентно трем равенствам: х) = ( Чхрйт, (у) = 1 уу~рИе, (г) = 1 ~рьр~Ь, где функция ~р нормирована. Среднее значение зависит только от времени, так как от 1 зависят р и Р, а по пространственным координатам произведено интегрирование. Подобным же образом можно найти и средние значения любых других имеющих физический смысл величин, если только они зависят лишь от компонент радиуса-вектора г. Так, среднее значение потенциальной энергии составляет ($г) = / $/ (г, 1) Р (г, 1) Не = Г ~р (г, 1) р (г, 1) тр (г, 1) (Ке.
(7.6) Однако, чтобы ввести аналогичные понятия для таких величин как импульс или энергия, надо предварительно выразить их через г и 1. Мы допустим, что для этой цели можно воспользоваться дифференциальными операторами (6.13); это предположение будет обосновано с помощью соответствующих распределений вероятности в 9 1О (для энергии) и в $11 (для импульса). Однако тотчас же возникает вопрос, каким образом следует комбинировать подобные дифференциальные операторы с плотностью вероятности координат Р. Ответ можно дать, налагая на средние значения разумное требование, чтобы по аналогии с классической формулой (6.15) имело место равенство (Е) =(~„,~~+ (У).
С помощью дифференциальных операторов его можно переписать в виде Э1," ", 2а — — — Ч + ((г). (7.7) яо у. Инговрпрвтация волновой функции 39 Очевидно, соотношение (7.7) согласуется с волновым уравне- нием (6.16) только в том случае, если среднее значение в общем случае определяется как результат действия оператора на го с по- следующим умножением слева на (р. Таким образом, мы получим, например, (Е> = ~(Р)Рв 97~1», (Р) = / Р( — (В) бган вРП».
(7.8) Как и в случае (7.5), второе из равенств (7.8) эквивалентно трем выражениям для компонент: <Рк) = — 1й ) Р— й». <Ро) = — вй1 Р— П», <р.> = - 1й~гр-,й' г дг зг Теорема Эренфеста". Естественно ожидать, что если потенциальная энергия пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то движение волнового пакета будет аналогично движению соответствующей классической частицы. И действительно, если под векторами „координаты" и „импульса" пакета понимать средние значения этих величин, то можно показать, что классическое и квантовое движения всегда согласуются друг с другом. Компонентой,.скорости" пакета будет производная по времени от среднего значения соответствующей компоненты радиуса-вектора; поскольку (х) зависит только от времени, а х в подинтегральном выражении (7.5) представляет собой переменную интегрирования, то соответствующая компонента „скорости" равна — (х) = — ( 1рхрй» = 1 трх — й»+ ( — х1гв(».
Это выражение можно упростить, подставляя выражения производных по времени от т и (а из уравнения (6.16); члены, содержащие»', при этом взаимно уничтожаются: ! /" а' й ( > = — а ~ ~ Фх( — — твтр + квр) "»вЂ” ав т У ( 2 у т + РР))хврб»] = — „, ~ 14вх(гевр) — (гв4о) хвр1 Н». Второе слагаемое здесь можно проинтегрировать по частям: 1 (д'(4) хвр й» = — ~ (а»ад (р) дгад (хвр) й» + ) (хвр дую р)„ йА. А Н См. работу Эренфеета 146 40 Гл.
Гд Волновое уролнение Шредингера Поскольку на больших расстояниях функция вр, характеризую щая волновой пакет, обращается в нуль, то равен йулю и интеграл от составляющей вектора хе угад 9 по нормали к элементу бесконечно удаленной граничной поверхности А. Вторично интегри руя по частям (и вновь замечая, что поверхностный интеграл равен нулю), получаем 1г (рв(е) хвр Ит =. ( (ров (хр) бт. Таким образом, ,— „(х) = — ~ (г (х~'у — р* (хвр)1 йт = = — — ( (г — „дт = — (р„).(7.9) га /' ат 1 Поскольку в силу (7.5) величина (х) всегда вещественна, из соот- ношения (7.9) вытекает, между прочим, что вещественно и значе- ние (р„).
Это можно показать также с помощью второй форму- лы (7.8), если произвести в ней интегрирование по частям и принять во внимание, что функция вр описывает волновой пакет. Подобным же образом можно вычислить производную по времеви от компоненты „импульса"' частицы. Снова пользуясь волновым уравнением и дважды интегрируя по частям, получим — (р ) = — 18 — ( 9 — йт= — И1' 1 (е —.— Нт+ ~ — — йт) = г . а "ат .
аат азат аг " а,/ ах = (./ ах аг „/ агах а а аа ат = — / '~ — ~- — у"~+ '/р) 'т+ ~ (-~— т'9+ '~') а— Ит = (а ат1 ~ ат а ~ / гах = — ~ (о 1 — (г'вр) — ~l — „] бт = — ~ 9 — „во (Ь = л — — „~ . (7.10) Уравнения (7.9) и (7.10) (вместе с уравнениями для других компонент) аналогичны классическим уравнениям движения не р ор — — — = — бган К ш нв' а Мы имеем здесь пример принципа соответствия, так как иэ полу- ченных уравнений видно, что коль скоро среднее значение с хорошей степенью точности представляет классическую пере- менную, то волновой пакет движется как классическая частица; обычно зто имеет место в макроскопическом предельном случае, когда внутренней структурой и конечными размерами пакета можно пренебречь.
" -! 9 8. Собственные функции оператора энергии Если потенциальная энергия ~'(г) не зависит от времени, то решение уравнения Шредингера (6.16) значительно упроща- ется. В этом случае общее решение можно представить в виде З 3. Собственные функции онеранюра энергии суммы произведений функций, зависящих только от г и только от б Разделение переменных в волновом уравнении. Рассмотрим частное решение (6.16), имеющее внд ы(г, г) = и (г) ! (!); общее решение можно представить как сумму частных решений этого типа. Подставляя ы(г, !) в уравнение (6.16) и деля правую и левую части на произведение и (г) !' (!), получим — — = — [ — — тли + У (г) и] .
!В б1 1 ач б! и 2лс (8.1) Поскольку левая часть уравнения (8.1) зависит только от 1, а правая — только от г, обе они должны равняться одной и той же константе разделения, которую мы обозначим через Е. Тогда уравнение для функции ! легко интегрируется: ~(1) =С-"ц', где С вЂ” произвольная постоянная. Уравнение для и принимает вид [ — — — р' + У (г)] и (г) = Еи (г). (8.2) Поскольку уравнение (8.2) однородно по и, постоянную С можно выбрать так, чтобы функция и была нормирована.
Тогда частное решение волнового уравнения будет иметь вид р (г, 1) = и (г) е-свив. (8.3) Смысл константы разделения К. Применим к функции (8.3) оператор (6. 13), содержащий производную по времени и соответствующий полной энергии. Мы получим !Д вЂ” = Е1р. (8.4) Ю Часто вместо терминов собсспееннал функция я собсхлеенное значение используются выражения характеристическая функция в характеристическое значение. Говорят, что уравнение типа (8.4) определяет задачу на собственные значения; при этом ю представляет собой собопвенную функцию оператора, стоящего слева, а постоянный множитель Е в правой части — соответствующее ей собслюенное значенпст!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
