Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 10
Текст из файла (страница 10)
5. Потенциальная энергия )г(х) и решения нрн больших х. а — патенцналзнан знергнм т(к); б — реп|еняе н(з) прн балычка )л): е н д — решеннн в случае, магда энергия мензше нлв болзше (алгебранческн) собственного значевнн Е, кото. рому соответствует случая м как вядно нз крмвын, либо волновая фувнцва, лабо еепронзводнаа нспытывает разрыв в точке л - О. произвольных значениях Е производная е(и/((и в точке их встречи будет, вообще говоря, испьпывать разрыв. Могут, однако, найтись отдельные значейия Е, для которых в точке хны О как и, так и Ии/(/х являются непрерывными. условия, при которых зто имеет место, можно найти следующим образом. В тех областях, где Е ( (у(х), отношение ((/Аи/дхз)/и"'положительно и кривая п(х) обращена выпуклостью в сторону оси х.
Гл, 11. Волновое уравненш Шрединеера Поэтому в области, где Ч) Е, знаки логарифмической производной (11и)(ди/лх) для двух решений, приходящих из + о, противоположны. Для потенциала, изображенного на фиг. 5, а, это иллюстрируется кривыми на фиг. 5, б; при х(0 показаны оба значения и. Точки, в которых Е = Ч(х), называются точками ловоровпп, так как они характеризуют границы, в пределах которых движется классическая частица с энергией Е: в этих точках направление ее движения изменяется на противоположное, т. е.
частица поворачивает обратно. В точках поворота еРи/охе = О, и ф нкция и имеет нулевую кривизну. чевидно, для того чтобы одно решение плавно переходило в другое, должна существовать такая область, в которой Е ) Ч(х). Тогда отношение (лви/дхв)/и может быть отрицательным и функция и будет вогнута по направлению к оси х; при этом логарифмические производные могут оказаться одинаковыми. На фиг. 5, в показаны два решения, доведенные до общей точки х = О, но соответствующие меньшему, чем нужно, значению Е. По этой причине, если значения и в точке х = 0 одинаковы (сплошная кривая), то оказываются различными значения производных; если же одинаковы производные, то будут различны сами функции и (пунктирная кривая слева и сплошная кривая справа). На фиг.
5, г показана функция и(х) для несколько больших (алгебраически) значений Е, а на фиг. 5, д — случай еще большей энергии. В последних трех случаях значения Е и У„в„. отмечены на оси и, а точки поворота (ТР) указаны на оси х. Дискретные уровни энергии. Таким образом, мы видим, что собственные функции оператора энергии для,частицы с потенциальной энергией Ч(х), удовлетворяющие граничным условиям и условиям непрерывности, могут существовать только для некоторых значений Е, как это показано на фиг.
5, г. Аналогично классическому случаю, необходимым условием существования такой собственной функции является неравенство Ч„о < 0 (тогда Е лежит между Ч„„„и 0). В одномерной задаче это условие, как и в классическом случае, является достаточным; однако в трехмерном случае дело может обстоять иначе (см. задачу 10 в гл. 1Ч, а также $ 9 и 15), Если потенциальнпл лмп, изображенная на фиг. 5, а, достаточно широка и глубока, то будет существовать еще одна собственная функция, принадлежащая более высокому собственному значению энергии (по-прежнему отрицательному).
На фиг. б, а, б и в изображена система волновых функций (аналогичных показанным на фиг. 5, в, г и е) для последовательно возрастающих (алгебраически) значений Е. При х ~ 0 представлены ветви функции и, соответствующие обоим знакам. На фиг. 5, г и б, б изображены собственные функции для двух наименьших соб- э' а. собственные функции оператора энергии бт ственных значений, т. е.
двух наинизших уровней энергии частицы в потенциальной яме Р(х). Обобщая предыдущие качественные рассуждения, легко убедиться, что прн переходе к более высоким дискретйым уровням энергии, если они существуют, число узлов собственной функции каждый раз возрастает на единицу. Таким образом, если при х- + потенциальная энергия стремится к конечному постоянному значению, то в зависимости от массы частицы и нида функции у'(х) число дискретных уровней Ф н г. 6.
Решения для достаточно широкого или глубокого потенциала и для ббльших (алгебрзн. чески) значений Е, чем н случае, изображенном на фиг. б. Значение Е возрастает прн перекоде от л к б н а. В случае б. когда прн к О волновая функцня н ее пронзаодные непрерывны. Е представляет собой собственное значенве, энергии может быть конечным, а в отдельных случаях и бесконечным (последнее будет иметь место, если у'(х) достаточно медленно убывает при больших ~х)). Если, однако, р(х)- + при х- ~ то рассуждения типа приведенных выше показывают, что число дискретных уровней всегда будет бесконечно.
Каждому из них (с точностью до произвольного постоянного множителя) будет принадлежать одна и только одна собственная функция и(х). Непрерывные уровни энергия. Для всех собственных значений оператора энергии, превышающих наименьшее из чисел у'(+ ) и Р( — ), можно найти собственные функции, удовлетворяющие как граничным условиям, так и условиям непрерывности. Пусть, например, потенциальная кривая имеет вид, представленный на фиг.
5, а. Тогда при любых положительных значениях Е можно найти решения волнового уравнения. Это связано с тем, что Гл, лл. Волновое уравнение Шрединеера при больших ~х~ решения имеют вид Аз!пн )х)+ Всоэн(х~, а = + ~ —,, ) '. (8.6) гтя оь и нет никаких оснований отбрасывать какое-либо из двух слагаемых. Таким образом, при больших ~х~ фазы обеих волновых функций всегда можно подобрать так, чтобы при продолжении до точки х = О решения плавно переходили друг в друга(этоэквивалентно подбору отношений А/В для решений, соответствующих большим положительным и отрицательным значениям х).
По аналогии с классической механикой, движения, описываемые дискретными и непрерывными собственйыми значейиями, иногда называют соответственно периодическими и апериодическими. Дискретные и непрерывные собственные значения в трехмерном случае. Без дальнейшего обсуждения мы предположим, что все полученные результаты можно непосредственно перейести на случай трехмерного волнового уравнения (8.2). Можно ожидать, что если У(г)- + оо при г- (в любом направлении), то будет иметься бесконечное число дискретных уровнейэнергии,значения которых простираются до + . Если же функция У(г) остается ограниченной при г- (в некотором направлении), то в зависимости от ее вида может существовать как конечное,так и бесконечное число уровней энергии.
В этом случае энергия дискретного уровня не может превышать наименьшего из значений У(оо). Если Е больше наименьшего значения У(оо), то собственные значения оператора энергии будут образовывать непрерывный спектр, простирающийся до+ 9 9. Одномерная прямоугольная потенциальная яма В качестве простого примера явного квантовомеханического вычисления дискретных уровней энергии изучим движение частицы в области с постоянной потенциальной энергией, на границах которой имеются отражающие стенки. Рассмотрим два простых типа потенциальной энергии.
На фиг. 7, о показан случай, когда У(х) = О при — а (х < а и У(х) = + при )х) > а, что соответствует идеально твердым непроницаемым стенкам, расположенным в точках х = +а. Потенциальная энергия, йзображенная на фиг. 7, б, возрастает у стенки скачкообразно, но на конечную величину, так что У(х) = Уа при ~х) > а. Руководствуясь видом У(х), в этом случае часто говорят о прямоугольной потенциальной лме. Для обоих этих потенциалов движение классической частицы с полной энергией Е < У, будет одним и тем же, но, как мы увидим, квантовомеханическое поведение частицы оказывается различным. Скачкообразное возрастание потенциальной л у, Одномерная прямоугольная ногненцнольноя ямо 49 энергии на границах области (на конечную величину), вообще говоря, приводит к отбрасыванию частицы внутрь области.
Подобный потейциал можно представлять себе как предельный случай потенциала, изображенного на фиг. 5, а, где сила — г()г/Ых всегда направлена к точке х = О. В прямоугольной потенциальной яме сила равна нулю везде, кроме границ, так что, за исключением внезапных импульсов, передаваемых частице в точках х = ~а и направленных к началу координат, на частицу вообще не действуют никакие силы.
а Ф иг. 7. Одномерная прямоугольная яма с абсолютно твердыми стенками (а) и с конечным скачг ком потенциала (б). Идеально твердые стенки. В $ 8 было показано, что если вид потенциала определяется в соответствии с фиг. 7, а, то в точках х = ~ а волновая функция должна обращаться в нуль. При !х~ < а волновое уравнение (8.5) записывается в виде 2 б' —— Еи, (9.1) и его общее решение есть и(х) = А в1пмх+ В сових, и = + ( „, ) *.
(9.2) Граничное условие при х = ~ а дает А в!и ка+ В созна = О, — А в!и ил+ В совка = О, откуда Агйпаа= О, Всовиа = О. Решение, для которого константы А и В равны нулю, не представляет физического интереса,таккак при этом и = О в любой точке. Нельзя также одновременно приравнять нулю в)п иа 4 л. шнФФ Гл. 11. Волновое уравнение Шредингера 50 и сов аа при одном и том же значении а (т. е. Е).
Поэтому имеется два возможных класса решений. Для первого класса А = О и соз аа = О, а для второго В = О н з1паа = О. Таким образом, аа = лл/2, где для первого класса п — нечетное, а для второго класса — четное целое число. Таким образом, собственные функции обоих классов и принадлежащие им собственные значения энергии имеют вид и(х) = В сов —, где л нечетное; 2а ' и(х)= Аэ1п"— , где л четное; 2а ' лвавнв Е= в обоих случаях. зта' Ясно, что при л = О получается физически неинтересное решение и = О, а решения с отрицательными и положительными значениями п линейно связаны друг с другом.
Во всех случаях константы А и В легко выбрать в соответствии с условием нормировки собственных функций и(х). Таким образом,мы получаем бесконечную систему дискретных уровней энергии, соответствующих всем положительным целым значениям квантового числа и. Каждому уровню принадлежит только одна собственная функция; число узлов (внутри потенциальной ямы) у л-й собственнойфункции равно и — 1. Этн результаты согласуются с общими соображениями $8. Интересно отметить,что порядок величины энергии низшего (основного) состояния находится в соответствии с соотношением неопределенности (3.1). Неопределенность координаты порядка а приводит к неопределенности импульса порядка по меньшей мере й/а, что в свою очередь приводит к минимальной кинетической энергии порядка й'~тав.
Конечный скачок потенциала. Если потенциальная энергия имеет вид, показанный на фиг. 7, б, то общее решение (9.2), по-прежнему справедливое при (х!(а, так как уравнение (9.1) в этой области не меняется, необходимо дополнить решением в области )х) > а. В этой области волновое уравнение имеет вид 2т лле + Роп и его общее решение при Е ( Ъ'о (для связанного состояния) дается Формулой п(х) = Се- *+ Вер", д=+ ~~ ( ' 1] '. (9З) у у. Обномерная ярямоугольная потенциальная яма В силу граничных условий при х = *, рассмотренных в В 8, в области х ) а нужно принять равной нулю константу О, а в области х( — а — константу С. Наложим теперь на решения (9.2) и (9.3) условия непрерывности и и йи1г1х в точках х = ~ а: А в1пка+ В совка = Се р, кА совка — кВ яика = — 17Се-рь, — А гйп ка + В сов ка = Ое р, к А сов к а + к В в1пка = рРе р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
