Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(10.19) Решение (10.18) представляет собой линейную комбинацию полученных ранее частных решений (8.3). $11. Собственные функции оператора импульса Собственные функции оператора импульса — Юрга<1 дают второй поучительный пример применения общих соображений, изложенных в начале предыдущего параграфа.
Они оказываются также весьма полезными при решении физически интересных задач. о' 11. Собственные функции оператора импульса 65 Вид собственных функций. Собственные функции оператора импульса удовлетворяют трем уравнениям для определения собственных значений: — (й втаб и,(г) = ри,(г) (11.1) или — И вЂ”. Ио (Г) = Р„И, (Г), — 1'й а— И, (Г) = Рипо (Г), а .
а ' а и'(') р*"о(')' а Они имеют вид И, (Г) = СЕЫ пз1Ь, где С вЂ” нормировочная постоянная. Как и в $ б, удобно перейти от вектора импульса р к волновому вектору к = р/в, переписав собственные функции оператора импульса в виде ии (г) = Сг'юе. (11.2) Это равенство определяет собственные функции оператора импульса, принадлежащие собственным значениям йк. Нормировка в ящике. Как н в случае собственных функций оператора энергии, рассматривавшемся в $ 10, можно ограничиться заданием функции и,(г) в произвольно большом, но конечном кубе объема 1.* с центром в начале координат.
На стенках этого куба функции должны удовлетворять граничным условиям периодичности. Тогда условие нормировки дает С = 1.-*1». Вектор й более не является произвольным: его компоненты могут принимать лишь значения где и пю и, — положительные или отрицательные целые числа или нулй. Выбирая 1. достаточно большим, можно сделать расстояния между соседними собственными векторами й сколь угодно малыми; соответственно как угодно близко будут расположены и собственные значения оператора энергии лей'/2пь Интересно отметить, что собственными функциями (11.2) нельзя пользоваться внутри ящика с идеально твердыми стенками, так как эти функции нигде не обращаются в нуль. Это аналогично классической ситуации, когда импульс частицы не сохраняется при отражении от твердой стенки.
С другой стороны, кубический ящик, на стенках которого волновая функция 5 л шнФФ 66 Гл. 111. Сабетвенные функции и еабетвенные инавенин должна подчиняться граничным условиям периодичности, соответствует случаю, когда все бесконечное пространство разделено на кубы, и все волновые функции — периодичны с периодом 7. по каждой из трех осей прямоугольной системы координат. Если условие периодичности пространства перенести в соответствующую классическую задачу, то частица, проходящая через стенку, будет эквивалентна частице, падающей на эту стенку и появляющейся (с тем же импульсом) в соответствующей точке противоположной стенки.
Легко убедиться в том, что собственные функции оператора импульса ии (Г) = Е. нас'юе (11.4) ортонормированы. Действительно, интегрируя по области объема 1.в, мы получаем ) й) (г) ии (г) ах = ь)г ьгэ ь)2 1 Г еык )к)к ~' ~(ки )и)и ~' )(е» вЂ” )е)т 1э / — Ь)2 — Ь)2 — Ь)2 = бек )„Ьки)и дк, ), = би),(115) где 6 — символ Кронекера, и при вычислении использованы равенства (11.3). Ортонормированность можно доказать также с помощью более общего метода, использованного в э 10 для собственных функций оператора энергии 1см. (10.4)). Дельта-функция Дирака. В $ 10 указывалось, что в случае собственных функций непрерывного спектра необязательно вводить куб периодичности (что приводит к превращению спектра в дискретный, причем расстояние между собственными значениями может быть сделано как угодно малым).
Для собственных функций оператора импульса в этом можно явно убедиться, вводя д-функцию Дирака [3). Последнюю можно определить с помощью соотношений д(х) = О, если х~О, / д(х)ах= 1, (11,б) где область интегрирования содержит точку х = О. Эквивалентное определение гласит, что для произвольной функции 1(х), непрерывной в точке х = О, имеет место равенство / 1(х) д (х) )1х = 1 (0); (11.7) здесь область интегрирования опять содержит точку х = О.
Сопоставление формул (11.б) и (10.11) или (11.7) и (10.10) з' 11. Собственные функции оператора импульса 67 показывает, что величину в скобках в формуле (10.10) можно выразить через д-функции ~~ йк (г') ик (г) = д (х — х') д (у — у') б (г — г') = Ь (г — г'). (11.8) Сравнивая далее (11.8) и (10.6), можно видеть, что условие полноты представляет собой своего рода свойство ортонормированности собственных функций относительно суммирования по всем собственным значениям. Представление д-функции.
Из определений (11.6) или (11.7) следует, что функция д(х) носит резко выраженный сингулярный характер". Качественно ее можно представить себе равной нулю всюду, кроме точки х = О, а в этой точке настолько большой, что площадь, ограниченная графиком этой функции и осью х, конечна и равна единице. Более формально ее можно представить различными способами в виде предела последовательности аналитических функций. Весьма полезным оказывается одно частное представление д(х) в виде предельного значения функции (гйп дх)/ьтх, где и — положительное вещественное число.
Эта функция, равная д/ьт при х =: О, при увеличении (х! осциллирует с постоянно убывающей амплитудой и с периодом 2лтф, а интеграл от нее по х, взятый в пределах от — до +, равей единице независимо от значения у, Поэтому предел (В1п рх)1стх при у- имеет все свойства д-функции: при х= 0 он становится бесконечно большим, интеграл от предельного выражения равен единице, а бесконечно быстрые осцилляции при увеличении (х! означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен бесконечно малой окрестностью точки х = О.
В связи с этим можно положить Ь(х) = 1пп (11.9) пк Нормировка иа д-функцию. Представлением д-функции в виде (11.9) можно воспользоваться для выражения интеграла ортогональности типа (11.5). Откажемся от куба периодичности, считая, что собственные функции оператора импульса имеют вид (11.2) во всем пространстве, причем компоненты вектора и могут принимать любые вещественные значения. Интеграл ) и,(г)иь(г)бт представляет собой произведение трех интегралов, каждый из которых т> Строгое математическое обоснование допустимости использования д-функции было недавно дано Шварцем; см., например, 141.
(Обобщенные функции такого типа фактически вводились еще раньше Соболевым 161; теория обобщенных функций применительно к задачам теоретической физики была в последнее время развита Боголюбовым и Парасюком (71. Наглядное описание свойств д-функции и ее применение для решения различных задач можно найти в книге Иваненко и Соколова 1В1; см. также книгу 191.— Прим. перев.). 5* — ти 68 Гя, 111. Собственные сдункции и собственные оночения можно выразить через Ь-функцию: 1нп " ~ " "— = 2есЬ (1с„— 1„).(11,10) Таким образом, для бесконечного пространства собственные функции оператора импульса имеют вид ик (г) = (8л')-Че Ееюе, (11.11) а условие ортонормированности есть ~ й1 (г) ин (г) Ьт = Ь (1с„— 1„) Ь (1со — 1„) Ь (Ь, — 1,) = Ь (К вЂ” 1).
(11.12) В $ 12 для одной типичной задачи будет показано, что одни и те же конечные результаты получаются как при нормировке собственных функций оператора импульса в кубе периодичности, так и при нормировке на Ь-функцию. Некоторые свойства Ь-функции. Важно отметить, что вследствие сингулярного характера Ь-функции последняя не может являться конечным результатом вычислений; она имеет смысл только, если в дальнейшем по ее аргументу йроизводится интегрирование. Именно в этом смысле имеют место следующие свойства Ь-функции (см. книгу Дирака [31): Ь (х) = Ь( — х), Ь'(х) = — Ь'( — х), хЬ (х) = О, хЬ' (х) = — Ь(х), Ь (ах) = а-' Ь(х), (11.13) а>0, Ь(х' — а') =(2а)-'1Ь(х — а)+ Ь(х+ а)), а) О, )е Ь(а — х) Ь(х — Ь)йх = Ь(а — Ь), 1(х) Ь(х — а) = 1(а) Ь(х — а); здесь штрих означает дифференцирование по аргументу функции. Любое из первых шести соотношений (11.13) можно доказать, умножая обе части равенства на непрерывную дифференцируемую функцию 1(х) и интегрируя по х.
Например, четвертое соотно- 11. Собстеениие фупхции оператора импульса 69 шение (11.13) дает ) 1(х) х Ь' (х) (1х = — 1 Ь (х),— „[х) (х)] Ьх =- = — ) Ь(х) Д(х) + х1'(х)1 йх = — ) 1(х) Ь(х) ((х, где мы учли равенство нулю граничных членов, полученных в результате интегрирования по частям. Таким образом, величина хЬ'(х), будучи множителем в подинтегральном выражейии, дает тот же результат, что и — Ь(х). Аналогично седьмое из соотношений (11.13) означает, что при умножении обеих частей на 1(и) или 1(Ь) и интегрировании по а или Ь получается одинаковый результат. Последнее равенство проверяется путем интегрирования обеих частей по х или а.
Условие полноты. Условие полноты для собственных функций оператора импульса, формулируемое как для ящика, так и для нормировки на Ь-функцию, можно доказать, не обращаясь к допущению о полноте, сделанному в $10 для собственных функций оператора энергии, При нормировке в ящике выражение, аналогичное левой -части соотношения (11.8), имеет вид ~~ йь (г') иь (г) = юес~э((п(хе)+по(оо)+п(хай)ь е е п --оо и = — оо п - — ох х о х Это выражение легко вычислить в предельном случае больших Е, когда при изменении каждого из чисел и на единицу сумма изменяется на пренебрежимо малую величину. Тогда можно рассматривать их как непрерывную переменную и в связи с этим заменить сумму по и интегралом )' ((л„= (1./2)с) ) Ы„.
Приэтом, принимая во внимание формулу (11.10), мы получим ~~'„йь (г') иь (г)— 1 ~со ~18)сет-г ( ( ( е1(ех(х — х')е ю(о — к)+Йе(е — «')] (Ц( (((( ((у с — хоп( ) .1 .1 .I х И = Ь (х — х') Ь (у — у') Ь (г — а') =- Ь (г — г').(11.14) Аналогичное вычисление можно провести и прн нормировке на Ь-функцию, причем в этом случае формулы (11.11) и (11.10) дают )' их (г') иц (г) ((г, = 1' )' (' йц (г') иц (г) Ы„И„И, = Ь (г — г').(11.15) то Гл, 1П. Собственные функции и собственные значения Условие полноты (11.14) или (11.15) показывает, что собственные функции оператора импульса ортонормированы как относительно интегрирования по всем координатам г, так и по отношению к суммированию или интегрированию по всем значениям вектора и. Разложение по собственным функциям оператора импулыз.
С помощью д-функции произвольную непрерывную функцию р(г) можно записать в виде р (г) =- ) чс(г') Ь(г — г') Нт', (11.16) Подставляя вместо д(г — г') левую часть равенства (11.14), получаем Р (г) = 1 чР (г') ~ иа (г') иа (г) йт' = ~ Авив (г), Аа = 1 иа (г') чр (г') йт'. (11.17) Аналогично, заменяя д(г — г') соответствующим выражением из соотношения (11.15), будем иметь р (г) = 1 р (г') / и, (г') и, (г) йт, йт' = 1 Ааи, (г) йть, (11.18) где выражения для Аи остаются прежними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
