Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, центр пакета остается в точке х = О, но ширина его увеличивается при изменении 1 как в положительном, так и отрицательном направлениях. Чем меньше первоначальная неопределенность в координате, тем больше неопределенность в импульсе и тем быстрее расплывается пакет; зависящая от времени часть приведенного выше выражения 1(Ьр)/т просто равна расстоянию, проходимому классической частицей с импульсом Ьр за время 1. При нормировке на д-функцию получаются такие же результаты.
Выражение (12.18) для Ан нужно при этом умножить на (7./2ве)ыв, суммирование в (12.19) заменить интегрированием по й и результаты разделить на Ц2ве (множитель 7.12ве при этом выпадает); наконец, функцию ив в (12.19) нужно умножить на(1 /2л)нь В результате три появляющихся множителя сократятся, и следовательно, равенства (12.20) и (12.21) не изменятся при изменении нормировки собственных функций оператора импульса. Классический предельный случай. В $7 мы видели, что если рассматривать лишь средние значения координаты и импульса волнового пакета, то последний всегда движется как классическая частица.
Однако классическая динамика полезна для описания движения волнового пакета лишь в том случае, если можно пренебречь расплыванием его в течение интересующего нас промежутка времени. Чтобы показать, по какому параметру можно судить о достижении классического предела, рассмотрим волновой пакет, соответствующий классической частице, движущейся с периодом Т по круговой орбите радиусом а. Допустим, что этот пакет достаточно хорошо локализован, так что потенциальная энергия заметно не изменяется в области нахождения пакета. Тогда, как отмечалось выше, применение классической теории для описания движения волнового пакета будет полезно лишь в том случае, если в течение промежутка времени, большого по сравнению с Т, расплывание пакета мало по сравнению с а.
Наименьшее расплывание пакета за время 1 имеет место, когда Лх по порядку величины равно (й1/и)чь Потребуем поэтому, чтобы (И~т)" ~ а при 1 ~ Т. Задачи 77 Это условие имеет простой смысл: момент количества движения частицы 2ггтаз[Т должен быть велик по сравнению с В.
В большинстве атомных систем, в которых момент количества движения каждого электрона имеет величину порядка $, волновой пакет, соответствующий хорошо локализованной частице, за один период расплывается настолько, что классическое описание его движения уже не представляет физического интереса. ЗАДАЧИ 1. Пусть имеются три вырожденные линейно независимые (хотя и необязательно ортогоиальные) собственные функции. Найти три линейные комбинации этих функцик, которые были бы взаимно бртогональны и нормированы.
Будут ли этн линейные комбинации собственными функциями? Если да, то являются ли они вырожденными? 2. Показать, что для одномерного движения частицы функции и„(х) = = д (х — х'), где х' — любые вещественные числа, образуют полную ортонормированную систему, и каждая из них является собственной функцией оператора координаты х, принадлежащей собственному значению х'. Найти плотность вероятности для координат частицы и сравнить ее с полученной в 17. 3. Пусть в одномерной задаче потенциальная энергия )г (х) не зависит от времени и представляет собой монотонно возрастающую функиию х.
По. казать, что функции иу (х) == (и)г/дх)„-'~„*, д(х — х'), где г" = К (х') и х'— любые вещественные числа, образуют полную ортонормированную систему собственных функций оператора потенциальной энергии, принадлежащих собственным значениям ~". Найти плотность вероятности для потенциальной энергии и показать, что ее свойства соответствуют ожидаемым. 4. Как нужно изменить рассуждения й 11, относящиеся к собственным функциям оператора импульса, если нормировка производится не в кубе, а в прямоугольном параллелепипеде? 5. Найти два других представления д-функции Дирака, аналогичные соотношению (11.9).
6. Проверить все соотношения (11.13), содержащие д-функцию. 7. Проверить справедливость обоих соотношений (11.20), т. е. доказать, что сумма (или интеграл) от плотности вероятности для импульса, определяемой соотношениями (11.!9) [нли (!!.17)), равна единице, если функция р нормирована. 8. Подинтегральное' выражение в (10.19), заключенное в квадратные скобки, позволяет вычислить функцию р для времени 1, если известно значение р в момент 1„.
Если зто выражение в одномерном случае обозначить через 6(х, х', 1, 1ь), то р(х, 1) = ) 6(х, х',1, 1,) р(х', 1,) ах'. Показать, что для свободной частицы, движущейся в одном измерении, (Х»1 ~ч)= [2 й(1 (ч)~ ехр Допуская, что при 1, = 0 функция р характеризует нормированный волновой пакет (12.11), с помощью этого результата найти р и [р[а для другого момента 1. 78 Га. 111.
Собственные функции н собственные зноченил ЛИТЕРАТУРА 1. Вой гп О., РЬув. Иеч., 85, 166, 180 (1952). (Имеется русский перевод в сборнике „Вопросы причинности в квантовой механике", ИЛ, 1955.) 2. К е ш Ы е Е. С., ТЬе Рнпбашеп1а1 Рг!пс!р1ез о! !2иап1шп МесЬап!сз, !цечг 'тгогй, 1937. 3.
О ! г а с Р. А, М., ТЬе Рг!пс(р!ез о! Янап1шп МесЬап!св, Зб еб., Ох!огб, Хеш Уогй, 1947. (Имеется русский перевод 2-го издания: П. Ди р а к, Основы квантовой механики, М.— Л., 1937.) 4. На!рег!п 1., Зсйтчаг!хйю!п1гобнс1!оп1о1ЬеТЬеогуо(ОМ!ИЬн1юпз Тогоп10, 1952. 5. Не(не п Ь е г 8 ЦР., ТЬе РЬумса) Рг!пс!р!ез о( 1Ье Онап1шп ТЬеогу, СЬ1- сайо, 1930, (Имеется русский перевод: В. Г е й з е н б е р г, Физические принципы квантовой теории, М. — Л., 1932.) бв.
С о б о л е в С. Л,, Математический сборник„1 (43), 39 (1936). 7'. Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С., ДАН СССР, 100, 25, 429 (1955). 8*. И нанев ко Д. Д., Соколов А. А., Классическая теория поля, М.— Л., 1951. 9в. Со кол он А. А., Дельта-функция и ее применение к решению некоторых математических задач геофизики, Свердловск, 1946. 10». Гель фан д И М., Ш и л ов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М, — Л., 1958. ГЛАВА 1Ч ДИСКРЕТНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. УРОВНИ ЭНЕРГИИ В настоящей главе формализм, развитый в гл. 11 и усовершенствованный в гл.
111, будет применен для явного вычисления дискретных уровней энергии и соответствующих им собственных функций. В следующей главе будут рассмотрены случаи непрерывного распределения собственных значений оператора энергии (непрерывный спектр). Таким образом, сейчас мы будем иметь дело со связанными состояниями, когда внешние силы (потенциальная энергия) удерживают частицу в некоторой области пространства, а в следующей главе — с задачами о столкновениях, когда частица может приходить из бесконечности и уходить на бесконечность. Аналитические решения волнового уравнения (8.2) можно найти лишь для относительно небольшого числа функций г'(г), характеризующих потенциальную энергию; однако значение таких решений выходит за пределы этих конкретных задач: зачастую они служат основой приближенных вычислений, относящихся к более сложным системам.
й 13. Линейный гармонический осциллятор Одной из наиболее важных задач классической механики является задача об одномерном движении материальной точки, удерживаемой у некоторого неподвижного центра силой, пропорциональной расстоянию от него. Изучение этой задачи важно не только само по себе, но и потому, что движение более сложных систем часто можно рассматривать как совокупность нормальных колебаний, формально эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. В квантовой механике представление о линейном гармоническом осцилляторе также очень важно, как в связи с задачами, например, о колебаниях отдельных атомов в молекулах,так и для исследования более сложных систем, например кристаллов или квантованных волновых полей (см.
ниже, гл. Х1!1). Асимптотическое поведение. Силу Р = — Кх можно характеризовать потенциальной энергией Ъ'(х) = Кх'/2; таким образом, 80 Гл. Г:в', дискретные собственные значения. уровни энергии уравнение (8.5) принимает вид Лв яви 2гл акв 2 — — — + — Кх'и = Еи. (13.!) — + (А — бэ) и = О. аэи асв (13.2) Сравнивая уравнения (13,2) и (13.1), видим, что такая запись возможна, только если явК " = лв (13.3) где со, = (К/гл)ч круговая частота соответствующего классического гармойического осциллятора.
Решение уравнения (13.2) удобно начинать с исследования асимптотического поведения и при с- * ". При достаточно больших б уравнение (13.2), очевидно, удовлетворяется функцией и(б) = Ге"ч', коль скоро мы интересуемся лишь главными членами (порядка еэи; здесь и — любое конечное число). Из граничных условий, рассмотренных в $ 8, следует, что в показателе степени можно оставить только знак минус.
Это приводит к предположению, что точное решение уравнения (13.2) имеет вид и (8) = Н (с) е~ и, где Н($) — полипом конечного порядка относительно с. Подставляя (13.4) в уравнение (13.2), получим уравнение для Н(б): Н" — 2сН' + (Я вЂ” 1) Н = О, (13.5) где штрихи означают дифференцирование по и, Уровни энергии. Функцию Н(с) будем искать в виде Н (Е) = 8в (а, + аф + аэсэ -1- ...), а,7с О, з — О. (13.6) При с = О это выражение остается конечным. Уравнение (13,5) должно выполняться при всех значениях с; поэтому, подставляя в него (13.6), можно независимо приравнять нулю коэффициенты т1 Мы следуем эдесь нолнномнальному методу Зоммерфельда, изложен. ному а книге 111.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
