Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Аналогично сферйческая функция Неймана имеет вид и (е) = (-1)'+' [2е) ./->-»(9). Можно показать'>, что /, ч,(д), где 1 — положительное или отрицательное целое число илй нуль, можно представить в виде '> Это определение и свойства функций й и и> занмствукпси из книги Мирза !51. з> См. книгу Ватсона !б!. 7 л. шкаф 98 Гл. 1)Г. дискретные собственные значения. уровни энергии мпЕ уа(е) = 1 е пв (Е) е , ( ) з[пе созе соз е з1п е и (е)=— е* е 'гз !!. 3 гз 3 у (е) = ( — — — уз[и е — — соз е, и,(е) = — [~ — — )соз е — — 6[п е, у ез е) е' (15.8) Главные члены при малых е запишутся следующим образом'>: о~ ее-ьо 1 3 5...(2!+1)' 1 1 3 5...(2! — 1) п,(е) е — >о в!ех (15.7) а главные члены в асимптотических разложениях функций у, и и, равны": у',(Е) — соз (Š— — (у+ 1) зе], 1 1 п! (Е) — — з[п (Š— — (у + 1) зт~ .
1 . 1 (15.8) Некоторые свойства функций у' и и характеризуются соотно- шениями ус уз (е) е'![е = —,' е'(у~(е)+ ив(е) ух(е)), )' и, '(е) е' е[е = — ' ез(из (е) — уо (е) п,(е)), п! х(е) у',(е) — п!(е) у! х(е) = —,, у ) О, 1 И . 1 у,(е) „— и, (е) — и, (е) ~ у', (е) = —,. (15.9) '! Формулы (15.7) дают хорошее приближение, если Ез несколько меньше 41+ 6 (для функции у!) и 2 (для функции и!(р)) (см. книгу Ватсона [6)).
Ю Формулы [15.8) дают хорошее приближение, если Е несколько больше !(!+ 1)У2 (см. [6), стр. 199). Однако абсолютные величины (но не фазы) функций У! и л! с хорошим приближением определяются формулами (15.8), если только Е несколько больше 1 (что близко к тому значению Е, для которого абсолютная величина функции У! имеет максимум). суммы произведений 6[и е и созе на полиномы нечетного порядка относительно Е-ч.
В частности, явные выражения для первых трех функций у' и и имеют вид е Га. Трехмерная арямоугальная потенциальная яма 99 Следующие равенства справедливы как для Л так и для и: ш+>. !' —.(е)+Ль (е)-, ЛЫ), у>О, и . 1 „—,Л (е) = „+, (уЛ- (9) — (у+ 1) Л (еН, а — 9>+е у>(9)] = д>+' Л е(9), ! > О Е Ы 'у>(9)1 = 9 'у>ее(Е) У у1 (е) уе =- — !'(9), У !' (е) е' 49 = 9'! (9), ~у>®Р Ур= —,' р'1у>(р) — Л,(р)у'„,(р)), ! =О.
(15.10) Поскольку при г = О функция уе(г) должна оставаться конечной, искомое решение при г< а имеет вид уу(г) = Ау,(аг). (15.11) (15.13) Можно показать, что асимптотические разложения, главные члены которых определяются формулами (15.13), не содержат экспонент с противоположным знаком показателя степени. Таким образом, при г > а искомое решение есть й(г) = Ву>(е> (уууг) = В [у>(у>уг) + т, Яг)). (15.14) Решения во внешней области ри произвольном !. При г > а волновое уравнение можно привести к виду (15.4), если положить а = уу>г, где величина уу определена в (15.2). Поскольку область изменения а теперь не содержит нуля, то нет оснований исклю- чать и> из решения, Из функций Л и и, надо составить такую линейную комбинацию, которая экспоненциально убывала бы при больших г.
В связи с этим определим сферические функции Ганкеля у><» (а) — у', (а) + т, (а), й) > (р) = Л (р) — ун, (9), асимптотические выражения для которых в соответствии с (15.8) имеют вид е(е — ук+е> 1 У>1>> (9) — — е е- 1 — е[е — у П.ь» "1 И~ (е) е- ° е тОО Гя. Ху. дискретные собственные значения.
Уровни энергии Первые три из этих функций имеют вид ф>(!/!г) = — — е р", рт /е1п(!/!г) = !( — ', + — ',,) е р", "2" (!/!г) = (,д,. + те* + рэ,в) Е (15.15) Уровни энергии. Уровни энергии получаются из условия непрерывности (1/!7) (е!!7/е!с) при с = а. Накладывая это условие на внутреннее (15.11) и внешнее (15.15) решения при ! = О, мы получим уравнение (15.3). Последнее можно переписать в виде , +, 2тУ,а' (!5.16) где, как и в $9, с = аа и з! = !та. При 1= 1 условие непрерывности в силу (15.6) и (15.15) приводится к виду с!а! ! ! 1 в 2тУ,р' — — — — = — + — бв + е!Я = — .
(15.17) $ гч ч чч ' аэ уровни энергии отсутствуют, при зс'й'/2т ( Увая - 2зсэй'/ел имеется одно связанное состояние и т. д. Наименьшее значение Ував, для которого имеется связанное состояние при ! = 1, больше соответствующего значения Уоа' при ! =.О. Физически это вполне естественно. Действительно, фигурирующий в радиальном волновом уравнении член с ! был истолкован в $14 как добавочная потенциальная энергия, соответствующая отталкивающей „центробежной силе", Соответственно для удержания частицы, обладающей конечным моментом количества движения, требуется большая сила притяжения, чем для частицы, момент количества движения которой равен нулю, В самом деле, оказывается, что минимальная „сила" Ува' Уравнения (15 17) можно решить либо численно, либо графически, с помощью методов, применявшихся в $9. В общем случае собственные значения, получающиеся при решении уравнений типа (15.16) и (15.17) с различными значениями !, являются невырожденными.
Число уровней энергии, допускаемых уравнениями (15.17) при различных значениях Уваэ, легко определить и без помощи численных расчетов. Новый уровень появляется, если э! обращается в нуль или с!д с — в бесконечность. Это имеет место при с = зс, 2зс... Поэтому если ! = 1, то при нчав Уаэ я —— 2т э гд. Атом водорода 101 прямоугольной потенциальной ямы, необходимая для удержания частицы, монотонно возрастает с возрастанием орбитального квантового числа 1т'.
ф 16. Атом водорода Если потенциальная энергия имеет вид У(г)= — юеэ/г (кулоновское притяжение между атомным ядром с зарядом + Ле и электроном с зарядом — с), то волновое уравнение также можно решить аналитически. Данная задача представляет непосредственный физический интерес, так как с точностью до релятивистских эффектов (см.
гл. Х1!) вычисляемые при этом собственные значения оператора энергии соответствуют наблюдаемым уровням энергии атома водорода (2=1), однократно ионизованного атома гелия (д= 2) и т. д. Приведенная масса. Волновое уравнение Шредингера, полученное в 2 6, описывает движение одной частицы во внешнем силовом поле.
Теперь, однако, нас интересует движение двух частиц (ядра и электрона), между которыми действует сила притяжения, зависящая только от расстояния между частицами. Для нахождения волнового уравнения, описывающего движение двух частиц, вспомним, каким образом в $6 обобщалось волновое уравнение в связи с переходом от одного к трем измерениям.
Там мы предположили, что волновая функция зависит уже не от одной координаты х, а от трех, х, у и 2, и ввели соответствующие импульсы, руководствуясь при этом классическим выражением для энергии. Аналогичное обобщение, связанное с переходом от трех к шести прямоугольным координатам, непосредственно приводит к волновому уравнению Шредингера для двух частиц с массами и,ил!з: э ИЭ !гр(д„уп а„Х„у„2„1) = а з Ээ й' аэ э а = [ — — '[ — + —.+ — ) — — [ —,+ —,+ —,)+ 2глт Зк,' ЭУ1 эа1 2лг, Ок) ЗУ1 ЕЯ1 + У (х„у„д„х„у„2„1)~ гр (х„у„гы х„у„хм 1).
(16.1) Потенциальная энергия здесь может произвольным образом зависеть от шести координат и от времени. Если теперь потенци- Н Можно показать, что при данном ! связанные состояния с энергией, равной нулю, появляются, когда [Ь' дг) а При! ) О это эквивалентно условию)! я) = О, где теперь | = (2ту,аэ!Ьэ) и. 102 Гя, ги, Дискретные собственные значения. Уровни энергии альная энергия зависит только от относительных координат, т. е. р = 'й (х,— х„у,— у„с,— 2$), то возможно важное упрощение.
Именно, введем относительные координаты х, у, 2 и координаты центра инерции Х, У, г„ полагая х= х, — хсо У =У$ — Уэ Г 2$ Яя~ (1 6.2) МХ = т,х, + тэх„Му = гл,у, + слэу„МЛ = т,ав + ш$2$; здесь М = гл,+еле — полная масса системы. В новых координатах уравнение (16.1) принимает вид — 2— (~— , + з, + з $) + У (х, У, 2)] 'Р (16.3) где (1бгй) 1+ $ так называемая приведенная масса. В волновом уравнении (16.3) можно теперь дважды разделить переменные. Во-первых, как и в 2 8, можно выделить часть, зависящую от времени; во-вторых, остающуюся волновую функцию можно представить в виде произведения функции от относительных координат на функцию от координат центра инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
