Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Соотношения (11.17) и (11.18) показывают, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям оператора импульса, нормированным либо в кубе периодичности, либо на д-функцию' >. Вероятность н среднее значение. Функция, определяющая плотность вероятности различных значений импульса и характеризуемая нормированной волновой функцией у(г), пропорциональна ! Аа~а. Множитель пропорциональности равей 1, так как, если положить Р (К) = )Аи !а, (11.19) то, по аналогии с (10,12), легко показать, что 4Р(й) =1 и (Р(й)йт,=1 (11.20) (соответственно при нормировке в кубе периодичности и на д-функцию). При нормировке в кубе среднее значение импульса равно (р) = й~)гР(и) = Ь л~,~пик (г) чр(г) ит (ик (г') р(г') йк'. (11.21) и Эти не вполне строго доказанные нами результаты эквивалентны математическим теоремам о разложимости функций в ряды и интегралы Фурье.
О" Г2. Движение свободного волнового пакета в одном измерении 71 Из (11.2) явствует, что ивв(г) можно заменить на 1дгабвв(г). Тогда в первом интеграле (11.21) можно провести интегрирование по частям, причем интеграл по поверхности равен нулю вследствие перйодических граничных условий, наложенных на вр и ии.
Используя соотношения (11.14) и (11.21), получаем <р> = — И ~ ]' ии (г) втаб у (г) Н» ~ ии (г') тр (г') Ы = = — (й 1 ] Ф (г') (йтаб р (г)] 6 (г — г') о» Ы = = — 1й ( у (г) втаб вр (г) в1». (11.22) Этот результат находится в соответствии со вторым равенством (7.8). При нормировке на 6-функцию вычисления в основном аналогичны предыдущим, за исключением того, что поверхностный интеграл, получаемйй в результате интегрйрования по частям, берется по сфере бесконечного радиуса и обращается в нуль вследствие малости вр на больших расстояниях. Это соответствует предположению о том, что функция вр нормирована; в противном случае как интеграл 1 Р(и)й»„так и среднее значение <р) не имели бы физического смысла. В результате вычислений получаются те же соотношения (11.22) и (7.8).
й 12. Движение свободного волнового пакета в одном измерении Одномерное движение свободной (т. е. не подверженной действию внешних сил) частицы описывается волновым уравнением Шредингера (б.8). Исследование этого движения дает интересный пример применения метода разложения, развитого в «, 10 и 11.
Прежде всего для данного момента времени мы найдем минимальное значение произведения неопределенностей (3.1), а также возможные формы соответствующего одномерного волнового пакета. Так как форму пакета можно рассматривать просто как начальное условие, налагаемое на решение уравнения Шредингера с произвольной потенциальной энергией У, то структура „минимизирующего" пакета не будет зависеть от того, свободна частица или нет. Однако аналитическое выражение для вр в последующие моменты времени особенно легко найти в том случае, когда внешние силы отсутствуют. Минимальное значение произведения неопределенностей".
Чтобы найти минимальное значение произведения неопределенностей дх Лр, нужно прежде всего определить, что мы понимаем Ч См. работу Гайзенберга 151. 72 Гя. 11д Сабственнеге функции и собственнвге значения (Ьх)в == <(х — <х>)'> = <х'> — <2х <х» + «х»' = <х'> — <х>', М)' = <(р — <р>)'> = <р'> — <р>' (12.1) Эти равенства получаются непосредственно из общего определения средних значений, приведенного в з 7. Положив теперь гб кб 1 а — = х — <х>, гз = — Р— <Р> = — ГВ1 — — < — >1 (12.2) мы получим (Ьх)в(-'р)в = ) гух'гуг(х ) ргУ~рг1х = Г (агу) (ась) г(х ) (ГЗ гр) (~яр) гХх.
(12.3) Преобразование интеграла, содержащего и, очевидно; аналогичное преобразование интеграла, содержащего Р, достигается интегрированием по частям с учетом обращения гр в нуль при х = ~ (функция т характеризует нормированный волновой пакет). Очевидно, имеет место неравенство )Гвбх в ) ~~ — д — г(х=О, )!дй бх где интегрирование проводится от х = — а до +; причем равенство здесь достигается лишь при 1' = ту (у — постоянная). Отсюда непосредственно получаем 1 ( ~ !в йх,Г ( й )е йх ~ ( ф г(х !в.
ЕСЛИ тЕПЕрЬ ЗаМЕНИтЬ 1 На агу, а д На ~еГг, тО СООТНОШЕНИЕ (12.3) примет вид (Ьх)в(г1р)з ~ ~ (иуг) (17гр) Нх~в = ~ ~юро4еринх(в. (12.4) Последний член в (12.4) можно переписать в виде У т'г(г И Ф")+ г (ил+ ~Ч рйх! = —,' ~ рИ вЂ” Кто!'+-,')~ р(.Р+ ри) у йх!'. (1гб) под Ьх и Ьр. Возможны различные определения этих величин; аналитически проще всего иметь дело со средними квадратичными отклонениями от средних значений, определенных в соответствии с з 7: з еЗ. Движение свободного волнового нанета в одном измерении 73 Опущенный в правой части (12.5) член с произведением двух слагаемых равен нулю, в чем легко убедиться, воспользовавшись соотношением ~ враЯуйх = ( ври фере(х = ( (гавр) (хвр) йх = ( врравре(х, получающимся при интегрировании по частям с учетом вещественности и.
Теперь из (12.2) имеем (с4 — Ри)вр = — 1л ~хах — х (хвр)] = 1ивр (12.6) Таким образом, соотношения (12г4) — (12.6) дают (Лх)з (Ьр)' — йз или йх ° йр — $, (12.7) где равенство может иметь место только, если второй член в правой части (12.5) обращается в нуль. Таково точное выражение для соотношения неопределенности Гейзенберга (3.1), если неопределенности Ьх и Лр определять по (12.1). Форма минимизирующего пакета. Из предыдущего вывода следует, что минимальное значение произведения неопределенностей достигается только при выполнении двух условий: ир= хрр (12.8) 1 вр (иф + ри) вр е(х = О. (12.9) Равенства (12.8) и (12.2) дают дифференциальное уравнение для вр д— ,'= Ь(х -<х>)+'-Ф,')]% которое непосредственно интегрируется: вр(х) = М ехр ~ (х — (х))'+ ~ра' ] (12.10) (М вЂ” произвольная постоянная).
С учетом (12.8) уравнение (12.9) теперь принимает вид ( — + =) ] ~>агут = О, У 7 откуда, очевидно, следует, что величина т должна быть чисто мнимой. далее, поскольку интеграл от (фв должен сходиться, мнимая часть х должна быть отрицательной. Константа зй опре- деляется условием нормировки 1с)вр)ее(х = 1. Гя. 111. Собственные функции и собственные значения Аналогично параметр у можно найти из условия [ (х — (х))а ~ р 1з с(х = (йх)а. Интегралы легко вычисляются, и мы получаем следующее выражение для нормированной функции, характеризующей минимизирующий волновой пакет: р(х)= [2ве(ах)а]-ч ехр ~ ( 4 ( )) + (рз) ~. (12.11) Коэффициенты разложения по собственным функциям оперв~- тора импульса. Одномерные собственные функции оператора импульса аналогично (11.4) и (11.11) имеют вид иа (х) = 1.-*ь е1"* (1гл2) (нормировка в области периодичности длиной Ц или и,(х) = (2л) — ч е" (12.13) (нормировка на б-функцию).
Так как для свободной частицы волновое уравнение имеет простую форму (6.8) . ау а* аье (л — = — — —, дг 2т ах' ' то собственные функции оператора импульса являются вместе с тем и собственными функциями оператора энергии". Поэтому любое решение волнового уравнения можно записать в виде, аналогичном (10.18): р(х,() = (~~, или [ М) Аае 'ннов и„(х), (12.15) где коэффициенты А, не зависят от х и (; зависимость от времени полностью определяется зкспоненциальным множителем. Как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, функция (12.15) удовлетворяет уравнению (12.14), если только (12.16) Таким образом, задача об определении движения волнового пакета сводится к нахождению коэффициентов разложения А,для некоторого момента времени, скажем для ( = (), после чего с помощью соотношений (12.15) и(12.16) можно найти р (х, () и г) Обратное утверждение необязательно справедливо, так как уравнение (12.16) для каждого Еь допускает два значения (с (положительное и отрицательное).
1л. движение свободного волнового нанета в одном нанесении 7о для других моментов времени. Экспоненциальные множители в (12.15) при 1= 0 равны единице, и для нахождения А, можно воспользоваться одномерным аналогом второго из соотношений (11.17): Ан — — ~ йн (х) р (х, 0) Нх. (12.17) Пределы интегрирования равны х = ~ Ц2 или х = ь о в зависимости от того, какая выбрана нормировка — в области периодичности или на б-функцию.
Плотность вероятности различных значений импульса, характеризуемая функцией РЯ = = )А е — ™нл"(е=!А„~в, не зависит от времени, так что, например, величины (р) и йр являются постоянными. Изменение мннимнзируюп1его пакета со временем. В качестве простого характерного примера рассмотрим функцию и (х, 0) вида (12.11), причем (х> = (р) = О, так что в начальный момент времени центр волнового пакета находится в точке х = О, а его средний импульс равен нулю. Тогда, нормируя волновую функцию в области периодичности, мы получаем из (12.17) с /я А,= 12веЕв(их)в]-'~ ) ехр[ — 4, — Их[Их=[ (,11 е -Ыз (12.18) где Е предполагается настолько большим, что вкладом в интеграл от областей )х)>Е12 можно пренебречь. Подставляя зто выражение в правую часть (12.15), находим волновую функцию для произвольных значений г Н (х, 1) = ~ А„е '~ "' и, (х), (12.19) где 1о = 2геп1Е, причем и — любое положительное и отрицательное целое число или нуль.
Как и в $11, длину Е можно взять произвольно большой; соответственно и можно рассматривать как непрерывную переменную и суммирование по и заменить интегрированием, что сводится к вычислению интеграла (Е/2л)1 Ы. Таким образом, 1в (х, Г) =- [(— ~)-1 1 ехр [ — Iов (йх)' — — + йх] й1с = 76 Гя. И1. Собегивенние функции и еобетвенные значения Плотность вероятности для координат при этом равна ! вр (х, 1) )в = ( 2л ~(дх)е + —,, ~ ~ х Выражение (12.21) имеет тот же вид, что и )ву(х, 0)!е, с той разницей, что вместо (Ьх)е появляется сумма (йх)е+ й'Р/4аР (Ьх)е, равная (Ьх)в+ (др)е1в1ив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
