Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Уравнения такого типа удобно прежде всего переписать в безразмерной форме. В данном случае мы введем для этого безразмерную независимую переменную с = вех и безразмерное собственное значение Л и попытаемся переписать уравнение (13.1) в виде З' 1З. Линейный гирмонинесний осциллнтор 81 при всех степенях «. Таким образом, з(з — 1) а„= О, (з + 1) за, = О, (з + 2) (з + 1) ае — (2з + 1 — Л) а, = О, (з+ 3) (з+ 2) а,— (2з+ 3 — Л) а, = О, (13.7) аР о 3 о о Такое отношение коэффициентов характерно для ряда, представляющего функцию «"ее' при произвольном конечном и.
Из формулы (13.4) явствует, что при этом нарушаются граничные условия„ накладываемые на й(«) при больших ф~. Таким образом, ряд (13.б) должен обрываться. Это означает, что, поскольку а,ФО, Л = 28+ 2о+1, где е — целое четное число. В противном случае члены с четными индексами образовали бы бесконечный ряд. Так как при этом ряд с нечетными индексами не может оборваться, следует положить а, = О. Индекс з может еще принимать значения 0 и 1, соответственно чему Л равно 2о+ 1 или 2о+ 3, где о — четное целое число.
Вводя квантовое число п, можно объединить оба случая, полагая Л =- 2п + 1, Е„= (п + — ) йеоФ и =О, 1, 2,... (13.8) Нулевая энергия. Уровни энергии (13.8) образуют бесконечную последовательность и отстоят друг от друга на равных интервалах. Именно это было постулировано в 1900 г. Планком и соответствует правилам квантования старой квантовой теории. Однако для кван- 6 Л. ШИФФ (з+ +2)(з+ +1)а„ца — (2з+2 +1 — Л)а,==О, где е — целое число. Поскольку а, не может равняться нулю, из первого уравнения (13.7) следует, что з = 0 или з = 1. Из второго уравнения следует, что либо з, либо а„либо обе эти величины равны нулю. Тогда третье уравнение связывает а, с а„четвертое — а, с а, и вообще (о+ 3)-е уравнение связывает а„„с а„.
Равенства (13.7) показывают, что ряд (1З.б) содержит конечное или бесконечное число членов в зависимости от выбора чисел з, а1 и собственного значения Л. Если ряд не обрывается, то его асимптотическое поведение можно найти, определив отношение коэффициентов при достаточно больших ю 82 Гл. 1'ч'. Дискретные собственные эначения. Уровни энергии товой механики характерно конечное значение энергии основного состояния лео,/2. Эта так называемая нулевая энергия связана с принципом неопределенности так же, как и конечный наименьший уровень энергии частицы в прямоугольной яме с идеально твердыми стенками (см.
$ 9). По порядку величины полная энергия равна [(Ьр)'/еп) + К (Ьх)', где йр и Ьх в соответствии с $ 12 характеризуют разбросы значений импульса и координаты. Легко видеть [с учетом соотношения неопределенностей (ЗП)), что это выражение имеет минимум при Ьр порядка (Кшйе)", откуда следует, что минимум полной энергии имеет величину порядка й(К/и)ч или йеи,. Четность. Из соотношений (1З.В) и (13.7) явствует, что число п представляет собой наибольшее значение суммы э+ и в разложении функции Н (13.6). Обозначая соответствующий полипом через Н„(с), видим, что по отношению к переменной 8 он будет иметь степень и и его четность или нечетность будет определяться четностью или нечеткостью числа п.
Поскольку функция е еч' — четная и не имеет узлов, соответствующая собственная функция п„(с) имеет и узлов и четность ее определяется четностью числа п. Эти выводы согласуются с результатами, полученными ранее в $8 и 9. Полиномы Эрмита. Полипомом Эрмпта и-го порядка Н„(с) называется полином, четность которого совпадает с четностью п и который удовлетворяет уравнению (13.5) при Я = 2п + 1: Н„"— 2~Н„'+ 2пН = О.
(13.9) Из полученного ранее решения уравнения (135) следует, что эти условия однозначно определяют Ни с точностью до произвольного постоянного множителя. Поэтому при более подробном изучении свойств полиномов Н„можно будет избежать применения рекуррентных соотношений (13.7), если только удастся найти какую- либо другую форму решения, удовлетворяющую поставленным условиям. Действительно, существует гораздо более удобное представление Н„через пропэводяцую функцию Я(с, э): с (е э) — еР— (е- гп — е — е ч.ац — ~ ч эи (13 10) н„(э) и-О Разлагая экспоненциальное выражение в (13.10) в ряд по степеням з и с, легко установить, что члены с некоторой заданной степенью э будут содержать 1 либо в той же степени, либо в степени, меньшей данной на четное число.
Следовательно, ойределяемый таким путем полипом Н„(б) будет иметь степень и и четность его совпадет с четностью и. Чтобы убедиться в том, что полиномы Н„удовлетворяют дифференциальному уравнению (13.9), продифференцируем обе части й га Линейный гармонический осциллятор дз (13.10) сначала по с, а затем по ей 2йе- ° ~ч-аэг ~ Н (с) ~~ ~ Н (че) — ', =( — 2а+2Е)е-"+й'=.р ~ +")' Н.И)=.2' ' -Н»й).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а в суммах, входящих в эти два выражения, получим соответственно Н„' = 2лН„о Н„„, = 2с̈́— 2нН„ь (13.11) Легко видеть, что получающееся отсюда дифференциальное уравнение наименьшего порядка, содержащее только Н»и совпадает с (13.9). Таким образом, функции Н„(с), определяемые равенством (13.10), представляют собой полиномы Эрмита. Соотношения (13.11) можно использовать для вычисления как самих полиномов Эрмита, так и производных от них; можно также пользоваться явными выражениями, получаемыми непосредственно из производящей функции. Если и раз продифференцировать 5 (с, а) по а и затем приравнять а нулю, то, как видно из(13.10), результат будет равен просто Н„(й).
Для любой функции вида 1(а — с), очевидно, имеет, место соотношение д1 д1 де дс ' Таким образом, д З , д» , , дн = ее' е-н-ег = ( — 1) ее* — е-н-ен. дя» д5 дс'" Отсюда получаем выражение для и-го полинома Эрмита: Н„(С) = ( — 1)" еп „е-е*. (Ш2) Первые три полинома, вычисленные по формуле (13.12), имеют вид Но (Е) = 1 Н1 (4) = 2~ Не(~) = 4~' — 2. Волновые функции гармонического осцнллятвра. Производящая функция полезна также для вычисления интегралов, содержащих волновые функции гармонического осциллятора (13.4): и„(х) = И„Н„(их) е " ' ~ .
(13.13) Пусть, например, требуется нормировать функции и„(х). Это овна. чает, что постоянную Ж„ надо выбрать так, чтобы ° О О» ) )и„(х))'ах=- " 1 НеЯе-'*Я = 1. З4 Гя. ГК Диснрелснсве собственнсве значения. 2гровни энергии Интеграл в правой части можно представить как коэффициент ряда, получаемого в результате разложения интеграла от произведейия двух производящих функций: ОО ОС вЂ” -.— "1 е — "+™е — и+эие-в' йс = ~„Ъ" — ) Н„(е) Н (б) е-е'гЦ.(13.14) «-О «с=е Интеграл в левой части (13.14) легко вычисляется, давая в резуль- тате лиеэвг = лч. с л1 «-О (13.15) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях з и 1 в правых частях (13.14) и (13.15), находим СО ) Нв(с) е е*дб = л'и2"и!, — ОС /' н„(с) и (с) е-и с(с = О, л Ф и.
Составим два разложения для интеграла: е — '+з ее-лажесе — е'г(р — ~ ~ ) рН, (с) Н,«(б) е 4'с(( -о ~-о и лпс (а -1- 1) сева вси, ~~ (э + ) л! -о Согласно первой формуле (13.16), нормировочную постоянную можно выбрать в виде (ли 2«л1) (1 3.17) здесь еще остается неопределенным постоянный фазовый множитель, модуль которого равен единице. Из второй формулы вытекает, что йри и Ф и функции и„(х) и и (х) взаимно ортогональны. Это находится в соответствии с общим результатом, полученным в $10 для невырожденных собственных функций оператора энергии, так как, согласно (13.8), Е„-ЯЕ при и~т, т. е. вырождение отсутствует.
Типичным примером других интегралов, которые можно вычислить с помощью производящей функции, является следующий: СО СО ) й„(х)хи (х)йх= ", ) йН„ЯН„(б)е-е'йЕ. х' 13. Линейный гармонический осциллятор 85 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях й и прини- мая во внимание (13.17), получаем -0 ) вн(х)хн (х)й'х = О, во всех остальных случаях.
Соответствие е классической теорией. На фиг. 10 показаны графики первых шести волновых функций гармонического осциллятора. Легко видеть, что плотности вероятности для координат ~и„~', -5-4-5-34 О Г г 3 4 5 -54-3-34 и 3 3 4 5 -5-4-3-3 и О Г г 3 4 5 $ -5-4-3-34 О Г г 345 -5-4-3-г- О Г 334 5 -5-4-3-34 0 $ $ $ 234 5 гФ и г. 10. Собственные функции оператора энергии лля первых1 шести 'состояний гармонического осциллятора (Паулинг и Вильсон 131).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
