Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это связано с тем, что в обычных лабораторных условиях первоначально неподвижные частицы бомбардируются другими, полную энергию которых в силу (16.5) можно представить в виде Е, =- Е + Е'. Следовательно, энергия относительного движения Е отличается от энергии бомбардирующих частиц Е„и результат рассеяния зависит от того, чтб именно покоилось в начальный момент — рассеивающая частица или центр инерции. Систему координат, в которой до столкновения покоится рассеивающая частица, мы будем называть лабораторной, а систему, в которой (до и после столкновения) покоится центр инерции,— системой центра инерции. Очевидно, расчет легче производйть во второй системе, так как в ней мы имеем лишь три степени свободы, а в первой — шесть. Столкновение в системе центра инерции можйо рассматривать как рассеяние частицы с приведенной массой р = ш,т,/(гл, + и,) [см.
(16.4)[ и начальной скоростью о на неподвижном рассеивающем центре [см. ниже замечания в связи с формулой (18.9)]. Переход от этой системы к лабораторной системе координат, в которой ведутся наблюдения, приводит к изменению углового распределения рассеиваемых частиц. Эффективное сечение рассеяния, Угловое распределение частиц, рассеиваемых неподвижным силовым центромили другими частицами, удобно описывать с помощью представления об эффективном сечении рассеяния.
Предположим, что группа и частиц, или рассеивающих центров, облучается параллельным пучком частиц, поток которых (т. е. число частиц, падающих на единицу поверхности за единицувремени) равен М. Будем считать этот поток настолько малым, что интерференция между падающими частицами отсутствует и число частиц, выбиваемых из мишени при отдаче, пренебрежимо мало. Допустим также,',что 'расстояние между частицамилмишени настолько."велико, что каждое столкновение происходит только с одной из них. Тогда число частиц, рассеянных в единицу времени 118 Гл. 'в'. Непрерывные сооственные эначения. Теория столкновений в малый телесный угол исоо в направлении, составляющем полярные Углы О, и 9о с напРавлейием движениЯ пеРвоначального пУчка, будет пропорционально М, и н йсоо и может быть записано в виде П1ЧОО (ОМ 9'О) свСОО1 (18.1) здесь коэффициент пропорциональности сво(0„9оо) называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния.
Так как размерность (18.1) равна сек.-', то сво(Оо, уо) имеет размерность плоЩади. ПРи этом величина о,(Оо, 9о)Лево пРеДставлЯет собой площаДь поперечного сечения первичойого пучка, содержащую столько частиц, сколько их рассеивается отдельным центром в телесный Угол асов. ИнтегРиРУЯ ао(0„9в) по повеРхности сфеРы еДиничного радиуса, получаем полное эффективное сечение рассеяния ио = „~ ево (Оо~ 9'о) иеоо. (18.2) При столкновении частицы с неподвижным центромопределение дифференциального эффективного сечения (18.1) одинаково справедливо как в лабораторной системе координат, так и в системе центра инерции. Действительно, эффективная масса неподвижного рассеивающего центра бесконечна и, следовательно, центр инерции системы остается неподвижным.
В случае же столкновения двух частиц конечной массы формула (18.1), вообще говоря, имеет силу лишь в лабораторной системе координат и при этом относится только к рассеянию падающих частиц. Поведения (в лабораторной системе) частиц отдачи она не описывает, хотя, разумеется, из сво(О„то) можно получить и дифференциальное сечейие для частиц отдачи. По аналогии с (18,1) дифференциальное эффективное сечение о(0, 9) можно определить и в системе центра инерции, причем опять наблюдаемыми считаются падающие частицы, а поток их 1я' вычисляется относительно частицы мишени, а не по отношению к центру инерции. Поскольку в этой системе координат частицы после столкновения движутся в противоположных направлениях, ясно, что дифференциальное эффективное сечение для частиц отдачи, рассеянных в направлении О, т, есть а(вв — О, 9в + ве).
Соотношения между углами в лабораторной системе и системе центра инерции. Чтобы найти связь между сечениями и углами в двух используемых нами координатных системах, удобно сообщить лабораторной системе такую скорость в направлении движения падающего пучка, чтобы центр инерции оказался в покое. На фиг.
1б, а изображена частица с массой т, и начальной скоростью о, сталкивающаяся с другой частицей с массой т„первоначально покоившейся. По закону сохранения импульса центр инерции движется при этом вправо со скоростью о' = тес/(т, + т,). Таким образом, в системе центра инерции частицы с массами т, В тВ. Трехмерные столкновения 119 и гпе приближаются к центру инерции со скоростями соответственно о' и о", где гггг" и" = 6 — и'= (ш,+ т~' Очевидно, после столкновения они с теми же скоростями удаля- ются от центра инерции (см. фиг. 1б,б). Из геометрических сообра- жений следует, что углы О и р связаны с О, и (гз соотношениями в„р, о" соя О + н' =- н, сои О, нчо гл г"ъ+~'г и" гйп 0 = о, ейп Огн Ль ° р = арго.
(18.3) а гнг+юг Первые два уравнения к нпгу (18.3) после исключения о, дают. иеннгр В шг е!п 6 т, глзо (НО, =— ее+ нгг (18 4) /"Ю,О У= — = — ° 6 е" те Соотношения (18.3) и У (18.4) можно обобщить на случай таких столк- е новений (например, ядерных реакций), когда на первоначально неподвижную частицу с мас- в сой иг налетает частица с массой т„а после СТО!!КНОВЕНия ВОЗНИ- бг и г. (6. а — лабораторнак система коорди- КаЮТ ЧВСТИЦЫ С МаССа- наг, в котоРой частиЦа мишени (с массой тг) МИ ГП И ГЛ ПриЧЕМ ГП 1 первоначально находитск в покое; б — система центра иверции, в ноторой до и после столкно+ ггге = шз+ шг 'Пер вения центр инерции двух частиц остается невая из формул (18.4) подвижным; в — векторное сложение скорости ОСТаЕТСя Снразсдпнзбй центра инерции в лабораторной системе коор- И В ТОМ СЛуЧВЕ, КОГда динат (а') со скоРостью частицы в системе центра инерции (е"). В результате получается ЧВСТЬ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕР скорость частицы в лабораторной системе (и,); гии„равная 9, перехо- при ч" (е' угол Вг не может превышать дит в кинетическую агсе(й (о"(о').
энергию возникающих частиц (величина (~ положительна для экзотермических столкновений и отрицательна — для эндотермических); при этом наблюдается частица с массой те. Величина у в этом случае по- прежнему определяется как отношение скорояи центра инерции 120 Гя !с. Неиреривние собственные значения. Теория сивянновений в лабораторной системе к наблюдаемой скорости частицы в системе центра инерции. Однако, как можно показать, она уже не равна отношению т,/т„а дается формулой ( 8.5) где Е = т,т,и'(2(т, + т,) — первоначальная энергия относительного движенйя в системе центра инерции [см. замечания в связи с формулой (18.9)].
Связь между эффективными сечениями. Связь между эффективными сечениями в лабораторной системе координат и в системе центра инерции вытекает из определения этих величин. Из него следует, что число частиц, рассеиваемых в бесконечно малый телесный угол с!сио в направлении В„р„равно числу частиц, рассеиваемых в угол дю в направлении О, р: ио (Во, ро) гйп Во с/Во с/сро = а (В, ов) сйп 0 с!О др. (18.6) Пользуясь последней из формул (18.3) и первой формулой (18.4), получаем из (18.6) ) (1+ уз + 2усоо ори (0 ) (, ) где в общем случае у дается равенством (18.5).
Следует отметить, что, поскольку полное число столкновений не зависит от способа описания процесса, то полное эффективное сечение оказывается одним и тем же как в лабораторной системе, так и в системе центра инерции; оно также одинаково для обеих разлетающихся после столкновения частиц. Зависимость от у. Из формул (18.4) явствует, что при у < 1 величина В, монотонно возрастает от О до вс при увеличении В от О до вс.
При у = 1 угол О, = В/2; следовательно, О, изменяется от О до вс(2 при изменении 0 от О до вс. В этом случае ссо (В„р ) .= 4 соз 0 сс (20, у ), и в лабораторной системе не происходит рассеяния частиц в заднюю полусферу. При у -- 1 угол В, сначала [при увеличении 0 от О до агссоэ ( — 1/у)] возрастает от О до агсгйп (1/у); это максимальное в данных условиях значение В, меньше вс/2. Затем при дальнейшем увеличении 0 до и угол О, уменьшается до нуля. Для максимального В„сечение ао(В„ро) обычно становится бесконечным, но вклад от этой сингулярности в полное эффективное сечение конечен; в лабораторной системе не происходит рассеяния на угол, превышающий максимальное значение О,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
