Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 28
Текст из файла (страница 28)
((а/!аа)ч*, а при отрицательном ь,— гораздо более слабый максимум при «а ~ 2(Га(!а,)на. ользуясь соотношением Го = ааа с!дива, нз (1929) можно усмотреть, что при резонансе парциальной волны с ! = 0 справедливо следующее приближенное выражение для полного сечения: а,ж «'+ а1свзаа,а ' (19.31) Очевидно,при низких энергиях парциальная волна с ! = 0 будет в резонайсе, если величина ива приближенно равна нечетному числу, умноженному на аа/2, так что е'виа ~ асада/8и, 9аааоа/8и и т.
д. Как видно из формулы (15.3), это как раз те значения У,и', при которых возникают новые уровни энергии с ! = О. Как можно показать, резонанс всегда имеет место при рассеянии частиц такой энергии потенциальной ямой (необязательно прямоугольной и необязательно при ! = 0), если при том же ! в яме имеются дискретные уровни, близкие к нулю. Наглядно можно было бы сказать, что в тех случаях, когда энергия падающих частиц близка к тому значению, при котором возможен их захват силовым центром, частица имеет тенденцию „концентрироваться" в соответствующей области, в связи с чем волновая функция заметно искажается и рассеяние увеличивается. Резкие резонансные максимумы при рассеянии частиц малой энергии, аналогичные найденному выше для случая ! = 1, 4, О, могут иметь место и при любых других значениях ! (исключая ! = 0), если только потенциальная яма недостаточно глубока или широка, чтобы в ней мог возникнуть новый уровень с тем же моментом количества движения (в случае прямоугольной ямы этому соответствуют малые положительные значения с ).
Наглядно можно представить себе, что потенциал такого тийа содержит виртуальный уровень энергии, расположенный несколько выше нулевого. Хотя при положительном значении энергии дискретный уровень существовать не может, положительный „центро 136 Гл. У. Непрерывные собственные значения. Теория столкновений бежный потенциалы !(!+1)й /2!лгй[см. (14.18)] при ! =- Одействует как потенциальный барьер, удерживающий частицу на виртуальном уровне вблизи силового центра. Такой барьер изображен'на фиг. 20; так же,как и барьер, представленный на фиг.
14, он обладает малой прозрачностью при низких энергиях [см. (17.7)[. Таким образом, виртуальный уровень имеет в некотором роде временный характер, вызывая при совпадении энергии падающей волны с энергией виртуального уровня большее искажение волновой функции падающей частицы .по сравнению с волнами других энергий, + б сйп 6, В1п 6, соб (6, — 6,) сей 9 + 9 сйп' 6, соэ' б[, (! 9.32) а = —, (В!пй 6, + 3 сп' 6,). йэ Из формул (19.27) и (19.32) видно, что в отсутствие резонанса отношение вкладов парциальных волн с ! = 0 и 1= 1 в полное сечение составляет величину порядка (!са)а. Однако в дифференциальном сечении наибольший член, зависящий от углов (пропорциональный соб О), имеет порядок ()га)й относительно изотропного слагаемого.
Таким образом, парциальная волна с ! = 1 влияет главным образом на угловое распределение при малой энергии, но не на полное сечение рассеяния; это обусловлено интерференцией данной волны с более интенсивной парциальной волной с ! = О. Если, например, при некоторой энергии падающих частиц 6, = 20' и 6, =2', то вклад парциальной волны с 1 = 1 в полное эффективное сечение рассеяния составляет лишь 3;,'; в то же время вследствие наличия этой волны рассеяние вперед (б = 0') в 3-,5 раза превышает рассеяние назад (О = 180').
Ф и г. 20. Зффектинная потенциаль. ная энергия 1У !г) плюс „центробежный потенциал"1 для !>О, когда У=О прн г)а. Вил пунктирной части кривой )при г < и) зависит от формы потенциала У. Есля Е несколько больше нуля, то эффектявиый по ген циальный барьер (г»а) характеризуется малым пропусканием и в этом отношении аналогичен барьеру, изображенному на фиг. ри Угловое распределение при низких энергиях, При малой (но отличной от нуля) энергии падающей частицы заметную роль в рассеянии может играть парциальная волна с ! = 1. Если только фазы 6, и 6, заметно отличны от нуля, то формулы (19.12) и (19.13) принимают вид п(б) = й [В)П 6о+ 1 Л 20.
Рассеяние кулоновским нолем 137 й 26. Рассеяние кулоиовеким полем В $19 отмечалось, что в отношении применения метода парцнальных волн рассеяние в кулоновском поле представляет особый случай. При столкновении частиц с зарядами Яе и 2'е потенциальная энергия \~(г) = 22'еа/г, и легко видеть, что асимптотически функция (19.3) имеет вид л 1Г) Е а ! М вЂ” п !п !).
! ( ! (20.1) здесь л = 7лЯЯ'еа/йа/г = 22'еа/йо, где о — скорость относительного движения, а 7с — приведенная масса. Таким образом,решения радиального уравнения никогда не переходят в синусоидальные решения волнового уравнения для свободной частицы, так как на больших расстояниях нельзя пренебречь логарифмической добавкой к фазе. Хотя и в данном случае можно получить решение задачи о рассеянии в сферических координатах (что делается в дальнейшем), но фазы бо введенные в й 19, приобретают другой смысл.
В настоящем параграфе намечается лишь схема расчета и дается общее описание результатов, заимствованных из более обширных руководств". Параболические координаты. Если мы интересуемся лишь сечением а(д) для чисто кулоновского поля, то проще разделять переменные не в сферических, а в параболических координатах (см. $ 16).
Это связано с тем, что искомое решение зависит почти исключительно от перемейной е (16.25), а не от г) и !Р. Из осевой симметрии задачи ясно, что решение не будет зависеть от 7; далее, если выделить в волновой функции множитель е'", характеризую. щий плоскую падающую волну, то можно думать, что остающаяся часть функции не будет зависеть и от г). Действительно, положим и, = е"*/ (20.2) где и, — полная кулоновская волновая функция (включающая как падающую, так и рассеянную волну). Функция и, должна содержать часть, асимптотическое поведение которой характеризуется функцией г-'е'"", но не может содержать членов с асимптотическим выражением г 'е-"" [см.
(18.10)). Поскольку такую форму может иметь выражение вида е"с/(г — г), но не е'с/(г+г), можно ожидать, что фигурирующая в (20.2) функция /будет зависеть только от б = г — г. Подставим (20.2) в (16.26), заменив там Я на .— л2' и принимая во внимание, что Е = О. Тогда для / получим дифференциаль- О См. работу Гордона 161 н книгу Мотта и Месси 161, гл. 3.
С математической стороной вопроса можно поанакомнтьск по книге Унттекера и Ватсона 171, гл. 16. 1См. также книгу Ландау и Лифшица 1111, гл. 14. — Прим. перев.) 138 Гл. е'. Ненрерыэнне еобеаеенные.эначения 'Теория еяюлкноеениа ное уравнение $ —, + (! — 1)еб) — ~ — л/г) = О. «ь (20.3) Оно сводится к уравнению для вырожденной гипергеометрической функции Р(а, Ь, г): з,я + (Ь вЂ” г) ~ — аР = О, Рек а!о (20.4) если положить 1(б) = СР( — 'гл, 1, ЙД, (20.5) где С постоянная.
Вырожденная гипергеометричеекая функция. Решение уравнения (20.4), регулярное в точке г = О, можно записать в виде степенного ряда Г(Р+5) Г(Ь)е 2~~ Г (Р) Г (Ь + 5) Г (1 + 5) Ре Р(Р+ 1)ее ! +ь1!+ ь(ь+ Ош + Удобно положить Р(а, Ь, г) = )г',(а, Ь, г) + ИГ5(а, Ь, г), где функции ИГ, и ИГР по отдельности удовлетворяют уравнению (20.4), Тогда асимптотическое представление Р можно'получить из'следующих соотношений: :)(Г,(а,ь,з)=г ь — Р)( ') "б(а, а — Ь+(, — е), г (ь) ИГР(а Ь е)=г(,)~~ К(1 — ໠— а е) г (ь) г -~ са е 1! е л! (20.7) Решение уравнения (20.4), имеющее особую точку в начале координат, можно записать в виде 6(а, Ь, г) = (Х,(а, Ь, г) — 1И~,(а, Ь, з).
(20.8) Такое решение потребуется нам для задач, в которых около точки г = 0 поле уже перестает быть 'кулоновским. Асимптотическое представление кулоновской волновой функции можно получить из соотношений (20.2), (20.5) и (20.7). 'С точностью. до членов порядка г-' оно имеет вид Пе Се" и ! !ы+ 1~ь! ен г н' ! Г(1+ !Р) ! ! Гя(е — е)3 + —,~,(б)ее(н "' зь'!), (20.9) ,Е ЗО. Рассеяние кяяоноеским нолем !зз где ,О=. ! 1! ) Ьл) е — вв)а(в)н''!Ф) )Г ( — вл) 2)св)пв в/ве и — вв )и (в)я' ' ),В) + !я + Зсяв (20.!О) 2)с Мпв в4В в)в = агд Г(1+ 1п). Эффективное сечение рассеяния и нормировка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
