Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для обозначения суммирования по всем значениям й мы будем пользоваться символом Я или Я„при этом суммирование включает также и интегрирование по области непрерывного изменения й, Матрица унитарного преобразования. Пусть имеется вторая полная ортонормированная система функции ек(г). Последние отнюдь не обязаны удовлетворять уравнению Шредингера (22.1) с потенциальной энергией (х(г), характерной для даннойзадачи. Они могут, например, представлять собой собственные функции операт1ра импульса (11.4) или (1!.11), или волновые функции атома водорода (1б.24), к которым добавлены еще соответствующие волновые функции йепрерывного спектра (типа рассмотренных в $ 20), Функции о„можно разложить по ик: гк(г) = ЯкЯ„,их (г), ГЗЗ Гл. 71, Матричная формулировка квантовой мвхакики причем из ортонормированности функций и„следует, что Е~.
= .[ и~ ( ) ~ (г) й». Аналогично и,(г) = Я„Евко„(г). (22.3) Легко убедиться, что матрица с элементами Еи„унитарна: (ЕЕв)ы = Я Яя„Е,„= Я„~ ик (г) о„(г) в(» [ о„(г') и, (г') й»' = [ [ ик(г) и,(г') д(г — г') в(»И» = [ и„(г)и,(г)в(». (22.4) Здесь было использовано условие полноты, справедливое для любой полной ортонормированной системы функций, в том числе и для функций о„(г) [см. замечание, сделанное в связи с (10.11)). Последний интеграл в правой части (22.4) равен д-символу Кронекера или д-функции Дирака в зависимости от того, принимает ли индекс 1в дискретное или непрерывные значения; в обоих случаях он представляет собой элемент единичной матрицы. Таким образом, мы доказали, что ЕЕв = 1. Аналогично можно показать, что (Е*Е) = ЯкЕк Е = (1), Матрица энергии.
С помощью функций о„(г) можно вычислить матрицу оператора энергии Н „= [ о„(г) Но (г) д», (22.5) где Н вЂ” оператор (22.2). Рассмотрим теперь связь между матрицей энергии (22.5) в о„-предсвпавлении и собственными значениями оператора энергии Е„. Преобразуя Н с помощью унитарной матрицы 8, получаем (ЕНЕ')ы = Яи, тБ, „Н„~,„= =Я„, [ ца(г)о„(г)вв» [ о (г')Н'о (г')й»' [ о,(г")и,(г")й»", где штрих у Н показывает, что оператор действует только на переменную г', находящуюся справа.
Выполняя суммирование по индексу вп, получим д (г' — г") и, следовательно, [ Н'д (г' — г') и, (г") в(»" = Н' [ д (г' — г") и, (г") д»" = Н'и, (г'). Суммируя далее по п и опуская штрихи, находим (Бак)ы —— [ йи(г) Ни,(г)д» = Екдкч илн Екд(lс — 1), (22.6) т. е.
мы получаем элементы диагональной матрицы с собственными значениями Е„. у зц Матрицы в квантовой механике 153 Таким образом, решение уравнения Шредингера полностью эквивалентно диагонализации матрицы энергии, выраженной в некотором произвольном представлении, например в представлении, задаваемом функциями и„. Собственные значения матрицы энергии являются собственными значениями оператора энергии, получаемыми при решении уравнения Шредингера, а матрица унитарного преобразования 8, диагонализующая Н, дает в соответствии с (22.3) представление собственныхфункций и„(г) оператора энергии через функции произвольно выбранной системы.
Интересно отметить, что матрица Я необязательно должна быть квадратной. Например, функции гк могут быть собственными функциями трехмерного гармонического осциллятора, полностью принадлежащими дискретному спектру, тогда как и» могут быть собственными функциями оператора импульса, полностью принадлежащими непрерывному спектру. Однако матрица энергии, записанная как в диагональном виде (22.б), так и в недиагональном виде Н„„, является квадратной. Динамические переменные как эрмитовы матрицы.
Как видно из (22.б), собственными значениями матрицы энергии являются вещественные уровни энергии Е„. Тогда из результатов $ 21 следует, что в любом представлении матрица Н является эрмитовой. В соответствии с интерпретацией, данной в З 10, собственные значения любого оператора, характеризующего динамическую переменную, должны быть вещественны, так как ими определяются единственно возможные результаты точных физических измерений этой переменной. Произвольную динамическую переменную можно изобразить матрицей, собственные значения которой в диагональном представлении лежат на главной диагонали, а всякое другое представление может быть получено из диагонального с помощью соответствующей унитарной матрицы. Таким образом, произвольную динамическую переменную, допускающую физическое измерение, можно представить с помощью эрмитовой матрицы.
Поэтому такую динамическую переменную называют эрмитовой. Волновые функции как унитарные матрицы. Для любой полной ортонормированной системы функций, например для и„(г) или ек(г), справедливы условие полноты Я»и»(г) и»(г') = д(г — г') (22.7) и условие ортонормированности и»(г) и,(г) дг = д„, или д(й — 1), (22.8) Будем рассматривать функцию и» (г) как двухмерную таблицу чисел, в которой строки нумеруются переменным радиусом-вектором г, а столбцы — индексом (е. Тогда она будет представлять собой 154 Гл. М1. Матричная формулировка кванюовой механики матрицу се„„ а равенство (22.7) — матричное уравнение (ии )„=Ц„и,.О;.=(1) .
Аналогично соотношение (22.8) в матричной форме имеет вид (и*и)вй -8,О,.ин = (1)„. Таким образом, матрица 11 унитарна. г-представление. Указанное свойство волновых функций наводит на мысль, что зту унитарную матрицу можно применять в качестве матрицы преобразования. Преобразуем матрицу энергии Н„, определяемую равенством (22.5), с помощью унитарной' матрицй 'у',„=и„(г): ЯНЧа)а= 8„~реаН Чг = 8„, та(г)Н о (т') = = Я„га(г) ) и„(т")Ннв (г")дт" й (г') = =- ~ д (г т-) Н-д (т- — г') йт" = )" д (г — г-) Н д (тн — г ) дт" = = Н'," д (г — г") д (г" — г ) йт" = Н д (г — г ) = Нд (т — г ).
(22 9) Мы получили результат, обратный результату (22.5). В соотношении (22.5) исходным считался дифференциальный оператор Н и для него получалось матричное представление; здесь же матрица преобразуется обратно в выражение, по существу являющееся дифференциальным оператором. Теперь, однако, видно, что дифференциальный оператор Н, действующий на функции от пространственных координат, можно записать в виде матрицы в представлении, в котором строки и столбцы нумеруются переменными г и г', что отнюдь не было очевидно, когда мы исходили непосредственно из выражения (22.2).
С этой точки зрения решение дифференциального волнового уравнения Шредингера (22.1) эквивалентно диагонализации матрицы Н = Нд(г — г'), что, как мы видели выше, эквивалентно диагонализацин матрицы Н„ . В г-представлении координата г диагональна: (г)„,„. = г'д (г' — г*'). Стоит, отметить, что матрица энер гни Н„н в г-представлении не является диагональной, хотя д-функция и обращает ее в нуль, если г отличается от г' на конечную величину. Это связано с наличием производных от д-функции, у которых имеются отличные от нуля матричные элементы, бесконечно близкие к диагонали г = г'. Например, матрица 1(г) д (г — г') диагональна, а матрицы ( — „) д(г — г') и рвд(т — г') недиагональны.
р 28, уравнения движения в матричной форме 155 Полезное тождество, Если Й вЂ” оператор„ результат действия которого на функцию 1(г) можно представить в виде Й[(г) = [ Й(г, г')[(г') й'х', . то можно получить тождество, часто оказывающееся полезным: [ г(г) [Й/(г)[ е1х = [ [Й*б(г)] [(г) Их. (22.10) Если рассматривать Й (г, г') в качестве матрицы в г-представлении, то, действуя на д (г) матрицей, эрмитово сопряженной с Й, получим Йнр(г) = Г Й(г', г)г(г')егх', откуда непосредственно следует (22.10).
С помощью этого тождества можно переносить действие операторов в подинтегральном выражении с одного множителя на другой. Примерами применения его могут служить соотношения (7.9), (7.10) и (12.3), полученные в результате интегрирования по частям. Там оператор Й является дифференциальным,'а его матричное представление содержит производные и кратные от д-функции, Но оператор Й не обязан принадлежать к такому специальному типу [он может быть, например, интегральным оператором, аналогичным оператору, содержащемуся в квадратных скобках в (1О.!9)[; соотношение (22.10) равным образом справедливо и для операторов, у которых отличны от нуля матричные элементы, находящиеся на конечном расстоянии от диагонали.
й 23. Уравнения движения в матричной форме В предыдущем параграфе были рассмотрены основные трансформационные свойства матриц, представляющих динамические переменные в некоторый определенный момент времени. Вычисляя теперь производные по времени от этих матриц, мы найдем уравнения движения для динамических переменных. Эти уравнения оказываются формально очень похожими на классические уравнения движения и указывают общий метод квантования любой классической системы. Производная по времени от матрицы. Будем исходить из уравнения Шредингера, зависящего от времени (6.16), записав его с помощью гамильтонйана: И вЂ” р(г, 1) = Нзр (г, 1); (23.1) типичное выражение для Н дается формулой (22.2), Матрицу, представляющую произвольную функцию г динамических переменных, можно выразить с помощью полной ортонормированной системы 156 Гл, УУ, Матричная формулировка квантовой меХаники функций, зависимость которых от времени определяется уравнением (23.1).
Обозначим две какие-нибудь функции из указанной полной системы буквами т и р и вычислим производную по времени от типичного матричного элемента: 1 трврИт = ( 1' ~р(г, 1) Р(г, г', Г) вр(г', 1)йтйт'. Будем считать, что Р представляет собой оператор общего вида (необязательно дифференциальный или оператор умножения на число), который удовлетворяет равенству (22.10) и может явно зависеть от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
