Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 30
Текст из файла (страница 30)
14, при Уз< 0) коэффициенты прозрачности и отражения даются формулами (17.5), если в них (равно как и в выражении для а) изменить знак у У,. Рассмотреть вопрос о зависимости коэффициента прозрачности от Е в этом случае. г. Поиазать, что если у определяется соотношением (18.5), то формулы (18.4) и (18.7) будут справедливы для бинарных столкновений общего типа.
(Указание: воспользоваться законом сохранения энергии и массы.) 3. Показать, что если частица с массой т, испытывает упругое столкновение с находившейся первоначально в покое частицей с массой гп„то все частицы отдачи (с массой шз) в лабораторной системе координат рассеиваются в переднюю полусферу. Если в системе центра инерции угловое распределение сферически симметрично, то каково будет распределение частиц с массой т в лабораторной системе координат? 4.
Представить нолновую функцию (19.1) в области, где рассеивающий потенциал равен нулю (ио не обязательно в асимптотической области), в виде суммы плоских воли и разложения по сферическим функциям Ганкеля первого рода (см. (15.!2)1. Пользуясь этим предстанлеиием, а также замечанием, сделанным в связи с (15.18), показать, что рассеянная волна всюду (а не только в асимптотической области) является чисто расходящейся, 144 Гл. У. Ненрераенме еобегпеенние значения.
Теория етолкноеенип 5. Вычислить значение У,а' для трехмерной прямоугольной потеициаль. ной ямы, при котором эффективное сечение рассеяния при нулевой энергии равно нулю (эффект Рамзауэра — Таунсенда). Найти главный член в выражении для полного сечения при малой энергии. (Указание: необходимо учесть парциальные волны как с ! = О, так и с ! = 1.) 6. Сформулировать в янном виде предположения, сделанные при выводе формулы (19.31), и показать, что при малой энергии падающих частиц эта формула дает хорошее приближение для полного эффективного сечения в случае резонанса волны с ! = О.
7. Пользуясь формулой (19.31) и результатами задачи 5 гл, 1У, найти (для данного потенциала) приближенное выражение полного эффективного сечения через энергию падающих частиц Е и энергию связи е частицы в данном поле. Считать, что энергии Е и е малы по сравнению с Уэ 8, Принимая во внимание три первые парциальные волны (! = О, 1, 2), вычислить дифференциальное эффективное сечение рассеяния идеально твер. дой сферой для случая йа = '/ .
построить полярную диаграмму функций о(з). Чему равно в этом случае полное эффектинное сечение и с какой точностью оно определяется при использовании трех членов разложения? 9. Найти общее выражение для фаз при рассеянии в поле У(г) = А/гз, где А ) О. Является лн полное эффективное сечение конечным? Если нет, то возникает ли расходимость от рассеяния на малые или иа большие углы и почему? Как нужно нидоиэмеиить вычисления при А (0? Возникают ли в этом случае какие-либо трудности? 19.
Протоны с энергией в 200000 эе рассеинаются атомами алюминия, Интенсивность рассеяния назад (6 = 180 ) оказалась ранкой 96~', значения, вычисленного по формуле Резерфорда, Допустить, что это связано с отклонениями от кулоиовского потенциала на столь малых расстояниях, что изменяется лишь фаза йм Чему соотнетствует в этом случае добавочный потенциал — притяжению или отталкиванию? Найти знак и абсолютную величину добавки к йм вызванной изменением потенциала.
Л И Т Е Р А Т У Р А 1; Фа!зон О. Н., ТЬеогуо! Веззе! Рнпсбопз, Нечг Уогй, 1944. (Имеется русский перевод: Г. Н. В а т с он, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.) 2. 8 Ь ! ! ! !.. 1., Ргойг. ТЬеог. РЬуз., 11, 288 (1954). 3. Рахйп Н., Но!!вша г)с )., Ез. !. РЬуз., 45, 307 (1927). 4. Ко1!а(Ь й., РЬуз. Ез., 31, 985 (1931).
5. Оогбоп %., Ез. !. РЬуз., 48, 180 (1928). 6. Мо(! Н. Р., Маззеу Н. 3. 37., ТЬе ТЬеогу о! А!ош)с Со15з!опз, 26 еб., Ох!огб — Хечг УогЬ, 1949. (Имеется русский перевод: Н. М о т т, Г. Мес с и, Теория атомных столкновений, ИЛ, 1951.) 7. % Ь1 1!а1гег Е. Т., Юагзоп О. Х., А Соцгзе о! Мобегп Апа1уе!з, 4ГЬ еб., Сашбг!бйе, ).опбоп, 1935. (Имеется русский перевод: Т.
У и т т ек е р, Г. В а тс о и, Курс современного анализа, М.— Л., 1937.) 8. О ашовг О., Ез. !. РЬуз., 51, Ю4 (1928). 9. Оцгпеу й. %., Сон бои Е. О., РЬуз. йеч., 33„127 (1929). !О. Уоз! Р. Ен ФЬ ее!ег ). А., Вге! ! О., РЬуз. йеч., 49, 174(1936). 11'. Ла н да у Л. Д., Лифшиц Е. М„Квантовая механика, М.— Л., ! 948. ГЛАВА Ч1 МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В предыдущих четырех главах было получено волновое уравнение Шредингера и найдены его решения для некоторых случаев, представляющих физический интерес.
Теперь мы дадим другую формулировку квантовой механики, в которой динамические переменные (координаты, компоненты импульса, энергия частицы и т. д.) явно входят в уравнения движения, не будучи обязаны при этом действовать на волновую функцию. Такую же структуру имеют и классические уравнения движения; поэтому можно ожидать, что здесь окажется возможным установить более тесное соответствие между классическим и квантовым формализмом, чем в теории Шредингера. Фактически дело именно так и обстоит. Главное формальное отличие от классической механики заключается в том, что квантовые динамические переменные не подчиняются коммутативному закону умножения. Подобные некоммутативные динамические переменные, зачастую называемые просто операторами, удобно представлять в виде матриц. Поскольку строки и столбцы матрицы можно выбрать сколь угодно большим числом вполне эквивалентных способов, теория матриц дает особенно гибкий способ описания.
Именно благодаря тесной формальной аналогии между классической динамикой и матричной квантовой механикой последняя и явилась исторически первой формулировкой квантовой теории, данной в [925 г. Гейзенбергом'. В настоящей главе будет дан прежде всего краткий обзор наиболее важных свойств матриц; далее будет показано, каким образом матричное исчисление связано с квантовой теорией и какую пользу оно может принести при решении конкретных задач. В 21.
Матричная алгебра" Рассмотрим сначала матрицы, у которых число строк и столбцов конечно, а затем покажем, как обобщаются полученные резуль'> См. работы Гейзенберга [1] и Бориа, Гейзенберга и Иордана [2]. Связь между матричной квантовой механикой и волновым уравнением установлена Шредннгером [3] и Эккартом [4[.
М Со свойствами матриц можно также познакомиться, например, по книге Гельфанда [14]; более полное изложение теории матриц содержится в монографии Гантмахера [15]. — Прнль перев, 10 л. шнФФ 14б ' Гл, 'в1. Матричная формулировка квантовой механики Сложение и умножение матриц. Маглрпг!ей называется квадратная или прямоугольная таблица чисел, которая по определенным правилам складывается и перемножается с другой такой таблицей. Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, например А, а образующие ее числа, или элелвенгпы,— теми же буквами, но с индексами, например Авй! здесь !г означает столбец, а ! — строку, в которых находится элемент Акр Матрицы можно складывать, если они имеют одинаковый ранг, т.
е. одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. Сложение коммутативно: А -1- В = В + А. (21.1) Если обозначить через С сумму матриц, то См = Аы+ Вы. (21.2) Если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В, то А можно умножить справа на В; в результате перемножения получится матрица С, число строк которой совпадает с числом строк в матрице А, а число столбцов — с числом столбцов в матрице В: С = АВ, С„, = ~,' Аа В ы (21.3) Здесь суммирование производится по всем индексам гп, обозначающим столбцы А и строки В. Из соотношений (21.2) и (21.3) непосредственно следует дистрибутивность умножения: А (В + С) = АВ + АС.
(2!.4) Умножение подчиняется также ассоциативному закону: А(ВС) = (АВ)С, (21.5) где левая часть означает, что А умножается справа на произведение В и С, а правая часть — что произведение А и В умножается справа на С. Произведение (21.5) записывается просто в виде АВС; из (21.3) получим для него явное выражение О=АВС, Ом= ~Ав В С„,. Из (21.3) явствует, что, вообще говоря, АВ не равно ВА; таким образом, умножение в общем случае не коммутативно". Н Более полное обсуждение имеется в книге Неймана 151, гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
