Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дифференцируя по 1, получаем — йг ~ .-Р й = ~~ ' (г, ) Я Р (г ', )1 (г', 1) й' + + О ф (г, 1) Р (г, г', Г) ~ — -вр (г', 1)1 йт йт'+ + ~ / ( д (р(г, Г)~ Р(г, г', !) вр(г', 1) йтйт' = = / ф — вр гЬ + — „Д ов (г,!) Р (г, г', 1) [Н'вр(г', Г)) йх йт'— — —,.„О(НЧ (г, Г)) Р(г, г', Ф) вр(г', Г) г(тИт'. Здесь первый член справа представляет собой матричный элемент оператора дг/дф в преобразованиях использовано уравнение (23.1). С помощью тождества (22.10) перенесем в последнем члене действие (эрмитова) оператора Н с функции т на Рвр, после чего получим й, ~ерРврй = ~ р —,врлт+ —. ~ ф(РН вЂ” НР)~~(г. Поскольку функции вр и у в любой момент времени соверщенно произвольны, это можно переписать в виде уравнения для матричных элементов; (23.2) Ж М+ И(ЕН Злементы матрицы в левой части (23.2) представляют собой производные по времени от элементов Р, так что эту матрицу можно называть полной производной по времени от Е Первый член, учитывающий только явную зависимость Р от г, дает частную производную от Е по времени.
Второй член определяет ту часть изменения матрицы Р со временем, которая обусловлена изменением функций, используемых для вычисления матричных элементов. Равенство (23.2) представляет собой уравнение движения для динамической переменной в форме Гейзенберга. О 2Я. Уривнения движения в матричной форме 157 б / Ег/1 = О, В«;(1,) = а«е(ев) = О. (23,3) Получаемые при этом уравнения Лагранжа имеют вид — ( —.) — — = О, / =!, 2,, /. (23,4) ОпРеделим импУльс, канонически сопРЯженныйс «ь какР; = а//д«о н введем функцию Гамильтона, зависящую от координат и импульсов: Н(«и ., «н р,, рн 1) = ~ р«; — Ь, (23.5) 1-1 Варьируя Н, находим уравнения Гамильтона ан .
ан С помощью уравнений Гамильтона (23.б) можно найти производную по времени от любой функции координат, импульсов и времени, взятой в движущейся фазовой точке: др '. сдр ар йв («и. е «р рт~ "~ рр ')= ав+2~(дд,«е+ ар; р*)= ар 1 ар дн ан ар = — + '~-( —,—,— —,—,) = аг а«; аре ад, ар, Скобка Пуассона (А, В) для двух произвольных функций координат и импульсов определяется соотношением ~, (ал дв вв ал~ е — 1 С помощью этого символа уравнение для функции г от динамических переменных можно записать в виде — = — + (г, Н).
(23.8) (23.7) 0 См. книги Уиттекера [68 З.е изд., т 99 и 109, Корбени и Стили 17й «26 и 63, Голдстейни !88 гл. 2 и 7. е(ласснческие уравнения Лагранжа и Гамильтона. Чтобы выявить сходство (23.2) с соответствующим классическим уравнением, дадим краткий обзор основ классической теории Гамильтона. для консервативной динамической системы с / степенями свободы уравнения движения можно получить с помощью вариационного принципа" исходя из функции Лагранжа /.(«„..., «, «„..., «и 1), зависящей от координат «е, скоростей «е = а«е/е/7 и времени, а именно: !58 Гл.
Уд Матричная формулировка квангаовой мвканики Левая часть (23.8) представляет собой полную производную от Р по времени, взятую в движущейся фазовой точке. Первый член справа учитывает явную зависимость Р от времени, а второй описывает изменение Р, связанное с движением фазовой точки, в которой вычисляется функция Р. Таким образом, уравнения (23.2) и (23.8) весьма сходны; движение фазовой точки во втором случае соответствует изменению функций, характеризующих матричное представление, в первом.
Классические и квантовые скобки Пуассона. Сходство между уравнениями (23.2) н (23.8) наводит на мысль, что для нахождения квантового аналога классических уравнений движения в общем случае нужно заменить классическую скобку Пуассона на квантовую, определяемую как коммутатор, деленный на Ж: (А, В) — — !а [А, В]— = —,.„(А — ВА). Это предположение подтверждается двумя обстоятельствами. Во-первых, рассмотрим классические условия контактного преобразования от одной системы канонических переменных ви р; к другой ф, Р,'7; Яи Р!) = бн, Я„!Ц = О, (Ри Рг) = О, (23.10) где скобки Пуассона вычисляются по отношению к первоначальным переменным бо рв.
В $ б мы видели, что для перехода от классической теории к квантовой нужно заменить р„дифференциальным оператором — И(а!ах) и т. д. Позтому, чтобы вычислить коммутатор х и рка нужно найти результат действия соответствующего оператора на произвольную функцию от координат у(г): (хр„— р„х)И(г) = — вйх — + гд — (х8) — гад(г). (23.11) В силу проиавольности у(г) для зтого и других коммутаторов можно написать операторные уравнения: д д хр — р х = — гй (х — — — х) = 18 8х дх д д хр — р х = — И (х — — —,— х~ ~=- О ху — ух=О, р„р, — р„р„=О и т. д. Этот результат соответствует классическим уравнениям (23.10), если совершить подстановку (23.9).
Во-вторых, алгебраические свойства коммутаторов и классических скобок Пуассона О Си. Унттекер 161, Корбен и Стель 17], гл. !1 — !3; Голдстеан 181, гл. 8. З 2З, Уравнения движения в матричной форме 159 оказываются одинаковыми. Именно, исходя из определения (23.7), ле~ко проверить, что (А, В) = — (В, А), (А, с) = О, где с — число, ((А, + Аа), В) = (А„В) + (А, В), (А,Ав, В) = (Аа В) Аа+ А, (А„В), (А, (в, с) ) + (в, (с, А) ) + (с, (А, в) ) = О. (23.12) Порядок множителей, которые могут не коммутировать, здесь нигде не изменялся. Как показал Дирак", из формул (23.!2) следует, что квантовый аналог скобки Пуассона дается правой частью (23.9); в рамках этих рассуждений постоянная й, разумеется, остается произвольной (см.
также задачу 11). В дальнейшем (гл, Х111) выяснится, что этот метод квантования полезен не только для классических частиц, но и для классических волновых полей. Применяя его, необходимо учитывать два обстоятельства. Во-первых, координаты и импульсы должны рассматриваться в декартовой системе координат. Во-вторых, при наличии неопределенности в отношении порядка следования некоммутирующих множителей обычно бывает целесообразно брать их симметризованное произведение. Оба зти обстоятельства иллюстрируются при помощи следующего примера.
Движение частицы в электромагнитном поле. В качестве примера применения изложенного выше метода квантования рассмотрим задачу о движении заряженной материальной точки в произвольном внешнем электромагнитном поле. Классическая функция Гамильтона, выраженная через канонические переменные г, р и '] См. работу !91, ! 21, в) Заметим, что, нан видно на вывода (12.7), дли любой пары наноничесних переменных дв< ° арв в В/2. Квантование классической системы.
Излох<енные соображения дают основание предположить, что для г<ерехода к квантовому описанию любой классической системы нужно сначала записать классическую функцию Гамильтона и уравнения движения в некоторой системе канонических пеРеменных йо Рб затем классические скобки Пуассона в (23.8) и (23.10) следует, в соответствии с (23.9), заменить квантовыми.
Тогда для канонйческих переменных будут выполняться квантовые условия" [<)„р,] = Ид,р [<)и й,] = О, [р,, р,] = О. (23.!3) 160 Гл, УД Матричная формулировка квантовой механики через потенциалы электромагнитного поля А (г, (), р (г, (), имеет вид" Н= — [р — — А) +ер," (23.14) где е — заряд частицы и с — скорость света; напряженности электрического и магнитного полей выражаются через потенциалы по формулам Е= — — — — дуайр, Н=го1А.
> дл (23.15) В декартовых координатах квантовые условия (23.13) имеют вид [х, Р„) = [У, Рн) = [г, Р,1 = Й, (23.16) тогда как другие пары координат и компонент импульса коммутируют. Пользуясь теперь формулами (23.2), (23.14) и (23.16), вычислим скорость и ускорение частицы е(г/((( и ((яг(>((я и сравним их с соответствующими классическими выражениями. Вычисление коммутаторов.
Для удобства вычисления некоторых коммутаторов, получающихся в результате подстановки отдельных выражений в (23.2), выведем некоторые элементарные формулы. Так как все компоненты вектора г коммутируют друг с другом, то коммутируют и две произвольные функции от г. Из (23.16) следует, что х'р„— р„х' = х(р,х+ (й) — р„х' = = (р„х+ (й)х+ (йх — р„х' = 2(йх.
Методом индукции нетрудно показать, что х'р„— р„х" = л(йх -'. (23.17) Из (23.17) следует, что для произвольной функции 1(г), допускающей представленйе в виде степенного ряда по х, у, г, имеет место соотношение" [) (г), р„) = 1(г) р„— р,~ (г) = (й - — [(г). (23.18) Представляя р, в виде †(й(д(дх), как это делалось в (23.11), можно убедиться в справедливости (23.18) и для функций более общего вида, необязательно представляемых в виде степенного ряда. Действуя левой частью (23,18) на произвольную функцию у(г), получаем И), Р.)б() = -(А~П)-,'„- — -'-~()~й() =й() [(й —,',И)1, '> См.
кингу Ван>Флека (10], стр, 7 и 20. В настоящей книге применяется гауссова система единиц. в> Как видно иа сравнения с (23.9), ато соответствует классической формуле (1(г), р„) =- д( (г)/дх. е 23, Уравнения движения в матричной форме 161 что в силу произвольности е(г) означает справедливость операторного тождества (23.18). Путем повторного применения (23.18) легко показать, что 1()ря Ря!() = (Р.
Эх + Эх-Ря) = 21йд Ря+ а Э вЂ” „, (23. ) Скорость и ускорение заряженной частицы. Пользуясь (23.18), можно теперь записать функцию Гамильтона (23.14) в виде Н = 2 — — 2„, (Р . А + А ' Р) + 2тсв А' + 6р = р' е !еа е' 2т те 2тс = — — — А р+ — г[1ч А+- А'+ ер. (23.20) 2тс' Принимая во внимание (23.2) и (23.20), легко показать, что производная по времени от компоненты вектора г равна — = — (Ря — —, А.), (23.21) что соответствует классическому соотношению между скоростью и каноническим импульсом частицы при наличии электромагнитного поля.
Путем непосредственного, но несколько утомительного вычисления можно найти компоненту вектора ускорения частицы йвх ! гйря е ИА„! 1 е ЭАх — — — — — — [р, Н[ — — — -" — —.[А, Н). й! т сл с йг !ат тс д! Ратс Результат имеет вид —; — „= — — (-,— -"+,—,) + е е ЭА„ дА„ дА„ ЭА +2пРс 1(ри с 'Аи) ( Эх д ) + ( Эх Э,1 ("!и с Аи)1 е е ЭА„дА„ЭА, ЭАе е —.я,вс 1(Рч — с 'в) (-Э вЂ”" — Эх")+ ( д' — .х) (Рг — с Ав)1 (2:1.22) Сила Лоренца. Уравнение (23.22) вместе с аналогичными уравнениями для у- и г-компонент можно записать в виде одного векторного уравнения для „силы": йвг Г 1 ЭА л! — = е( — — — — огай р)+ йсе= ( С ЭГ + 2 е 1а(Р с А) х(го1А) — (го1А)х,— „(Р е )]= = еЕ+ — —,( —, х Н вЂ” Н х — ).
(23.23) 11 Л. ШИФФ— 162 Гл. Чх. Матричная формулировка квантовой механики [Здесь были использованы равенства (23.15) и (23.21)]. Уравнение (23.23) соответствует классическому выражению для силы еЕ+ — (» х Н), где ч = с(г/Й есть скорость частицы, если только пользоваться симметричным выражением, т. е. брать полусумму двух членов ч х Н и — Н х ч. Эти члены одинаковы в классическом случае, но различны в квантовой механике, так как скорость ч, определяемая формулой (23.21), не коммутирует с Н. Уравнение (23.23) содержит, в частности, обобщение рассмотренной в 2 7 теоремы Эренфеста.
Если взять диагональный элемент (23.23), то выражение, стоящее слева, будет представлять собой произведение массы на вторую производную по времени от среднего значения радиус-вектора частицы. В то же время справа будет стоять среднее значение силы Лоренца, действующей на заряженную частицу. Таким образом, уравнение (23.23) показывает, что если волновой пакет локализован столь сильно, что можно пренебречь изменением электромагнитного поля на его протяжении, то он движется, как классическая частица. Конечно, этот результат можно получить и методом $7, если только в соответствии с (23.1) и (23.20) записать волновое уравнение Шредингера в виде Зч с В' в сев сео .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
