Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 37
Текст из файла (страница 37)
% Ь111а)гег Е. Т., Апа!упса! Супаш1сз, Зб еб., СашЬгЫйе, (.опйоп, 1927, (Имеется русский перевод: Е. У и т т е к е р, Аналитическая динамика, М., 1937.) 7. СогЬеп Н. С., 81е5!е Р., С1авз!са1 Месйап(сз, Хетч 1/огк, 1950. 8.
Со!6 зте(п Н., С!азз!са1Месйап1сз, СашЬг!бйе, 1950. (Имеется русский перевод: Р. Г о л д с т е й н, Классическая механика, М.— Л., 1957.) к р-представлению. Какой вид имеют в р-представлении решения, соответствующие волновым функциям (13,13) в х-представленинр 11. Пусть операторы А (х, р) н В (х, р) можно представить в виде степеннык рядов по х и р и (х, р) = !й. Йспользуя только матричные методы, показать, что 1пп — (А, В) = (А, В). 1 г о'" 176 Гл. У1, Матричном формулировка квантовой механики 9. О ! г а с Р.
А. М., ТЬе Рг!пс!р!ея о! г2пап1ит МесЬап!св, Зб ей., Ох1огб, Хетт тогй, 1947. (Имеется русский перевод 2-го издания: П. Д н р а к, Основы квантовой механики, М. — Л., 1937.) 1О. Ч а п Ч 1 е с 1г ). Н., ТЬе ТЬеогу о! Е!ес!Ис апй Майпейс Вивсер11Г91!1!ее, Ох1огд, Ыегв Уог!г, 1932. 11. Маг в Ь а Ь И. Е.„Мсвоп РЬув1св, Хевг хесей, 1952. 12.
С о и бои Е. Ио 8 Ь о г1!еу О. Н., ТЬе ТЬеогу о!А1откбрес1га, Ыегв тоги, 1935. !Имеется русский перевод: Е. Кандан, Г. Шар тли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949) 13. Р е е п Ь е г я Е., Р а Ь е О. Е., Ыогев оп1Ье анап!пгп ТЬеогу о! Апйи1аг Могпеп1пт, СатЬг!ййе, 1953. 14*. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.— Л., 1951. !5*. Га н ты а хе р Ф. Ф., Теория матриц, М,— Л,, 1953.
ГЛАВА Н11 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ д[гак в классическом, так и в квантовом случае уравнения движения можно решить точно лишь для относительно небольшого числа физически интересных систем. Поэтому приближенные методы должны играть важную роль практически во всех применениях теории. Это, однако, не только не уменьшает, но даже увеличивает значение задач, допускающих точное решение, поскольку, как указывалось в начале гл.
[Н и Н, точные решения зачастую могут быть полезны в качестве исходного пункта для приближенных вычислений. Кроме того, они могут помочь определить пределы применимости различных приближенных методов. В настоящей и следующей главах мы рассмотрим несколько приближенных методов и проиллюстрируем их на некоторых конкретных примерах. Удобно разделить эти методы на две группы в зависимости от того, имеем ли мы дело со стационарными состояниями, характеризуемыми собственными функциями оператора энергии, или же интересуемся задачами, в которых гамильтониан зависит от времени (гл.
НП1). Задачам первого типа посвящена настоящая глава, задачам второго типа — следующая. В обоих случаях мы будем исходить из волнового уравнения Шредингера, лишь в редких случаях пользуясь матричными методами или обозначениями. й 25. Стационарная теория возмущений Теория возмущений для стационарных состояний" ставит своей задачей определить, как меняются дискретные уровни энергии и собственные функции для систем, подверженных действию малого возмущения. С самого начала допускается, что гамильтониан Н в уравнении Шредингера можно эапйсать в виде суммы двух частей.
Одна из них„Н„имеет достаточно простой вид, так что соответствующее уравнение Шредингера может быть решено, тогда как другая часть Н' настолько мала, что ее можно рассматривать как возмущение к Н,. Для удобства сохраним наши старые обозначения, и„и Е„, для йормированных собственных функций и собственных значений невозмущенноео гамильтони- и См.
работу Шредингера [11. зг л. шифф— 178 Гл, 'к11. Приближенные методы решения стационарных задач ана Н„которые предполагаются известными. Возмущенные волновые функции стационарных состояний и уровни энергии будем обозначать через у и И'. Таким образом, Нвр = Ихвр, Н = Н, + Н', Н,и„= Е„и,. Невырожденный случай. Допущение о малости Н'наводит на мысль разложить возмущенные собственные функции и уровни энергии в ряд по степеням Н'. Удобнее всего это сделать, вводя некоторый параметр Л так, чтобы нулевая, первая и т. д. его степени соответствовали нулевому, первому и т.
д. порядку теории возмущений. Соответственно заменим Н' на ЛН' и представим вр и Ь' в виде разложений по степеням Л. Допустим, что получающиеся таким путем ряды сходятся для значений Л в интервале от нуля до единицы, хотя фактически вопрос об их аналитичности исследовался лишь для нескольких простейших задач". Тогда приближения различных порядков определяются коэффициентами при соответствующих степенях Л; в окончательных результатах параметр Л полагается равным единице. Представим возмущенные волновые функции и собственные значения в виде вр = у> + Лвр + Лавра + Лавр +..., (25.2) И> Иг + ЛИГ + ЛвИх + ЛвИГ Подставляя эти выражения в волновое уравнение, получим (Н + ЛН')(вр + Лвр, +...) =(Ихо+ ЛИ/,...)(вро+Лвр, +...). (25.3) Поскольку уравнение (25.3) предполагается справедливым при произвольных значениях Л, можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях Л.
Таким образом, получается система уравнений, последовательно характеризующих возмущения все более высокого порядка: Но'ро И оу>о~ Новрх + Н вро = )тавр> + И веро (25.4) Нохрв + Н'у>х —— И'очрв + И хврх + И евро и т. д. Первое из уравнений (25.4), как и следовало о>кидать, означает, что вро совпадает с одной из невозмущенных собственных функций.
Поэтому положим ро = им~ И'о = Ет. (25.5) Состояние, характеризуемое функцией и, предполагается не- вырожденным (хотя другие невозмущенные состояния могут быть и вырождены). Случай вырождения будет рассмотрен ниже. х> Дискуссию по этому вопросу см, в работе Арлен н Борхсеннуса йй (особенно ч. Пр), з" 25. Сгоационарная теория возмущений 179 Первый порядок теории возмущений. В излагаемом расчете неявно предполагается, что функция и принадлежит дискретному спектру, хотя часть невозмущенных собственных функций и может соответствовать и непрерывным значениям энергии.
В противном случае вычисление возмущенного значения энергии не представляло бы интереса. В следующем параграфе в связи с задачей о столкновениях будет рассмотрено возмущение собственных функций непрерывного спектра. Разложим ых по функциям и„: (25.б) где Я означает одновременно суммирование по дискретному спектру и интегрирование по непрерывному спектру. Подставляя (25.8) во второе из уравнений (25.4), получаем Заменим в первом члене Нона на Е и„умножим уравнение на и, и проинтегрируем по всему пространству, принимая во внимание ортонормированность функций и".
При этом получим а<1! (Š— Е») + (т'»6» = '( й»Н'и йе = Н» . (25.7) Интеграл в правой части является (к, и)-м матричным элементом оператора возмущения Н' в представлении, в котором невоэмущенный оператор Н, диагонален [см. (22.5)). Полагая в (25.7) й = и, находим йгх = Н', (25.8) что совпадает со средним значением Н' в состоянии пь При и че'-. т из уравнения (25.7) следует; (25.9) Таким образом, решение с точностью до первого порядка относительно Н' найдено. Неопределенным остается лишь коэффициент а<т!, который будет вычислен ниже из условия нормировки волновой функции у» Второй порядок теории возмущений. Для нахождения членов второго порядка относительно Н' воспользуемся третьим из уравнений (25.4).
Подставляя в него выражение (25.10) О Если хотя бы один из индексов» и я дискретен, то интеграл ) и»иайт Равен 6»„; если же оба индекса принадлежат непрерывному спектру, то интегРал Равен 6(к — и); в обоих слУчаЯх 8 ~„! и»иойт=!» (см. а !0). 12' — ти— 180 Гл. У11, Приближенные методы решения стационарных задач получаем Заменяя, как и прежде, в первом члене Ноп„ на Е„пои умножая на и, и интегрируя по всему пространству, находим а") (Ет — Е„) = Я ап) Н»а — *йГ,а»)) — 1т',д» . (25.! 1) Если теперь положить 1е = л), то с учетом (25.8) будем иметь И', = Я' ~и)Н „= Я'- т" "„, =Я'и и, (25.12) где штрих у 3 означает, что при суммировании и интегрировании по и член с л = т следует опустить.
Аналогично при )е =,Ф и) получим из (25.11) и) и) ц Н»аНит Н» оНтт + ат Н»т (25 (н — и») (н~ — н„) (н — н»)е Таким образом, мы нашли решение с точностью до членов второго порядка малости (коэффициент а"), как и аЯ, остается еще неопределенным). Нормировка функции 1р. Поскольку функция ро принята равной и, то с точностью до нулевого порядка р уже нормирована. Полагая теперь нормировочный интеграл ! ЯМт равным единице в любом порядке теории возмущений и принимая во внимание (25.2), получаем ,! (еро)е) + Гроерх) й» = О в первом приближении.
3 (еротг»+ ч)ори+ ~ р, ~») Ит = О во втором приближении. Отсюда сразу следует; аЯ) + а") = О, аф) + аЯ) + 3! аД) !» = О. Эти соотношения определяют лишь вещественные части ап) и а$), мнимые же части остаются неопределенными. Выбор мнимых частей а3 и а<») эквивалентен выбору фазы волновой функции ер в соответствующих порядкахтеории возмущений; зто в свою очередь влияет на фазы членов следующих порядков. Не нарушая общности, можно просто положить зги мнимые части равными нулю. Тогда ап) = О, ам) ~)ап))» 5 25, Сп~ационарная теория еоамуиеениа 131 Следует заметить, что возмущенные уровни энергии не зависят от выбора фаз'>. Таким образом, энергия и волновая функция с точностью до членов второго порядка по Н' определяются формулами (мы полагаем теперь А = 1) Че = Е + Н' -)- Я„' иа (Г Нанна 'Р =" + ~ад и„+ Ва] ~йо(п и ) (и ) — (25.14) Из формул (25.8) и (25.12) следует, что вычисление энергии иl с точностью до данного порядка малости относительно Н' требует знания волновой функции ш только с точностью до ближайшего более низкого порядка, Применение теории возмущений к гармоническому осциллятору.
В качестве простейшего примера применения теории возмущений в невырожденном случае рассмотрим с точностью до второго порядка возмущение т-го уровня энергии линейного гармонического осцнллятора (см. з 13) при добавлении потенциальной энергии Н' = = Ьх'/2, Невозмущенный гамильтониан имеет вид Н, = р'/2М+ + Кх'/2 (масса обозначена буквой уа, чтобы не смешивать ее с квантовым числом т); невозмущенным собственным функциям и (х), определяемымформулой(13.13), соответствуютсобственные значения Е,„= (и + '/а)я(К/р) и, где т = О, 1, 2... Этот пример, очевидно, тривиален, так как возмущенные собственные функции и собственные значения получаются просто путем замены К на К+ Ь в и (х) и Е; тем не менее он поучителен.
Нам нужно найти матричные элементы х', вычисленные с различными парами волновых функций гармонического осциллятора. Как и в задаче 3 гл. 1Ч, их можно вычислить с помощью производящей функции для полиномов Эрмита (13.10), или, еще проще, путем перемножения матриц по формуле (21.3) [матричные элементы х„„даются равенствами (13.18)]. Таким образом, мы получаем ~ (2„а)- ((ш+1)(т+2)]и, в = и+2, (2аа) т (тл (ш — 1)] и, О в остальных случаях (25.15) где и = (уаК/йа)и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
