Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Таким образом, если по аналогии с (22.5) ввести матрицу оператора ~, то мы получим матрицу (24.14) с целымн 1' (с точностью, может быть, до изменения нескольких знаков, которые все равно произвольны). Равным образом по аналогии с (22.7) и (22.8) можно показать, что функция У, (О, ео) играет роль унитарной матрицы, осуществляющей преобразование от представления, в котором строки и столбцы нумеруются угловыми переменными О, у, к другому представлению, в котором они нумеруются квантовыми числами 1, пь С первым представлением мы, не оговаривая этого явно, имели дело в й 14; матрица С прн этом является результатом действия оператора (24.16) на соответствующим образом нормированную д-функцию от углов. Во втором представлении, исследованном в настоящем параграфе, матрица 1.
определяется (с точностью до некоторых знаков) формулой (24.14). Спиновый момент количества движения. Из результатов, полученных в настоящем параграфе и в $14, следует, что если все представления с целыми / объединить в единое представление бесконечного ранга, то компоненты М с помощью (24.1) можно выразить через матрицы г и р, подчиняющиеся правилам перестановки (23.16). Для матриц с полуцелыми значениями 1' это уже неверно, так как, хотя онн и удовлетворяют соотношениям(24.2), более жесткие условия (24.1) н (23.16) для них не выполняют- 17З Гл.
У1. Матриннал формулировка квантовой меканики ся. Таким образом, поскольку фактически орбитальный момент выражается через координаты и импульсы, собственные значения матриц, соответствующих его компонентам (для частицы или системы частиц), должны быть целыми кратными Д. Ничто, однако, не мешает частице иметь внутренний момент количества движения, описываемыйформулами(24.2), но не допускающий представления через координаты и импульс частицы (24.1).
Собственные значения компонент вектора внутреннего момента количества движения могут быть целыми или полуцелыми числами. Более того, оператор М' может иметь только одно собственное значение, соответствующее одному определенному числу 1'. Действительно, М', во-первых, коммутирует со всеми тремя компонентами М и, во-вторых, ничто не мешает ему коммутировать и с г и р 1равенство (24.1) в этом случае не имеет места!. Иначе говоря, оператор М' может коммутировать со всеми динамическими переменными, характеризующими частицу, и, следовательно, при всех обстоятельствах может быть интегралом движения.
Поэтому его можно приравнять определенному числу /(1+1)ла. Для орбитального момента количества движения это невозможно, так как в этом случае оператор М' не коммутирует с г и р и потому не всегда описывает интеграл движения. Описанный выше внутренний момент количества движения называется спиновым.
Из опыта найдено, что электроны, протоны, нейтроны и, по-видимому, р-мезоны имеют спиновый момент количества движениЯ с 1= '/а; матРицы М пРи этом даютсЯ формулами (24Л5); что касается и-мезонов, то их спиновый момент количества движения 1'= О". Сложение моментов количества движения. Иногда представляет интерес рассмотрение векторной суммы М = М,+М, двух коммутирующих друг с другом моментов количества движения М, и М, [все компоненты М, коммутируют со всеми компонентами М„ и для каждого из операторов М, и Мн в отдельности выполняются правила перестановки (24.2)). Эти операторы могут относиться к независимым частицам или же могут обозначать спиновый и орбитальный моменты одной и той же частицы. Как указывалось в начале настоящего параграфа, оператор М подчиняется тем же правилам перестановки (24.2), что и М, и Ма Рассмотренные ранее результаты позволяют легко найти представление, в котором матрицы М'„М,',, М и М„диагональны.
Строки и столбцы для него будут обозначаться индексами 1ь 1„>л, и т„при этом матрицы М, будут иметь вид (24.15) относительно индексов 1'„и гп„ и 6УдУт единичными по отношению к индексам 1а и иа. '> Обсуждение свойств к- и и-меаоноа см. н книге Маршака [П1, гл. 4, 6. Е" л4. Момент количества движения 173 Можно найти второе представление, в котором диагональны матрицы М'„М,', Ме и М„а строки и столбцы нумеруются индексами 1„)м ! и и (причем собственными значениями М' и М, будут 1(1+1)й' и лзл1. Если числа /з и 1з фиксиРованы, то Ранг матРиц первого представления равен (2!1 + ! ) (212 + 1), а соответствующие собственные функции представляют собой произведения собственных функций М.
и М,„подобно тому, как представление (22.6), в котором диагонален гамильтониан, характеризуется собственными функциями и, оператора Н. Тот >ке Ранг (пРи данных /з и !',) должны иметь и матРицы втоРого представления. Действйтельно, собственные функции операторов М, и М„характеризующие это представление, являются линейными комбинациями первоначальных собственных функций. Определим теперь ! и лт, фигурирующие во втором представлении. Собственные значения (М, + М,)'. Поскольку М.
= М„+ Мои то ясно, что возможные собственные значения и равны тз+пз,. Поэтому наибольшим значением и будет 1з+!'„что возможно лишь пРи т, = 1, и те = 1з Отсюда следУет, что наибольшее значение 1' есть 1,+!во пРичем имеетсЯ только одно состоЯние с таким 11 Следующее по величине значение и равно 1>+1',— 1; оно встРечаетсЯ дважды: пРи лзз =- !'„и взе = 1',— 1 и пРи взз = /з — 1 и зле = 1, (пРедполагаетсЯ, что ни )„ни 1, не Равны нУлю). Из функций, характеризующих эти два состояния можно составить две линейно независимые комбинации, одна из которых описывает новое состояние с 1' = 1,+1>и Действительно, именно при таком !'числа лз должны отличаться друг от друга на единицу и принимать значения от — /,— /е до /з+1е.
Другая линейная комбинация не может соответствовать данному или большему значению !', так как при этом могли бы быть более высокие значения и, которые в действительности отсутствуют. Следовательно, вторая линейная комбинация описывает состояние с 1= 1>+)з — 1. Продолжая эти рассуждения, находим, что все отличающиеся друг от друга на единицУзначениЯ У в пРеделах от 1>+ Уе до (У,— )з( встРечаютсЯ лишь по одному разу, и для каждого 1 имеется 21+1 линейно независимых комбинаций первоначальных собственных функций.
Поэтому ранг матриц второго представления равен (2!' + 1) = (2!з + 1) (2!з + 1), з = !з -з ! как и следовало ожидать. 174 Гл. Р1. Матричная формулировка квантовой механики Полученный результат совпадает с правилом сложения моментов количества движения в старой квантовой теории: длина вектора, равного сумме двух векторов момента количества движения, может скачками изменяться на единицу, уменьшаясь при атом от суммы длин двух векторов (когда они параллельны) до разности зтих длин (когда векторы антипараллельны). С помощью матричных методов можно найти унитарную матрицу, осуществляющую преобразование от представления ты и, к представлению у, гл при фиксированных у, и уа.
Поскольку явное ее выражение имеет довольно сложный вид, оно здесь не приводится". ЗАДАЧИ 1. Принимая без доказательства, что произвольную эрмнтову матрицу можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования, показать, что равенство нулю коммутатора двух эрмнтовых матриц составляет необходимое н достаточное условие возможности привести нх к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразонанием.
2. Показать, что несингулярная матрица конечного ранга должна быть квадратной. 3. Даны две матрицы А и В, удовлетворяющие соотношениям А'=О, ААв+ АвА=1, В=АвА, где С вЂ” нулевая и 1 — единичная матрицы. Показать, что В' = В. Предполагая, что матрица В невырождена, найти А и В в представлении, в котором матрица В диагональна. Можно ли в каком-либо представлении привести к диагональному виду матрицу А г 4.
Даны три матрицы А, В н С, удовлетворяющие соотношениям А' = В' = С' = 1, АВ + ВА = — ВС + СВ = СА + АС = О, где ! — единичная н С',— нулевая матрицы. Предполагая, что матрица А невырождена, найти все трн матрицы в представлении, в котором она диагональна. б. Даны три матрацы А, В и С, для которых справедливы соотношения Аз=В'=С'=1, ВС вЂ” СВ=1А, где 1 — единичная матрица. Показать, что АВ + ВА = АС+ СА =(~~, где С! — нулевая матрица. Считая матрицу А невырождениой, найти все три матрицы в представлении, в котором она диагональна.
6. Считая известным выражение (!3.18) для матричных элементов х в представлении, характеризуемом волновыми функциями гармонического '> См, книгу Кондона н Шортли 1!21, гл. 13, э 14; в гл. 3 втой книги рассматриваются также другие интересные свойства момента количества движения; см также работу Финберга и Пэйка [!31. Литлература 175 осциллятора, найти с помощью только матричных методов аналогичную матрицу для х'. Результат сравнить с решением задачи 3 гл. 1Ч. 7. Применяя только матричные методы, показатгь что если для гармонического осциллятора хп„, М О, то Еп — Ет = +й(К/и)чь (Принять во внимание, что для гармонического осцнллятора Н = рз/2р -(- Кхз/2, хр — рх =- !Та) 8.
Применяя только матричные методы, показать, что если Н = р'/2р -!- -~- У [г), то й' ,~~(Еп Е,„)!хпт)з = —, 2р' где суммирование производится по всем состояниям, а х есть компонента вектора г в декартовой системе координат, 9. Пусть гамильтоннан одномерного движения имеет вид Н = р'/2р+ + у(х), где функцию У(х) можно представить в виде степенного ряда по х. Применяя только матричные методы, показать, что при этом ах р а'! р ' йр й(г а! йх Какой смысл имеет здесь оператор а/а!7 19. Преобразовать гамильтониан гармонического осциллятора от х.представления, где он имеет вид йз аз 1 Н = — — — + — Кх', 2р йхз 2 !2, Проверить равенство (24,17), действуя на сферические функции опе.
ратором 1. (24.16). ЛИТЕРАТУРА 1. Не(зепЬегй Мг., Ез. !. РЬуз., 33, 879 (1925). 2. Вогп М., Не!зепЬегй %., .)огбап Р., Ул. 1. РЬуз., 35, 557 (! 925). 3. 8сЬ год!пйег Е., Апп. 6. РЬув., 79, 734 (1926). 4. Ес1гагт С., РЬуз. Иетп 28, 711 (1926). 5. Х е и гп а п п .)., Ма!Ьеша!1зсйе Сгипд!айеп г!ег ()паптепшеспапйг, Вег!!п, !932. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
