Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Подставляя эти элементы в первую из формул ч Си, также работу Эпштейна [31. 182 Гл. У11. Г1рийлиженные методы решения стационарных ладан (25.14), находим следующее выражение для энергии с точностью до членов второго порядка малости: ( + 2) О 1 + 2К 8Кп1' полученный результат совпадает с разложением (и+'/,)й((К+ + Ь)/р) и в ряд по степеням Ь, если ограничиться там только членами второго порядка. Вырожденный случай. Покажем теперь, что если невозмущенное состояние т вырождено, то наше рассмотрение недостаточно. Предположим сначала, что в данной группе вырожденных состояний имеется состояние /О ортогональное к состоянию т(Е, = Е, ) и„и йт = О).
Тогда в силу (25.7) Н'„= О, и, следовательно, найденные выше формулы первого порядка применимы лишь в том случае, если матричный элемент Н'и действительно равен нулю. В этом случае говорят, что состояния )е и ш не связываются матрицей Н'. Пусть теперь Нн = 0 и, кроме того, Нен = Н' Тогда в силу (25.11) Я а(1) Н Я НйпНпт О пмхт п'.Йт йт Еп В этом случае в первом приближении состояния 1е и гл остаются вырожденными, так как возмущенные энергии обоих состояний (Е, + Нйн и Е + Н' ) оказываются одинаковыми.
Соответственно полученные выше формулы второго приближения сохраняют смысл лишь в том случае, если хотя бы один из матричныхэлементов Нхп или Н„'равен нулю при всех и. (В этом случае говорят, что не существует промежуточных сосгояний л, связывающих Ф и ш друг с другом.) Резюмируя, можно сказать, что развитая выше методика оказывается непригодной уже в первом приближении, если в нулевом приближении невозмущенное состояние вырождено и матрица возмущения Н' связывает вырожденные состояния.
Аналогично формулы второго приближения оказываются непригодными, если в первом приближении невозмущенное состояние вырождено и матрица возмущения связывает вырожденные состояния (через одно или несколько промежуточных). Снятие вырождения в первом приближении. Допустим, что в некотором приближении возмущение снимает вырождение, имевшееся у невозмущенного состояния т. Это значит, что гамильтониан Н = Н, + 2Н' имеет по крайней мере две точные собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям при 2 ~ 0 и одинаковым — при 2 = О.
Раньше мы предположили, что при 2 — 0 собственные функции непрерывно и аналитически зависят е" в5. Стационарная теория возмущенна от Л; таким образом, каждая из собственных функций, невырожденных при 1 ФО, йри я = О переходит в определенную линейную комбинацию вырожденных невозмущенных собственных функций. Если эти линейные комбинации отличаются от тех невозмущенных собственных функций, для которых производились вычисления, то разложения (25.2) при 7 = О не будут иметь места и развитый выше метод окажется непригодным. Из сказанного ясно, что теорию возмущений можно будет применять и для вырожденных возмущенных состояний, если только предварительно провести точную диагонализацию части матрицы возмущения Н„'„охватывающей столько состояний, сколько необходимо для снятия вырождения.
Зго эквивалентно нахождению таких линейных комбинаций невозмущенных собственных функций, которые при увеличении 1 от нуля до заданного значения непрерывно переходят в точные возмущенные собственные функции. Пусть, например, в невозмущенной задаче имеется два вырожденных состояния, 1 и и, и Н»т = Н; ~е.О. В этом случае для снятия вырождения (в первом приближении) нужно диагонализовать только матрицу второго ранга ~Н' Н' »1 (25.16) „,1, при этом будет найдена правильная линейная комбинация функций и и ид, которую можно было бы использовать для нахождения приближений более высокого порядка. Ниже будет приведен пример подобного случая. Снятие вырождения во втором приближении.
Может случиться, однако, что Н» = О и Н„'» = Н, так что в первом приближении вырождение не снимается. В этом случае непосредственная, хотя и излишне сложная процедура решения состояла бы в диагонализации той части матрицы энергии, строки и столбцы которой нумеруются всеми индексами п, соответствующими отличным от нуля матричным элементам Н' „или Н»„. Строки и столбцы этой матрицы можно переставлять друг с другом так, что любые из них можно сделать соседними. Если, например, имеется два подобных индекса и и 1, то для снятия вырождения во втором приближении нужно.
было бы диагонализовать матрицу ~Ет+ Н' О О Нти Нт» . (25.17) Н;, Е +Нй! Ет+ Нтт Н»„ Н„'» Е„+ Н„'„ Н;„ Н;„ Нит Н»т Менее непосредственный, но аналитически более простой прием состоит в разложении точных собственных функций в ряд по степе- 184 Гл. >ГН, Приближенные методы решения оглационарных задач ням Л, как это делалось в соотношениях (25.2), (25.8) и (25.10)г>. Однако вследствие вырождения в член нулевого порядка теперь , следует включить как иии так и ия: чР = а,„и„-1- ахи + Я' (Ла<<г> + Лка<<е>) и„ чр, = Ь и -1- Ь„и, + Я' (ЛЬ<"> + ЛкЬ<<е>) ии чр = и„-1- Я (Ла<',> -1- Лиа<',>) иь и + т, >< <фи (штрих у Я означает, что ! ~'= т, ><).
Подставляя первое из этих выражений в волновое уравнение (Н, + ЛН') <р =- И' гр, где Иг„= Е + ЛИ«<>+ ЛеИ«Я>, с точностью до членов второго порядка малости получаем Ла Н'и„+ Ла Н' ия + Я' (Ла<" Е,и, + Л'аоо Е,и, + Леа<<<> Н'и,) = = (ЛИ«>> + Л'Иг<'>) (ажи + а„и ) + + Я' (Ла<'> Е и, + Леаон Е„и, + Леа><>И«>>и<). (25,18) Умножая (25.18) слева на и и интегрируя, находим (принимая во внимание, что Н;„= О) Ла Н' „, + Я' Л'а<'> Н', = ЛИ<Я>а + ЛяИ<<е>а„. (25.19) Равным образом уравнение (25.18) можно умножить на 'и'„и на и„(пФ т, ><); интегрируя, получим в каждом из этих случаев ЛаяНйя + 8' Л'а<<'> Ня< = ЛИ<<г>ая + ЛеИ'<е>а„, (25.20) = Ла<»Е + Л'а<„'>Е + Ляа<е>Иг<».
(25,21) Члены первого порядка малости (25.19) и (25.20) дают результат, которого и следовало ожидать: Игш = Н„;ж = Н'„„. <1> Члены второго порядка дают Я' а«'> Н,'и = И«е>аии Я' а<<г> Нк> = И/<е> а„. (25.22) Из членов первого порядка в (25.21) получаем выражение для а9' (1 = пФт, ><): аР> (Еш — Е,) = а,„Н,',„+ а, Н;,. (25.23) '> См. книгу Ван-Фаика 141, 1 4. р в5. Стационарная теория возмущений 185 Подстановка (25.23) в (25.22) приводит к системе двух однородных алгебраических уравнений для а и ая.
Последняя имеет не равные нулю решения в том и только в том случае, когда детерминант из коэффициентов при и и аа равен нулю (см. замечания к уравнению (21.19)): , н',н(я Š— Е, , иа,н, 'со Š— Е1 т , и',н,' но Š— Е1 О. (25.24) ц, ньнм Е, — Я~ В данном случае вековое уравнение (25.24) будет второго порядка, тогда как из (25.17) получается аналогичное уравнение четвертого порядка.
Очевидно, изложенный прием всегда дает уравнение более низкого порядка, чем то, которое получается при точной диагонализации. Начав с уравнения для функции т, а не р, мы также пришли бы к вековому уравнению (25.24). Два корня (25.24) представляют собой возмущенные энергии И~Я> и 1т"1е>, а две пары решений— коэффициенты а, а, и о„, Ьн, Таким образом, во втором приближении теории возмущений вырождение снимается; кроме того, мы находим правильные линейные комбинации невозмущенных вырожденных функций ит и иа. Эффект Штарка первого порядка в атоме водорода.
В качестве примера рассмотрим с точностью до величин первого порядка малости изменение уровней энергии атома водорода во внешнем электрическом поле напряженностью К (так называемый эффект Штарка). Будем считать, что поле направлено в положительном направлении оси г. Невозмущенный оператор энергии для атома водорода, согласно (16.5) и (22.2), равен ав е' Н эр е' где полярная ось направлена по оси г. Из результатов $ 14 следует, что в случае произвольной сферически симметричной потенциальной энергии волновые функции з сферических координатах являются четными при четном азимутальном квантовом числе (и нечетными — при нечетном!. Оператор возмущения (25.25) является нечетным, так как он меняет знак при отражении относительно начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
