Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 27
Текст из файла (страница 27)
18. Схематические графики, характеризующие изменение радиальной волновой функции,'1((йг), найденной в отсутствие внешних сил, под действием положительного отталкивающего потенциала (а) и отрицательного притягивающего потенциала (6). Радиус действия потенциала в обоих случаях равен о. Функция Лг (г) произвольно проведена так, чтобы прв Г С Она ВЕЛа СЕбЯ ПОДОбна)г (атк Е СЛУЧаЕ О Оиа ПОД- иимается быстрее. имеет большую амплитуду в запаздывает пофатепосравнеинюсфуикцией)г(агнт, е,.выталкивается" наружу).
Е случае б функции аз (г) иачинаетраиьше отклоняться вниз и, следовательно, имеет меньшую амплитуду ио сравнению с) ~ (Ь ) н опережает ее по фазе (т. е. „втигиваетси" внутрь). Амплитуда не имеет непосредственного физического значения, тогда как 4юэы определяют характер рассеяния. Расстояние между соседними узлами функций Лг н)( ие совпадает со сдвигом 4мз, деленным иа Ь (иак это показано ив графиках), пока фуикция1г не совершат нескольких колебаний н не примет аснмнтэтяческвй внд. столько мало, а притягивающий п величине настолько велик, что до будет чие фазы будут пренебрежимо малы. рассеяния ((()) равна нулю для всех 0 тельной.
Это означает, что в случае преобладания сил притяжения радиальная волновая функция „втягивается внутрь". Высказанные утверждения остаются в силе и тогда, когда число! не велико по сравнению с )(а, а фаза ()( не слишком мала. В этом можно убе- Я,тр) диться, сравнивая графики функций 1(()(г) и )г((г), произвольно подогнанные так, чтобь( о обе функции одинаково а вели себя вблизи точки г=О. На фиг. 18, а (Т>О, б(ма дается схематическое сравнение для положи(х тельного, а на фиг.
18, б для отрицательного (г. з ур„рассеяние сферически симмелгричмым нолем ' 1З1 В. этом состоит объяснение" эффекта Ралезаузра — Таунсенда", заключающегося в появлении чрезвычайно глубокого минимума эффективного сечения рассеяния электронов на атомах. инертного газа при энергии бомбардирующих частиц около 0,7 эв. Атом инертного газа, электронные оболочки которого полностью заполнены, относительно мал, и результирующее действие атомных электронов и ядра на рассеиваемый электрон велико и проявляется в резко ограниченной области пространства.
Поэтому можно ожидать ситуации типа изображенной на фиг. 19. Ф и г. 19. Схематическая кривая, характеризующая влияние атомного потенциала инертного газа с „радиусом" а на парциальяую волну прн [ = О в случае минимального эффективного сечения рассеяния [эффект Рамзауэра — Таунсенда). Ках и иа Эвг. 1З, яствввая волвовая фувхцвя я валвовая Еувхцвя свебодвпго движения вблизи точки г - О ведут себя одинаково. ио первая яз ввх „втягивается ввутрь ', сдвигаясь пе фазе ва Гзак В деаствятельмпсти велвчпва аа будет песнольво меньше, чем похазаяо яа фигуре. Здесь, в области действия атомного потенциала, фаза парциальной волны с 1 = 0 сдвигается как раз на половину периода по сравнению со случаем свободной частицы, и в то же время длина волны электрона настолько велика по сравнению с а, что фазами для ббльших значений 1 можно пренебречь.
Ясно, что минимальное значение эффективного сечения рассеяния будет наблюдаться лишь при некоторой определенной энергии рассеиваемых частиц. Действительно, при малой энергии поведение волновой функции в области действия потенциала почти не зависит от энергии, в то время как фаза волновой функции свободных частиц сильно зависит от энергии. С физической точки зрения эффект Рамзауэра — Таунсенда можно представить себе как результат диффракции электронов на атомах инертного газа, причем искажение волновой функции М Это объяснение было предложено Н.
Бором н количественно подтвер. ждено Факсеном и Хольцмарком [З). в> Обзор опытных, результатов содержится в статье Коллата [4[. 9' — 4 132 Гя. 'ч'. Ненрериение еойетеенные значения. Теория ееяоянноеениа внутри атома таково, что она непрерывно переходит в неискаженную функцию вне атома. Этот эффект аналогичен рассмотренному выше случаю полной прозрачности одномерного барьера при определенных энергиях (см. дискуссию в связи с (17.5)]. Однако, в противоположность одномерному случаю, эффект Рамзауэра — Таунсенда не может наблюдаться, если преобладают силы отталкивания. Действительно, для того чтобы фаза до составила — 180', величина )еа должн» быть по крайней мере близка к единице, а тогда будут заметны и фазы, соответствующие более высоким значениям 1.
рассеяние идеально твердой сферой. В качестве первого примера применения метода парциальных волн рассмотрим рассеяние частиц идеально твердой сферой, когда Ч(г) = +о при г < а, и г(г) = 0 при г > а. При г':. а решение радиального уравнения будет иметь вид (19.7). Граничное условие п(а, 0) = О, полученное в $8, эквивалентно требованию, чтобы при г = а все радиальные функции обращались в нуль. Таким образом, фазы можно найти, либо приравнивая нулю все функции )7,(а), определяемые по (19.7), либо полагая в (19.15) Т1- ю: (б б, = "("') .
(19.20) и~(йа) ' Вычисления особенно просты в предельном случае низких энергий, когда йа = 2яа/я ~ 1. В этом случае, подставляя (15.7) в (19.20), получаем следующую приближенную формулу для фаз: (да)зсчг (21+1)[1 ° 3 ° 3... (21 — 1))ч ' Таким образом, в соответствии с (19.19) фазы д, очень быстро убывают с ростом!. При )е 0 все фазы стремятся к нулю, но вклад в сечение от парциальной волны с 1 = 0 остается конечным вследствие наличия в (19.12) и (19.13) множителя 1/)ез.
Итак, мы получаем а(6) а', а че 4оеаз. (19.22) Рассеяние является сферически симметричным, и полное эффективное сечение в 4 раза превышает классическое значение. В предельном случае высоких энергий ()еа ~ 1) можно ожидать классических результатов. Действительно, в этом случае можно образовать волновые пакеты, малые по сравнению с размерами области рассеяния, а они могут двигаться по классическим траекториям, не расплываясь заметным образом. Это соответствует представлению о лучах в волновой теории света или звука. Расчет сечения здесь довольно затруднителен: мы только наметим метод вычисления главного члена в полном сечении.
Подстанов- Гу. Рассеяние сферически симметричным вилем 133 ка (19.20) в (19,13) дает 4и ' [гс+ ОВ[м» '= «Дл~иГС вЂ” 'ч(ьо Воспользуемся асимптотическими разложениями функций Бесселя, справедливыми для больших значений агрумента" в том случае, когда порядок функции либо меньше аргумента, либо совпадает с ним, либо, наконец, больше его, Вычисление показывает, что основной вклад в (19.23) обусловлен слагаемыми с [ -.- (/са) — С (/са)ч, где С вЂ” число порядка единицы; главный член равен ([са)в[2. Две другие части, соответствующие (/са) — С([са)'ь ( [ <' ([са) + С(/са)ч и [ > ([са) + С([са)*с, дают вклад порядка (/са)'ь, и в предельном случае больших энергий ими можно пренебречь. Таким образом, и 2иаа, (19.24) что вдвое превышает классическое значение.
Причина на первый взгляд неправильного результата (19.24) состоит в том, что при выборе асимптотического выражения волновой функции (18.10) акты рассеяния в классическом предельном случае считаются дважды: первый раз — в действительном рассеянии (которое, как ив классической задаче, оказывается сферически симметричным) и второй раз — в теневой области, возникающей за рассеивающей сферой по направлению движения [эта тень обусловлена интерференцией между падающей плоской волной е'"' и рассеянной волной [(6)еса«/г; см.
также дискуссию в связи с (19.14)]. Однако при конечных значениях [са около сферы действительно происходит диффракция, и полное измеряемое эффективное сечение приблизительно равно 2гсаа (если только измерение захватывает резкий максимум в направлении движения первичного пучка). Рассеяние прямоутольиой потенциальной ямой. В качестве второго примера применения метода парциальных волн мы рассмотрим несколько более сложную задачу о рассеянии сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямой, изображенной на фиг.
13 (9 15). По аналогии с (15,1) в области при г < а волновую функцию, конечную при г = О, можно представить в виде Кс(г) = Вс[с(«г), и = ~ г [ + '1] *. ' (19.25) Таким образом, фазы определяются формулой (19.15), где при г = а логарифмическая производная от [-й парциальной волны '! Си. книгу Ватсона [!1, гт 3. 134 Гл. (Г. Ненрермвнме сопственнме значения. Теория столкновений равна я/; (аа) (19.2б) й (е") В предельном случае низких энергий (ка ~ 1) подстановка (15.7) в (19.15) приводит к следующим значениям для первых двух фаз уо"и (ай, (19.27) При й- О оба эти значения стремятся к нулю, за исключением случая уса = — 1 или у,а = — 2. Однако, как и в случае твердой сферы, йарциальная волна с ! = О вносит конечный вклад в сечение рассеяния, так как в (19.12) и (19.13) имеется множитель 1/йз.
В силу (19.26) у,д = па с1д па — 1, и, следовательно, и= 4гхаз(1 — ~" ) . (19.28) Рассеяние является сферически симметричным. Полученный здесь и в задаче о рассеянии на твердой сфере вывод о том, что при рассеянии частиц малой энергии сечение рассеяния по существу не зависит ни от энергии, ни от угла наблюдения, почти всегда справедлив для любого потенциала с конечным радиусом действия. Исключения, отмечавшиеся в связи с (19.27), могут возникнуть, если какое-либо из отношений у, таково, что знаменатель в выражении для 1ач)1 очень мал.
В таких случаях говорят о резонансе для (-й парциальной волны. Обычно она при этом играет главную роль в рассеянии. Резонансное рассеяние. Чтобы найти приближенное выражение для эффективного сечения резонансного рассеяния, заметим, что если и достаточно близко к яп = (2)х('е)йз)ч*, то у, зависит от а линейно. При увеличении я внутренняя часть волновой функции быстрее достигает максимума, вследствие чего логарифмическая производная при г = а уменьшается. При малых й йэ (~"О+ ) е+ 2аэ ' так что, ограничиваясь низшими степенями й, можно написать уга чэ ура — (и (lга)з, где у~ есть значение у, при и = я„а (г,— положительное число порядка единицы".
Подставляя зто в (19.27) и затем в (19.12), нахо- '1 Можно показать, что прн нулевой энергии пздзияпнх честим 1-я пзрпизльнзя волна нзходнтся точно в резонансе, если у)а= — (1+ 1); в этом случае Ь~ =- х/, для всех 1. (См. прнмечянне 1 из стр. 101.) !У. Рассеяние сферичеспи симметричнмм полем 135 дим главный член в сечении рассеяния для случаев резонанса парциальных волн с ! = 0 или 1: а' (а) !С ! «ааа)а ь <( )а ! = 0 (19,29) Оаа сова В 1«а)в а,«ааа)а + («а)в а ! = 1. (!9.30) Мы положили здесь Го = у,'а+ 1 и ь, = у,"а+2; при резонансе абсолютные величины ~Ц и )Ц малы по сравнению с единицей. Легко показать, что выражение (19.29) представляет собой монотонно убывающую функцию от «а, тогда как (19.30) при положительных Г, имеет резкий максимум при «а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
