Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Там для определения дискретных уровней энергии частицы использовались граничные условия на больших расстояниях, тогда как в задачах о столкновениях энергия задается заранее и в зависимости от нее определяется асимптотическое поведение волновой функции на больших расстояниях. Интенсивность рассеяния частицы силовым полем оказывается непосредственно связанной с этой асимптотикой. Как и в гл. 1Ч, мы получим здесь относительно немного точных решений, но область их применимости оказывается значительно шире, чем могло бы показаться с первого взгляда, так как они могут служить основой для приближенных расчетов в более сложных случаях. Интересно отметить, что теория столкновений играет особенно важную роль в физике атомного ядра (см.
$ 41), где другие пути исследования дают сравнительно мало сведений. й 17. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер Рассмотрим прежде всего столкновение одномерно движущейся частицы с прямоугольным потенциальным барьером У (х), изображенным на фиг. 14. Будем считать, что частица приходит из области отрицательных значений х и либо отражается барьером, либо проходит через него.
В соответствующей классической задаче частица или отражается или обязательно проходит через барьер в зависимости от того, меньше или больше ее энергия, чем высота барьера. Мы увидим, что в квантовой механике почти при любой энергии частицы вероятность как отражения, так и прохождения принимает определенное конечное значение. Поскольку в самой постановке задачи-отсутствует симметрия между положительным и отрицательным направлениями оси х, нет смысла вводить решения с определенными четностями и, следовательно, необязательно считать функцию У(х) симметричной относительно точки х = О, как это делалось в ',: 9. Поэтому допустим, что У (х) = О при х .~ О и х > а и У (х) = У, ) О при О <.
х < а. а л, шнее- 114 Гл, У. Непрерывные собственные значения. Теория столкновений ав ива — — — = Еи 2т ах' находим асимптотические решения для нашего случая: и(х) = Ае"*+ Ве-'"*, х — О, и(х) = Се"*, х а. (17.1) Здесь и = р1й = (2тЕ/ла)ив — волновое число. Решения (17.1) в областях, где отсутствуют внешние силы, справедливы не только для простого барьера, изображенного на фиг. 14, но и при рассеянии на потенциальном барьере любого вида. Ф и г.
!4. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер высотой Ув и толщиной а. Нормировка. Чтобы выяснить физический смысл коэффициентов А, В и С, подставим (17.1) в выражение (7.3) для одномерной плотности тока вероятности; 5 (х) = и () А ,'а — ) В (в), х < О, 5 (х) = о(С(в, х ) а, (17.2) где и =- М/ш — скорость частицы с волновым числом й. Поскольку эти выражения не зависят от х, то из результатов $7 следует, что нх можно истолковать как результирующий ток соответственно в первой н второй областях (за положительное принимаем направление вправо), Эта интерпретация соответствует сделанному выше замечанию о смысле величин А, В и С как амплитуд падающей, отраженной и прошедшей через потенциальный барьер волн.
Поскольку в данной задаче представляют интерес лишь отношения (В1а и (С(в к )А!а, определяющие соответственно коэффи- Асимптотическое 'поведение. Нам надлежит описать частицу, которая приходит слева с энергией Е ) 0 и может либо отразиться от потенциального барьера, либо пройти через него. Таким образом асимптотическое поведение волновой функции 1в областях, где У (х) = 0] будет следующим: при х < 0 волновая функция должна описывать частицу, движущуюся как влево (в результате отражения), так и вправо (падающая частица); при х ) а волновая функция должна соответствовать лишь частице, прошедшей через барьер (и движущейся вправо).
Частица, свободно движущаяся в определенном направлении с определенной энергией, обязательно имеет и определенный импульс, и, следовательно, описывается одномерной собственной функцией оператора импульса и(х) ессеи, если частица движется с импульсом р в положительном направлении вдоль оси х, и и(х) е-орк~л, если частица движется в отрицатель- ном направлении. Принимая во внимание УГау это обстоятельство и замечая, что волновое уравнение в области с )Г (х) = 0 имеет вид у сг.
Одномернмй прямоугольный аоосенцаальнмй барьер 115 циенты отражения и прозрачности, абсолютная нормировка волновых функций (17.1) здесь не обязательна. Однако иногда удобно нормировать волновую функцию падающей частицы так, чтобы поток был равен единице; тогда нужно положить А = '/оч. Эту нормировку не следует истолковывать в том смысле, что и(х) характеризует не одну, а много частиц; правильнее будет сказать, что мы выбираем, как это описывалось в 1 7, достаточно большое число тождественных, независимых и не перекрывающихся систем (каждая изкоторых описываетсяфункцией и(х)),причем полный падающий поток во всех системах равен единице. Более аккуратной, но часто менее удобной была бы нормировка и(х) на единицу в одномерном „ящике" длины ?. с периодическими граничными условиями. Коэффициенты отражения н прозрачности.
Внутри потенциального барьера характер решения зависит от того, превышает ли Е высоту барьера У, или нет. Предположим сначала, что Е > Усн так что внутри барьера можно определить волновое число х = = (2т(Š— Уо)/й')ць Тогда решение во внутренней области будет иметь вид и (х) = Ре"*+ Ое-с»*, О == х — а. (17.3) Условия непрерывности и и с(и/с(х при х = О и х= а приводят к четырем соотношениям между пятью коэффициентами. Мы можем исключить Р и О и найти отношения В/А и С/Ас В (?сь — а') (1 — е'с««) А ()с+ а)с — ()с — а)'е'с«" ' С 4йае' !» — ь> « (17.4) А (й + а)ь — ()с — а)ьеьс « Квадраты модулей этих отношений представляют собой соответственно коэффициенты отражения и прозрачности: ~ В ~ь ( 4?сьаь 1 — ! ( 4Е (Š— (сь) ~ А ! ! + ()сь — а')'г(П'аа! ! + !с«с с!пьаа 1 ! ° Г, — )- [, .
1- ( (17.5) С ' (1 ()сь — а')'е(п'аа! — ' (1 У3а!пьсса 1-! А ( + 4?сьаь 1 ( +4Е(Š— Уь)) Пользуясь (17.5), легко проверить, что )В/А!'+ )С/А!ь = 1, как и следовало ожидать. Из формул (17.5) следует, что когда энергия частицы прибли- жаетсЯ к высоте баРьеРа (Š— Уо), коэффициент пРозРачности стРемится к значению (1+ "'Г'. (17.6) При увеличении Е(Е > У,) коэффициент прозрачности колеблется между единицей и непрерывно возрастающим нижним пределом 3" — сз— 116 Гл. У.
Непрерывные еобстеенные значения. Теория етоллноеениа (см. фиг. 15). При аа = ж, 2ж,..., т. е. когда на протяжении барьера укладывается целое число полуволн, имеет место полное пропускание". Как известно, интерференционные явления подобного типа имеют место при прохождении света через тонкие преломляющие пластинки. У,о н Цб $ ((4 0 7 й 3 а б б 7 д Е/и, Ф и г. (б. Зависимость' коэффициента прозрачности прямоугольного барьера от энергии частицы при тр,а'(йа = 84 При О < Е < Уо коэффициенты отражения и прозрачности проще всего найти, заменяя в уравнениях (17.4) и на 4, где ~=1 "' Г В результате для коэффициента прозрачности получим (17.7) При уменьшении Е, начиная от Е = У„коэффициент прозрачности (17.7) монотонно убывает от значения (17.6).
При ра ) 1 он становится очень малым и приближенно дается выражением (бЕ (У, — Е) зро (17.8) На фиг. 15 изображен график коэффициента прозрачности (17.5) и (17.7), вычисленный для случая довольно мало проницаемого барьера (гпУсаз/ла = 8). О Такой же эффект возникает и при замене прямоугольного барьера прямоугольной потенциальной ямой ((гчч., О).
Коэффициенты прозрачности и отражения при этом по.прежнему будут определяться формулами (17.5), ио с измененным знаком У, (и частности, знак У„нужно изменить и э выражении для и). О 18, 7лелмерные столкновения 117 5 18. Трехмерные столкновения' В настоящей главе в основном будет рассматриваться трехмерный случай рассеяния частицы неподвижным силовым центром (или столкновения двух частиц друг с другом). В $ 16 было показано, что если силы взаимодействия между двумя частицами зависят только от их относительного положения, то задачу о нерелятивистском движении двух частиц можно свести к двум одночастичным задачам, первая из которых описывает движение частиц относительно их центра инерции, а вторая — свободное движение центра инерции. Однако при вычислении уровней энергии внутреннего движения центр инерции можно было считать неподвижным, в то время как в задаче о рассеянии необходимо учитывать его движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
