Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 26
Текст из файла (страница 26)
С точностью до постоянного множителя уравнение (19.2) имеет только одно решение, обращающееся в нуль при г = О. Можно показать, что если зто решение вещественно вблизи точки г = О, то оно будет вещественным всюду в силу вещественности величин !с, У и !. Поэтому числа д; должны быть вещественны, хотя А; могут быть и комплексными. Принимая зто во внимание, легко проверить, что полный радиальный потокчастиц через сферу большого радиуса обращается в нуль: 1пп 2иги )' 8, гйп 0 йб = 0; (19.6) с-о оо о здесь ߄— радиальная компонента вектора (7.3), получающаяся в результате подстановки (19.1) в (7.3). Это означает, что в системе нет ни источников, ни стоков частиц и все радиально рассеянные частицы приносятся падающей плоской волной.
Дифференциальное эффективное сечение. Оказывается удобным переопределить фигурирующие в (19.5) амплитуду А; и фазу д;, воспользовавшись решением несколько специализированной задачи. Допустим, что на расстояниях г, превышающих некоторое значение а, величиной У(г) можно пренебречь (в практически интересных случаях а может быть настолько малым, что членом ! в (19.2) пренебрегать уже нельзя). В 1 15 было показано, что при г>а наиболее общее вещественное выражение для !7,(г) (с точностью, может быть, до постоянного комплексного множителя) имеет вид К, (г) = А!(соз Ь,1) (!сг) — з1п д,п, (!а)), (19.7) 126 Гя.
У. Непрерывные собственные значения. Теория сгпоянновениб где д, — вещественное число. В силу (15.8) эта функция асимптотически ведет себя как И1 (г) — (Ь) г А[э]п ]]сг — — !ос+ д,) . (19.8) Равенства (19.5) и (19.8) совпадают, если А, = ]сА; и д, = д~+!вс]2. Попытаемся теперь отождествить асимптотическую форму (19Л) с (18.10). Для этого разложимевн*=еса'савва ряд по полиномам Лежандра": чо емг вов в ~~~~ (2! -]- 1) ф (Кг) Р~ (соз О) (19 9) Подставляя асимптотическое выражение (19.9) в (18. 10) при А = 1 и приравнивая результат асимптотическому значению (19.1), получаем Оо У (2! + 1) Р (lсг)-в а]п []т — — !вв~)Р, (сов 0) -]- г ' ! (0)еры = 1- а ° о 1 = ~' А,(Ат)-' з]н [Iт — — !ос+ 01) Р, (сов 0).
~-о Записав синусы в комплексной экспоненциальной форме, следует приравнять коэффициенты при еоы и е — ры в обеих частях равенства: 2И!(О)+ ~(21+ 1)Ре и" Р(сов О) = ~~Р Ае'' доР,(сов О), 1-О [=О СО оо ,г,' (2!+ 1) !'е" !'Р[(соз О) = ~ А,е ' ' "'"Р, (соз О). (19.10) г-о Поскольку эти соотношения справедливы для любых значений О, а полиномы Лежандра образуют ортогональную систему, из второго соотношения (19.10) следует: А, = (21 + 1) р е* '. Подставив это в первое равенство (19.10),найдем амплитуду рассеяния СО !(О) = (2И)-' ~(2!+ 1)(е ' ' — 1)Р,(сок О).
(19.11) ~-о Таким образом, дифференциальное эффективное сечение дается формулой вг(0) = (!(0) ]а = „—, ! ~н (21+ 1) е"1 з]п Ь,Р,(сок О) ! . (19.12) 1-О О См. книгу Ватсона [1!. .Е 1У. Рассепние сОерически симметричным полем 127 Полное эффективноесечение. Полное эффективное сечение получается 'в результате интегрирования (19.12) по поверхности сферы единичного радиуса. В силу ортогональности полиномов Лежандра в полном сечении нет членов, содержащих произведения множителей с разными й 4п и =,2л ~ и(О) ейп О йО = —,, ~ч (21 + 1) з1п' д,.
(19.13) о ~-о Полное эффективное сечение можно выразить также через амплитуду рассеяния вперед 1(0). Из вида производящей функции для полиномов Лежандра (14.10) следует, что Р,(1) = 1 при любых 1; поэтому при О = 0 формула (19,11) дает со 1 (О) = (Ы)-' л,' (21 + Ц (е ' ' — 1). г-о Сравнивая это с (19.13), получаем а = —,.„[~(0) — ~(0)) = —,1ш Ц(0)), (19.14) где символ 1ш означает мнимую часть. Соотношение (19.14) можно истолковать следующим образом. Чтобы рассеяние имело место, частицы должны удаляться из бомбардирующего пучка в количестве, пропорциональном а; поэтому за областью рассеяния (О 0) интенсивность пучка должна быть меньше, чем перед ней.
Это может произойти только за счет интерференции двух слагаемых в асимптотическом выражении (18.10). Поскольку член, характеризующий такую интерференцию, должен линейно зависеть от амплитуды рассеяния вперед, должно существовать общее соотношение типа (19.14). Явное вычисление интерференционного члена показывает, что фактически соотношение (19.14) справедливо и в гораздо более общем случае; амплитуда 1 может зависеть не только от О, но и от р: может также иметь место не только упругое, но й неупругое рассеяние и поглощение (см.
работу Шиффа 12]), Фазы. Согласно (19.8), угол д, представляет собой разность фаз между асимптотическими выражениями точной радиальной функции Ю,(г) и радиальной функции свободного движения /,(1сг). Поэтому величину д, называют фазой 1-й парциальной волны. Фазы полностью определяют рассеяние: в частности, дифференциальное сечение обращается в нуль, если все углы д, равны 0' или 180'.
Следует отметить, что если (7(г) убывает быстрее, чем 11г, то соотношение (19.11) остается справедливым независимо от сущест- 128 Гл, К 'сс онрерывные собственные значения. Творил столкновений вования сферы радиуса а, за пределами которой значением Е~(г) можно пренебречь. Однако при вычислении эффективного сечения метод парциальных волн особенно полезен при наличии подобного радиуса а, особенно если )са по порядку величины меньше или равно единице. Дело в том, что первый (и наибольший) максимум функции ус()сг), грубо говоря, лежит при г= 11)с, а при заметно меньших г эта функция мала, убывая примерно как г' (см. (15.7)1.
Поэтому при а < 1/)с функция сс будет очень мала там, где О имеет заметную величину. Соответственно поле Цг) почти не будет влиять на 1-ю парциальную волну, фаза д, будет очень мала, и вкладом этой волны в рассеяние можно будет пренебречь. Следовательно, эффективное сечение представится в виде ряда членов, соответствующих различным 1 от нуля до максимального значения, по порядку величины равного )са. Поскольку вычисление фаз обычно является довольно трудоемким, то чем меньше величина )са, тем легче применять данный метод. Поэтому метод парциальных волн оказывается наиболее полезным при малых энергиях падающих частиц.
Интересно отметить, что в классическом случае прицельное расстояние для свободной частицы с массой )с, скоростью о и моментом количества движения 1$ равно И/ро = 1/)с. Таким образом, предыдущие замечания сводятся к утверждению о том, что классическая частица не испытывает рассеяния, если ее момент количества движения настолько велик, что она не попадает в область взаимодействия г ( а.
Вычисление фаз. Фазы д, вычисляются~ путем „сшивания" волновой функции )гс(г) при г < а с решением во внешней области (19.7). При этом „внутреннее" решение может задаваться либо аналитически, либо в случае необходимости — численными методами. Граничные условия в точке г = а сводятся к требованию непрерывности функции (1)Рс) (сЯс/с(г). Обозначая это соотношение для „внутреннего" решения через у„мы имеем сс(1; (сса) сов д, — и', (сса) в!п дс) )с (/са) сов дс — пс ()са) в|п дс где производные 1'" ,и и, 'можно выразить с помощью (15.10). Отсюда для фазы д, получаем ссй (/са) — гс)с (сса) (19.15) ссп) (сса) — гспс (сса) ' При 1))са, когда фазу д, можно считать малой, уравнение (19.15) позволяет немедленно найти приближенное значение д, Именно в этом случае тс мало отличается от соответствующего значения в отсутствие рассеивающего потенциала, в связи с чем 1 д,= е~ (йа)*1~ ()са) л1(йа) — 1 (19.17) (пока ещеточной).
Воспользуемся теперь(15.7)для 1, при ! ~ ()са)е и оценим и, с помощью (15.7) и (15.8); тогда неравенство (19.16) примет вид 1е !~~в „, (19.18) а выражение (19.17) приближенно можно будет записать в форме е~ Яа)е' 'е ег2е~ (д)'()са)~~~~ 19 19 [! ° 3 ° 5... (21 + 1йе [(21 + 1)1]е Равенством (19.19) можно воспользоваться для проверки сходи- мости сумм по парциальным волнам типа суммы, фигурирующей в (19.11).
Главные члены в 1п ~д1) при большом ! можно найти по формуле Стирлинга; пренебрегая членами порядка )п ! и меньше, получаем 1п ) д~ ! е 1и ) е~ ! + 2! [1п()са) + 1 — 1п 2) — 2! [п !. Таким образом, даже если Ц принимает максимальное значение (19.18), то и тогда д, убывает обратно пропорционально !1,(т. е. быстрее, чем экспоненциально), и ряды, фигурирующие в выражениях для эффективного сечения, очень быстро сходятся при больших !. связь между знаками де и ь'(е). из формулы (19.19) явствует, что при ! м ()са)е знаки д, и е, противоположны.
Пусть потенциальная энергия (г или У положительна, что соответствует преобладанию сил отталкивания. Тогда из (19.2) следует, что отношение второй производной от радиальной волновой функции к самой этой функции алгебраически больше, чем для свободной частицы. Это означает, что логарифмическая производная радиальной функции при г = а алгебраически больше, чем в случае У = О.
Таким образом, коль скоро преобладают силы отталкивания, величина е, оказывается положительной, а фаза д, — отрицательной. Последнее означает, что по сравнению со случаем отсутствия сил радиальная волновая функция „выталкивается наружу". Аналогичным путем можно убедиться, что при отрицательном потенциале добавка е, будет отрицательной, а фаза д, — положи- 9 Л. ШИФФ Е 19. Рассеяние сферичесяи симмеглричним лосем 129 МЫ ПОЛОЖИМ С помощью (15.9) выражение (19.15) можно представить в форме 130 Гд.
)г. Непрерывныв собственные значения. Теория сгполлноввний Эффект Рамзаузра— Таунсенда. Рассмотрение графика на фиг. 18, б наводит на мысль, что при достаточной величине притягивающего потенциала одна из радиальных парциальных волн может оказаться втянутой внутрь как раз на половину периода и фаза ее составит 180', При этом соответствующий член в выражении (19.11) для )(б) обращается в нуль и не влияет на эффективное сечение рассеяния. Из предыдущего ясно, что фаза имеет наибольшее значение при ( = О. Соответственно оказывается возможным такое положение, когда произведение )(и наотенциал по абсолютной составлять 180', а все про- В этом случае амплитуда , и рассеяние отсутствует. Ф и г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
