Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поскольку для функции тх, описываемой выражением типа (8.3), )фв не зависит от времени, про собственные функции оператора энергии говорят, что они характеризуют стационарное состояние частицы. Уравнение (8.2) также определяет задачу на собственные значения. Из него следует, что и (а следовательно, и ы) предста- Гл. 11.
Во иювое уравнение Шредингера вляет собой собственную функцию оператора 1 — (йх/2лг)ух+ 1/(г)1, принадлежащую тому же собственному значению Е, Разумеется, заранее следовало ожидать, что если гр является собственной функцией оператора дифференцирования по времени, то она будет и собственной функцией данного оператора.
-Действительно, в силу волнового уравнения (6.16) оба оператора- эквивалентны не только в применении к функциям типа (8.2), но и в самом общем случае. Вопрос о физическом смысле собственных функций и собственных значений будет полностью рассмотрен в гл.! И.Однако уже сейчас, предвосхищая сделанные там выводы, мы допустим, что собственные значения представляют собой единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы. В связи с этим интересно выяснить, при всех ли вещественных значениях Е уравнение (8.2) имеет физически интересные решения и(г).
Ответ можно получить, только уточнив понятие „физически интересные" решения в терминах граничных условий, накладываемых на функцию и(г). Этому вопросу, а также исследованию общего характера собственных значений при различных видах потенциальной энергии у (г) и будет посвящена остальная часть настоящего параграфа. Граничные условия иа бесконечности. До сих пор мы имели дело только с двумя классами волновых функций: с хорошо локализованными волновыми пакетами, для которых нормировочный интеграл Яфедт сходится, и с бегущими гармоническими волнами'типа (6.10), для которых модуль волновой функции на больших расстояниях остается постоянным и нормировочный интеграл (взятый по всему бесконечному пространству) расходится.
Можно считать, что функции первого класса описывают либо свободные частицы, координаты которых в начальный момент известны довольно точно, либо же частицы, удерживаемые в конечной области пространства благодаря действию внешних сил [характеризуемых потенциальной энергией 1г(г)), Функции второго класса описывают частицы, которые не локализованы и не удерживаются в рассматриваемой области, а проходят из одной удаленной части пространства в другую. Такие функции, окажутся полезными при рассмотрении рассеяния частиц силовым полемн.В обоих случаях волновые функции остаются ограниченными на бесконечности. Условия непрерывности. Не зависящее от времени волновое уравнение (8.2) представляет собой линейное дифференциальное '> Есть еще класс функций, неограниченно возрастающих на бесконечности.
Они, однако, не представляют физического интереса, ибо нет оснований рассматривать частицы, для которых плотность вероятности координат становится бесконечно большой в удаленных областях пространства. р з, собстееннаа функции операрюра миргии уравнение второго порядка по г. Поэтому если функция У(г) конечна (хотя и не обязательно непрерывна),' то, зная волновую функцию и ее производные на некоторой поверхности, можно проинтегрировать волновое уравнение и найти значение и(г) э любой точке. Соответственно, коль скоро волновая функция должна однозначно изображать состояние частицы, естественно потребовать, чтобы она вместе со своим градиентом была всюду непрерывна, конечна и однозначна. Из этих условий вытекает, в частности, ограниченность и непрерывность плотности координат Р(г) и плотности тока вероятности 8(г) во; 'всех точках пространства. Граничные условия в точках, где потеициалывя энергия обращаетея в бесконечность.
Если функция У (г) где-либо обращается в бесконечность, то соответствующие граничные условия можно найти с помощью предельного процесса исходя из условий непрерывности, указанных выше для случая конечного У. Пусть, например, функция У претерпевает бесконечный скачок на некоторой непрерывной поверхности, так что на одной ее стороне потенциальная энергия конечна, а на другой равна+ . Надо определить условия, которымдолжны удовлетворять величины и (г) и д ад и на этой поверхности.
Характерные особенности задачи останутся неизменными, если в интересующей нас точке заменить непрерывную поверхность касательной к ней плоскостью, а потенциальную энергию, непрерывно изменяющуюся на одной стороне поверхности, постоянной величиной, которую без ущерба для общности можно выбрать равной нулю (постоянная добавка к У эквивалентна просто соответствующему изменению Е). Выберем начало координат в интересующей нас точке, а ось х проведем перпендикулярно касательной плоскости. В рассматриваемом случае волновое уравнение (8.2) распадается на три уравнения, каждое из которых содержит лишь одну из трех пространственных координат, причем разрывный характер потенциальной энергии на плоскости х = О не влияет на зависимость и от у и а Таким образом, задача сводится к решению одномерного волнового уравнения — — —, + У (х) и = Еи, а ари (8.5) где У(х) = О при х< О, У(х) = У,при х)Ои в конечном результате надо перейти к пределу У„+с .
Пусть Π— Е == Ум Тогда общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид и(х) = Аз1пмх+ Всозхх, х(О, и=+( — „,— ) и (х) = Сг — р' + Пер', х ) О, Р = + [ Гн. 11, Вагноеае ураенение Шредингера В силу условия ограниченности и на бесконечности константу В следует положить равной нулю. Далее, условие непрерывности и при х = 0 дает соотношение В = С, а условие непрерывности производной аи/йх — равенство аА = — рС. Поскольку р" обращается в бесконечность вместе с Уг, а решение при х<О должно оставаться конечным, из второй формулы следует, что Спрн У„обращается в нуль, а тогда и В= О. Констанга А этими соотношениями не определяется, но ее можно найти из условия нормировки.
Таким образом, на поверхности, где потенциал испытывает бесконечный скачок, волновая функция должна обращаться в нуль, а производная от нее по нормали к поверхности остается неопределенной. Сделанное выше допущение о том, что Е< У„ очевидно, не является ограничением, так как в итоге Уе становится бесконечным. Если Е< О, то синус и косинус в решении для х< 0 заменяются гиперболическими синусом и косинусом (что допустимо, так как решение должно быть справедливо только вблизи точки х = 0); конечный результат при этом не изменяется. Следует отметить, что как Р, так и Ен обращаются в нуль, когда х 0 со стороны отрицательных значений х;таким образом эти величины непрерывны в точке х = О, хотя производная дп/Пх в этой точке испытывает разрыв. Граничная поверхность данного типа описывает идеально твердую непроницаемую стенку.
Действительно, в аналогичном классическом случае значение х-компоненты импульса частицы при столкновении ее с такой поверхностью мгновенно изменяется на противоположное. (Энергия частицы может быть любой, но конечной,) Собственные значения оператора энергии в одномерном случае. Собственные функции первого класса, описывающие частицы, удерживаемые внешними силами в некоторой конечной области пространства, всегда принадлежат дискретным собственным значениям; функциям же второго класса, не исчезающим на бесконечности, соответствует непрерывный спектр собственных значений. Качественным образом в этом можно убедиться, рассматривая решения одномерного волнового уравнения (8.5), Предположим сначала, что У(х) при достаточно больших положительных и отрицательных значениях х становится равной некоторой константе, которую можно принять за нуль, и пусть Е < О.
При таком значении полной энергии классическая частица не может уйти на бесконечность; она может находиться лишь в области, где Е не меньше минимального значения потенциальной энергии У„„„. Если ~х~ достаточно велик, так что У = О, то, очевидно, волновая функция имеет вид е р~"~, где р' = +( — 2тЕ)йе)'~' (возрастающие решения мы условились отбрасывать).
Пользуясь у 8. Собственные функции оиерпторн энергии 45 волновым уравнением и условиями непрерывности, два таких решения, взятых для больших положительных и отрицательных значений х, можно продолжить до некоторой промежуточной точки, скажем х = О, Непрерывности и в этой точке всегда можно добиться соответствующим подбором произвольных постоянных множителей в обоих решениях. Но легко убедиться, что при ф н г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
