Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вывод аолноаого уравнения то уравнению (6.6) будет удовлетворять третья из волновых функций (6.3). При этом, согласно (6.7), т зависит только от постоянных Ф и ль Таким образом, мы.получаем одномерное волновое уравнение Шредингера" для свободной частицы с массой и. Согласно (6.6) и (6.7), его можно переписать в виде . ач ат аьд (л — = — — —. аГ 2щ ак* ' Данная форма записи уравнения (6.8) характерна в том отношении, что при подстановке решений в виде гармонической функции (третьей из функций (6.3)! левая часть становится равной Етр, а правая — равной (Я2т)ц. То, что решение вида е' ~0 -"о является комплексным, сам по себе еще нельзя считать недостатком формализма.
Нужно лишь потребовать, чтобы все результаты возможных физических наблюдений выражались с помощью вещественных чисел; это условие поможет нам более точно выяснить смысл функции И. Обвбийение на случай трех измерений. Проведенные выше рассуждения' легко обобщаются на случай трех измерений. Равенство (6.1) естественно переписать в виде р=йй, й=!и1='— „, (6.9) где и есть волновой вектор. Аналогично третья волновая функция (6.3) теперь запишется в виде с~се т — ев (6.10) гае г — радиус-вектор частицы. Тогда, очевидным образом обобщая соображения, приведшие к уравнению (6.8), найдем трехмерное уравнение Шредингера для свободной частицы, характеризуемой волновой функцией т (г, 1): ат аа (й — = — — рар. аГ 2гл (6.11) Сравнение формул (6.9) — (6.11) с классическим выражением для энергии рт 2гл (6.12) наводит на мысль, что по крайней мере для свободной частицы энергия и импульс могут быть Представлены дифференциальными Л Настоящее наложение несколько отличается от первоначальных рассуждений Шредингера [11.
а л. шиФФ Гл. 11. Волновое уравнение Шредшиера операторами Е 1й —, р — 1й агап, д (6.13) действующими на волновую функцию ть В $ 7, 8, 1О и 11 будет показано, что это представление справедливо также и для несвободной частицы. Учет действия сил. Следующая задача состоит в обобщении волнового уравнения для свободной частицы (6.11) с целью учета возможного действия внешних сил. Предположим пока, что природа этих сил (электрических, гравитационных, а может быть, и ядерных) такова, что все они могут быть объединены в единую силу Г, выражающуюся через потенциальную энергию У: Г(г, 1) = — йтаб У (г, 1).
(6.14) Как и при выводе уравнения (6.11), желательно исходить из классического соотношения между энергией и импульсом, но теперь уже с учетом внешних сил. Если последние имеют потенциал, то это соотношение запишется в простом виде: Е = Р + У (г, 1); (6 15) здесь Š— полная энергия, а первый и второй члены в правой части (6.15) представляют собой соответственно кинетическую и потенциальную энергию частицы.
Поскольку и" не зависит от р или Е, соотношения (6.15) и (6.13) наводят на мысль о следующем обобщении уравнения (6.11): дт ав '~д = — 2 —,„У*Ъ+ (г От. д~ Это и есть волновое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы с массой гл в силовом поле (б.
14)". Наш вывод не может претендовать на такую же степень убедительности, как в случае уравнения (6.11); однако рассуждения следующего параграфа должны сделать его более правдоподобным. Разумеется, окончательным подтверждением справедливости и полезности волнового уравнения (6.16) будет совпадение его следствий с опытом. й 7. Интерпретация волновой функции Допустим теперь, что волновая функция м (г, 1), удовлетворяющая уравнению (6.16), дает полное квантовомеханическое описание поведения частицы с массой и и потенциальной энер- М Изменение волновой функции со временем можно связать также с ннтеграламн по всем возможным траекториям частицы; см. работу Фейнмана 121. а 7. Интерпретация аооиоеой функции гней У(г, б), вследствие чего она аналогична классической траектории г(ф До сих пор мы имеем лишь одно указание на возможный смысл волновой функции: она должна быть велика там, где нахождение частицы вероятно, и мала в остальных местах. Это соображение необходимо дополнить более точными утверждениями, которые позволили бы извлекать из функции у максимум сведений, допускаемых законами природы, в соответствии с з 3.
Как и в случае волнового уравнения, можно сказать, что критерием истинности нашей интерпретации волновой функции должны быть логическая непротиворечивость и совпадение результатов с опытом. Статистическая интерпретация. Замечание о том, что волновая функция ц должна быть велика там, где „вероятно нахождение частицы", а также соображения з 3 говорят о необходимости статистической интерпретации функции ~. Представим себе очень большое число тождественных, независимых и не перекрывающихся областей пространства, каждая из которых достаточно велика, чтобы содержать все, что может повлиять на физически интересные особенности движения. В каждой из областей поведение частицы с потенциальной энергией У(г,1) описывается одной и той же волновой функцией т~(г, 1), причем радиус-вектор г в каждом случае относится к началу координат соответствующей области.
Предположим теперь, вслед за Борном [3], что в той мере, в какой вообще можно установить момент проведения измерения, численные результаты измерения любой физической величины, например координаты, импульса или энергии частицы в момент времени 1 в разных областях пространства, вообще говоря, оказываются' отнюдь не одинаковыми. Наоборот, распределение этих результатов можно описать с помощью некоторой вероятностной функции. Например, в $5 мы видели, что результат определения координаты содержит неопределенность порядка линейных размеров области, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому естественно рассматривать о как меру вероятности обнаружить частицу в данной точке соответствующей области. Но функция у, вообщее говоря, является комплексной, тогда как вероятность представляет собой вещественное положительное число.
Поэтому мы допустим, что плотность вероятности координат частицы определяется произведением ~7 на комплексно сопряженную функцию д; Р( 1) = 1Ч(г Г)~'. (7.1) Зто означает, что если производить большое число точных измерений координат независимых частиц, каждая из которых описывается волновой функцией 7 (г, 1), то вероятность обнаружить 3 — а Зб Гл.
17 Воллоаое урааненш Шредингера частицу в элементе объема йа1удг около точки г в момент времени 7 будет равна Р(г, 1)гухгуугуе. Нормировки волновой функции еь Поскольку вероятность найти частицу где-либо в области должна быть равна единице, из формулы (7.1) следует условие нормировки волновой функции: [1 р(г,1)~ як=1; (7.2) здесь бт — элемент объема Ихдупг, и интегрирование производится по всей области.
Если функцйя у характеризует волновой пакет типа рассмотренного в $ 5, то интеграл в формуле (7.2) сходится, и численный множитель у гр можно выбрать так, чтобы интеграл был равен единице. Разумеется, в силу однородности уравнения (6.16) нормировка не мешает фуйкции ф удовлетворять ему. Однако существуют волновые функции типа (6.10), для которых интеграл (7.2), взятый по всему бесконечному пространству, оказывается расходящимся.
Эти волновые функции требуют специального рассмотрения, которое мы отложим до $10 и 11. Пока что будем считать область пространства, в которой находится такая волновая функция, сколь угодно большой, но конечной; тогда интеграл (7.2) берется по конечному объему. и сходится, так что нормировка всегда возможна. Чтобы функция гр удовлетворяла волновому уравнению (6.16), нормирующий множитель не должен зависеть от времени. Поэтому истолкование )~р~а как плотности вероятности требует, чтобы нормировочный интеграл не зависел от времени, если соотношение (7.2) имеет место в какой-то один момент. Фактически именно так дело и обстоит, в чем можно убедиться, вычисляя производную по времени от интеграла от Р по любому фиксированному объему У: .а~ 1 ("1)~"= 1т зе+ зу т7 ' = — ] [гр-,, ~у — (гааз) гр] а~т = — 61ч $уйгабтр — (ать у) у] вт = Ж Г вЂ” Гн à — [гр угад гр — (огай р) у] „и'А.
Здесь производная дууЖ выражена с помощью (6.16),а дф/д1— с помощью комплексно сопряженного уравнения. Последний интеграл получается интегрированием по частям на основании теоремы Грина; буквой А обозначена поверхность, ограничивающая область интегрирования, а символ [ ]„ означает компонент~ в направлении внешней нормали к элементу поверхности ИА'.
Н Удобно пользоваться таким порядком множителей, когда р предшествует р [см. ниже обсуждение формулы 17.7)1. в 7. Ймтерпяелюция еоеноеов функции Определим вектор $ (г, 1): $(г, 1) =- ш,л (Ч Кгад и — (бган Д ф], л (7.3) с помощью которого получим — Р(г, 1)дт = — дЬ 8 бт = — Я„ИА. (7.4) Плотность тоив вероятности. Равенство (7.4) означает также справедливость дифференциального соотношения + йт 8 (г, 1) = О. И По форме оно аналогично известному уравнению непрерывности для жидкости с плотностью Р и плотностью тока 8 (в отсутствие источников и стоков).
Поэтому естественно истолковывать вектор $ (г,!), определяемый формулой (7 3), как плотность тока вероятнвсгпи. Такая интерпретация делает более правдоподобным отождествление оператора — Вагаб с импульсом при наличии внешних сил. Поскольку при этом (Ц~т) д~ад будет оператором скорости, то, очевидно, 8(г,1) = Йе(У1юбгад Ч'), где Ке означает вещественную часть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
