Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 43
Текст из файла (страница 43)
У11, Придяиженные метода решения стационарных задач здесь индекс и означает все состояния системы из двух невозмущенных атомов водорода (включая и непрерывный спектр); основное состояние по не учитывается при суммировании и интегрировании, обозначаемом символом и". Поскольку Е, ( Еяи а числитель в каждом члене (27.13) положителен, то оо'(17), очевидно, меньше нуля. Отсюда следует, что взаимодействие носит характер притяжения и что на больших расстояниях /7 потенциал взаимодействия обратно пропорционален /то. Можно показать, что оба зти заключения справедливы для любой пары атомов, состояния которых не вырождены и сферически симметричны. Верхний предел положительной величины — от(/7) можно получить, заменяя все значения Е„в (27.13) энергией Е„„низшего возбужденного состояния, для которого матричный элемент Н;„ отличен от нуля.
Тогда можно знаменатель вынести за знак суммы, а сумму вычислить, пользуясь правилом умножения матриц: 8'~ Ног ~' = Б'НоиНта = ~НонНио — Ноо = (Н')оо — Ноо. Как уже было указано, Н„'= О и, следовательно. Š— Е ' (27.14) Как легко убедиться, в состоянии и" оба атома возбуждены на уровень с главным квантовым числом 2; таким образом, Е, = = — 2 (ег/2ао), Е„. = — 2 (ег/бао) и Е:о — Е, = Зе'/4а,. Из (27.12) получаем г — г г Н' = —,(х„'х,'+ у,'у', + 4а',зг г+ 2х,х,у,у, —...).
(27.15) Поскольку перекрестные члены типа х,х,у,у, нечетны относительно одной из компонент векторов г, или г„то средние значения их равны нулю. Что же касается первых трех членов в скобках в (27.15), то среднее от каждого из них представляет собой произведение двух одинаковых множителей, равных хг(пг (г) !гйг = — 1 го ~ и, (г) ~гйт = /г'е-гп ° 4гсггс/г =- аго; г г о следовательно, (Н')„= беоп4//го. Подставляя это в (27.14), получаем (27.16) Расчет ввриациониым методом. Верхний предел Щ/7) всегда можно получить с помощью вариационного метода: Ясно, однако, а 27. Вариаииоиигей метод 207 что, выбирая пробную функцию гр, необходимо использовать некоторые дополнительные соображения.
Так, если гр не зависит от Р, то среднее значение энергии будет зависеть от Р так же, как Н', т. е. будет пропорционально 1Яг. Соответствующий верхний предел не представляет для нас никакой ценности, ибо фактически подлежащей определению величиной является коэффициент при ЦРо. Удобно выбрать функцию гр так, чтобы в ней имелся член, пропорциональный Н'. Тогда в формулу для среднего значения войдут члены, пропорциональные Н' и, следовательно, должным образом зависящие от Р. Возьмем в качестве пробной функции выражение гр(гп гг) = пгоо (гг) игоо (гг) (1 + АН ) где А — параметр, подлежащий варьированию. Поскольку функция гр не нормирована, воспользуемся соотношением (27.5), а не (27.4). При этом получим )Е ) и,(! + АН )(Н, + Н )ио(! + АН)аггйег где и, по-прежнему означает произведение двух волновых функций основного состояния атома водорода, а параметр А предполагается вещественным. Так как и, есть нормированная собственная функция оператора Н„принадлежащая собственному значению ег Е о ио Э и Ног=(Н")„=О, то правую часть(27.17) можно записать в виде Во+ 2А (Н г)го + Аг(Н НоН )оо (27.18) ! + А (Н )оо Легко видеть, что матричный элемент (Н'НоН)оо выражается в виде суммы квадратов величин типа ~пгоо(г)хНохигоо(г)е(т; непосредственным вычислением можно убедиться, что все они равны нулю.
Поскольку нас интересуют лишь члены порядка Н', разложим знаменатель (27.18) в ряд. Ограничиваясь первыми членами, получаем (Ео+ 2А(Н г)оо)(1 + Аг(Н г) о) г "и Ео+ (Н'г) >(2А ЕоАг). (27.19) Принимая во внимание, что Е, ( О, находим, что минимум выражения (27.19) достигается при А = ЦЕо. При этом равенство (27.17) принимает вид Ео+ % (Р) ~ Ео+ В = Ео — — Рг (2720) 208 Гл. ]г11. Приближенные метода решения стационарных задан Таким образом, формулы (27.16) и (27.20) определяют верхний и нижний пределы энергии взаимодействия: 8еое4 бе ао .
йг([7) о яо ]7' Более точные вариационные вычисления показывают, что числен- ное значение коэффициента в [[7(й) очень близко к 6,50". Интегральное уравнение для задачи о столкновениях. Обратимся теперь к применению вариационного метода в теории столкновений. Будем считать рассеивающий потенциал сферически симметричным; тогда волновую функцию можно разложить по парциальным волнам так же, как и в й 19з!. Коль скоро известны фазы дь дифференциальное эффективное сечение можно вычислить по формуле (19.12).
Величины д, определяются равенством (19.7) через асимптотическое представление радиальной волновой функции: У~! (г) = 1,, (йг) -[- ][, (г) - ]', (Ат) — [й Ь,п! (йг). (27.21) Подставляя это в радиальное волновое уравнение (26,21), видим, что функция г! удовлетворяет уравнению —,— ]гз — "') + (/гз — 1т! = [7(г)йо,(г). (27.22) Последнее уравнение является точным — в противоположность уравнению (26.22), которое приближенно справедливо лишь в том случае, когда потенциал можно рассматривать как возмущение. Тем не менее его по-прежнему можно решать с помощшо функции Грина.
По аналогии с (26.23) выражение для т! можно записать в виде то(г) =- 1 0 (г, г') У (г') ]7,(г') г' о[г', (27.23) о где 6(г, г') определяется равенством (26.25). Подстановка (27.23) в (27.21) приводит к интегральному уравнению для радиальной волновой функции: Я!(г) =1,(Ат)+ ) 6(г, г') [7(г')Яо(г')г'зо[гд (27.24) о '> См. книгу Паулиига и Вильсона [17], раздел 47а. '1 См. книгу Хюльтена [!8] и цитированные там более ранние работы, а также работы Швингера [19, 20]. Настоящее изложение основано на неопубликованных лекциях Швиигера (! 947 г); см.
также работы Рорлиха н Эйзенштейна [2!] и Блатта и Джексона [22]. Обсуждение случая, когда переменные не разделяются, равно как и дальнейшие ссылки, можно найти в работе Джерджуоя и Саксона [28]. См. также книгу Морза и Фешбаха [7], раздел 9 4. Э" 77. Вариационний метод 209 Это уравнение полностью эквивалентно дифференциальному уравнению (26.21), но им удобнее пользоваться в качестве исходного пункта для вариационных вычислений.
Сравнивая асимптотическую форму (27.24) с (27.21), видим, что фаза определяется соотношением СЮ 1д д~ = — 1е Г1,(Ь') (7(г'))7~(г') г" бг'. (27,25) Это равенство справедливо лишь при такой нормировке функции И,(г), когда асимптотическое выра жение Р, дается формулой (27.21). В этом случае оно является точным. Его можно апроксимировать, заменяя в правой части Я,(г) на /,(1ег); в результате получаем борновское приближение (26.27). Вариациоииый принцип для фаз.
На первый взгляд уравнение (27.25) кажется не слишком полезным, так как оно выражает фазу через радиальную волновую функцию, которую нельзя определить, не зная до Однако можно надеяться улучшить результаты борновского приближения, взяв в качестве )г(г) не просто у(/сг), а какую либо более удачную функцию. В практически интересных случаях функция (l(г) обычно имеет достаточно хорошо определенный „радиус действия", и может показаться, что )7, нужно определить только в пределах этой области. К сожалению, соотношение (27.25) справедливо только в том случае, когда нормировка функции 17, соответствует асимптотическому представлению (27.21), так что фактически 77, нужно знать не только в тех местах, где йотенциал заметно отличен от нуля, но и в асимптотической области.
Далее, соотношение (27.25) не обладает свойством стационарности, характеризующим правые части(27.4) нли (27.5) Последние выражения имеют минимум, когда ~г совпадает с правильной собственной функцией, в связи с чем ошибка первого порядка малости в пробной функции йриводит к ошибке только второго порядка в собственном значении энергии (см. задачу 9). Было бы желательным переписать уравнение (27.25) в такой форме, чтобы функцию 17, действительно нужно было знать лишь там, где потенциал заметно отличен от нуля (т. е. чтобы нормировка Й, была несущественна), и чтобы выражение для 1д д, было стационарно относительно вариаций )гн Первое из этих условий будет выполнено, если Р, в подннтегральном выражении будет всегда умножаться на (7(г). Второму условию можно удовлетворить, сделав 1д д, множителем при выражении, однородном относительно Рь Единственное соотношение, которым мы можем воспользоваться, — это уравнение (27.24).
Умножим обе части (27.25) на интеграл, стоящий в правой части этого равенства, Тогда левая часть будет выражением первой, а правая — второй степени относительно 77о Степень левой части можно сделать равной двум, 14 л. шнеф 210 Гл, у«д Лриближенные методы решения етационарныл задач если заменить функцию Цаг) ее выражением из (27.24); в резуль- тате получается однородное уравнение: (д Ь,[ ) К,з(г) И(г)г'е1«вЂ” о ОО 00 — / у Я,(г) (1 («) О (г, г ) (1(« ) И,(г ) «2«'ее(г ~'~ = о о г ' -2 = — 1е ~ / 1~(К«) (1(г))ч',(г) гя йг ~ . б (27.26) б1 = '1(г) дЯ,(«) представляет собой вариацию 1, возникающую при вариации К, в точке «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
