Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Не нарушая общности рассмотрения, можно выбрать начало оси х в одной из точек поворота; временно допустим также, что 1'(х) < Е справа от точки поворота (т. е. при х ) 0), и положим б(х) ==(Ых. Если теперь)ее(х)=Сх", где С вЂ” положительная постояно ная, то, как известно, решения уравнения (28.3) имеют вид и(х) = Асн1с-и/, (с), ш = „, (28.10) где / — функция Бесселя (это можно проверить прямой подстановкой). Поведение функции Бесселя при больших значениях аргумента таково, что асимптотически (28.10) совпадает с (28.7). Поэтому мы постараемся сохранить этот вид решения, вводя в (28.3) дополнительный член б(х): ~, +()ги — 8)в=О.
(28.11) Подставляя (28ЛО) в (28.11), видим, что это уравнение удовлетворяется, если положить з»' а" 0(х) =— — ---+ (т' — — 1,—, 4яе йя ( 4/ ее ' Разложим )е' в ряд по степеням х: lея (х) =- Сх" (1 + ах + Ьх'+...); тогда О (х) тоже можно разложить в ряд. Члены с 11х' и 1/х обращаются в нуль, и главный член при х- 0 оказывается не зависящим от х: 8 ГХ1 З(л + (28. 13) я «о' 2(л+4)(л+6) л+6 ' Теперь видно, что уравнение (28.11) хорошо апроксимирует истинное уравнение (28.3). Сходство структуры слагаемых в (28.12) с левой частью критерия (28.9) указывает, что.если квази- классический метод вообще можно применять, то в асимптотической области 0< и'.
В точке поворота и вблизи нее величинойй О нельзя пренебречь по сравнению с й', так как и' там обращается в нуль, а б(0) Ф О. Йз (28.13) явствует, однако, что 0(0) очень мало, 8 га. Кааааклассаческае ариблахсеаае г17 будучи величиной второго порядка в отклонении [(а от простого выражения Сх". Поэтому можно ожидать, что для медленно меняющихся функций [г(х) выражение (28.10) будет хорошо апроксимировать точное решение уравнения (28.3). Линейная точка поворота. Рассмотрим теперь физически наиболее интересный частный случай и = 1. Типичная линейная точка поворота показана на фиг. 25; уравнение ьебх) (28.3) справедливо в области 1 (х > О), а (28,4) — в области 2 (х(0).
Положим х о С) = — [ Ых, ра = — [ )с([х; (?беаать2 0 (?беасть? тогда при удалении х от ТОЧКИ ПОВОРОТа КаК С„ Таи Ф и г. 25. Типичная линейная точка поно- И Са ВОЗраСтаЕт; ЭтО ПОЗВО- рота, когда при х = О У[х) = В. Ляст ЛЕГКО ОбОбщИтЬ рЕ- Н области 1 Е) Г(я), л области а Е< Г(х). зультаты на тот случай, когда области 1 и 2 меняются местами. В каждой из этих областей два независимых решения запишутся в виде ит (х) = Ах~~)'[( н/л в (8,), ии (х) = Вебйск и1л ь (ра).
(28.14) (Ясно, что в области 2 нужно заменить / функцией Бесселя мнимого аргумента !.) Главные члены разложений при малых б и асимптотических разложений для этих функций имеют вид') (! ) лп. х — о г(1 1 ( — 'з Лч.и,) — -©-,) "- !8,= —; — —,), [г "с) 1е ь (са) —. г (1+ — ) 1л ь(ря) — (2гсра)-н[е *+ е *е * ' ). (28.15) ') Сн. книгу Уиттекера н Ватсона [141, гл. 1?. 218 Гл. Ч1Д Приближенные методы решении стационарные задач Важно отметить, что в асимптотическом выражении для 1 член с е-' можно оставить только в том случае, когда выбрана такая линейная комбинация решений 7е*ь, что коэффициент при е" равен нулю. Это связано с тем, что мы пренебрегли в асимптотическом разложении членами типа ее*Я„ по абсолютной величине превышающими е-'.
Ввиду асимптотического характера квази- классического приближения невозможно сказать, будет ли при наличии члена, экспоненциально возрастающего с удалением от точки поворота, иметься и экспоненциально убывающий член. Формулы связи в точке поворота. При х = О главный член в выражении 1ез равен Сх, так что » (3) ' » (3)~ где с =+Си. Тогда в силу (28.14) и (28.15) поведение функции и вблизи точки х= О определяется формулами: 0 *й') ' (3) *(3'Г'ь + 4 х, ц, А (3) (3 ) (3) (3- ) и,' Ве — ' „)х! и, В г (4) ' г (2) Отсюда ясно, что и+ непрерывно переходит в ц,', если В; = — Ае, а и, непрерывно йереходит в и,, если В. =А .
С помощью этих соотношений между коэффициентами можно найти асимптотические представления типа (28.7) и (28.8) для двух независимых решений и и ц- в двух областях (произвольные постоянные множители Ае опускаются): и+ — (-,'- лРс) ' соз (»„— ' — „') Ьчг, и-' — — (2еен)-и (ее*+ е з ) ' (28.16) и- — (1 ~1е) соэ(»,— — ). ~с1 1 ц- . (2еен)-и (ем+ е Пользуясь (28.16), можно найти асимптотические представления произвольных линейных комбинаций и-' и и . э 28, Кеаэинласеичееное приближение 219 Формулы связи для асимптотичесних решениИ.
Удобные формулы, связывающие асимптотические решения в двух областях, можно получить, подбирая соответствующие. линейные комбинации функций и+ и и . Так, комбинация пе и и- содержит только экспоненциально убывающий член, в связи с чем получается первая формула связи — — ие — ~ й — н соэ(с„— — ). Стрелка в этом соотношении означает, что стоящее слева асимптотическое решение в области 2 переходит в стоящее справа асимптотическое решение в области /, но что обратное необязательно, Это связано с тем, что небольшая ошибка в фазе косинуса приводит к появлению в области 2 доминирующего экспоненциально возрастающего члена".
Можно найти другую линейную комбинацию не и и, для которой получается вторая формула связи: э(п т)м-нес* й-и соз (с, — 4 + т)), (28.18) где величина г/ заметно отлична от нуля и от целого кратного л. Стрелка здесь поставлена потому, что при попытке обращения связи отброшенный экспоненциально убывающий член в области 2 неопределенным образом изменит фазу косинуса в области 7. Уровни энергии в потенциальной яме.
Дадим теперь простой пример применения квазиклассического метода, для чего выведем одно из правил квантования Бора — Зоммерфельда, Задача состоит в вычислении уровней энергии для частицы, движущейся з одномерной потенциальной яме (фиг. 26). Допустим, что при любом значении энергии Е имеются две, и только две, классические точки поворота, определяемые нз условий: (г (хх) = (7 (хз) = Е.
Области х< х, и х 7о х, относятся к типу 2; в них, как мы знаем, функция и(х) должна убывать при удалении от точек поворота, так как в противном случае не будут выполняться граничные условия при + . Поэтому в данных областях имеются лишь экспоненциально убывающие квазиклассические решения. О формулу, обратную (28Л7), можно употреблять в следующем смысле. Если какой-либо параметр, входящий в решение (например, энергия Е), изменяется непрерывно, так что в области 7 фаза косинуса в процессе изменения проходит значение — и/4, то для некоторого значение фазы, близкого к — л/4, экспоненциальио возрастающий член в области 2 обращается в нуль и остается только экспоненциально убывающий член. Этот результат оказывается полезным, например, при рассмотрении резонансного рассеяния «-частиц тяжелыми ядрами.
220 Гя, 'тхх, Приближенные методы решения стационарных задач В точке поворота х„ отделяющей область типа 2 от области типа 1 (гдехг< х= х,), можно воспользоваться формулой связи (28.17). Единственное отличие состоит в том, что нижний предел в интеграле дт нужно взять равным не нулю, а х,. Таким образом, справа от точки поворота решение имеет вид (с точностью до произвольного постоянного множителя): и соз ) кс(х 4 (28.19) Этой же формулой связи можно воспользоваться и в точке х„если изменить направление оси х на обратное и в качестве фиксированного предела в интеграле с взять х„ а не нуль; стрелка в (28.17) та ббяаать 2 Ф и г.
26. Применение квазиклассического метода к задаче о движении в потенциальной име. Точки х, и хв представляют собой линейные точки повороте. по-прежнему означает, что мы переходим от решения в области 2 к решению в области 1, но теперь последняя находится слева от точки поворота, а первая — справа. Изменим определения ст и сг полагая х, х ) 1сс(х, $в = ) нс)х, так что при удалении от точки поворота зти величины по-прежнему возрастают. В этом случае формулой (28.17) можно пользоваться без каких-либо изменений. Решение слева от данной / х* ,........,..... — ч....~1 .;),....,......,. в виде т- ° х) 1 ы — —" — 0), 0 1 и» вЂ” — ".
020202 З ла. Квазиклиссичесное приближение Как и при качественном обсуждении вопроса о дискретных уровнях в $8, уровни энергии данной системы можно найти, требуя, чтобы два решения (28.19) и (28.20) в области Г непрех» рывно переходили друг в друга. Так как интеграл ~ Их обязал» тельно больше нуля, отсюда, очевидно, следует, что величина и должна быть равна или нулю, или целому кратному»с.Соответ- ственно уравнение для определення собственных значений можно записать в виде х, ~ тххх 1п+ — )ес» п= 0, 1, 2,... (28.21) Соотношение (28.21) можно применять вплоть до значений и, соответствующих столь большой энергии Е, что одна или обе точки поворота исчезают. Правила квантования.
Подставляя выражение (28.5) для к в (28.21), получаем одно из правил квантования Бора †Зоммерфельда, использовавшихся в старой квантовой теории: 2 / (2ДŠ— 1с(х)1)н» е(х = (и + — ) 1»; (28.22) здесь в левой части стоит интеграл от импульса [2р(Š— 'г')3'~», взятый по полному периоду классического движения (т, е. для движения от х, к х, и обратно к х»). Правая часть представляет собой квантовое значение фазового интеграла, но не с целыми, а с полуцелыми квантовыми числами. Из решения в форме (28.20) явствует, что и представляет собой число узлов квазиклассической волновой функции в области между точками поворота. Поскольку в квазиклассическом методе асимптотические решения типа (28.7) справедливы лишь на расстоянии нескольких длин волн от каждой из точек поворота, наша апрокснмация имеет смысл только в том случае, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн; иначе говоря, число и должно быть велико по сравнению с единицей.
Это оправдывает название метода, так как он оказывается наиболее полезным в почти классической области, когда квантовые числа велики. Фактически, однако, квазиклассическое приближение в целом ряде случаев может дать достаточно хорошие результаты и для низших квантовых состояний. Так, если применить соотношение (28.22) к гармоническому осциллятору, когда 1'(х) = Кх'/2, то, как известно из старой квантовой теории, правильные уровни энергии получаются для всех квантовых чисел.
222 Гл. УЫ. Прибхаясенные метода ре иенах стационарных задач Особые граничные условия. На идеально твердой стенке(когда 'э' при х = х скачком увеличивается до + ) волновая функция должна обращаться в нуль. Поэтому, если й медленно изменяется вплоть до х, (в области типа 1), а другие точки поворота расположены достаточно далеко, то можно воспользоваться асимптотическим решением вида ).
Аналогично, если в точке, удаленной от других точек поворота, потенциал претерпевает конечный скачок, а й и и изменяются медленно,то вплоть до точки разрыва э' можно пользоваться асимптотическими решениями. В этой точке нужно затем наложить условия непрерывности волновой функции и ее производной. Как отмечалось после соотношениИ (28.5), квазиклассический метод можно применять и для решения радиального волнового уравнения, если только потенциал сферически симметричен. При ! = О радиальная волновая функция должна быть конечной в точке г= О и, следовательно, функция и должна обращаться там в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
