Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если получаемый при этом результат выразить через эффективное сечение упругого рассеяния, то, как и следовало ожидать, он будет совпадать с формулами борновского приближения (2 26). Волновые функции начального и конечного состояний запишем в виде и (г) = Е 'е'~", ии(г) = Е ье! ', где йо и й — соответственно волновые векторы в начальном и конечном состояниях. В связи с этим элементы матрицы возмущений имеют вид Н' — Е ' 1' е ~ г (г) е'"" е(г = Е ! 'в'(г) е !ет, (29.1о) где К = йо — й. Для вычисления плотности конечных состояний заметим, что допустимые значения к в кубе периодичности имеют вид и„= 2ввп„/1.
и т. д,, где и — целые положительные или отрица- 232 Гл, 'еГег Приближенные метода решения неетационарних задан тельные числа или нуль. Если компоненты волнового вектора лежат в интервале (/<„, 1ен+ И„) и т. д., то число состояний равно (Е,~2ее)еИ„00иЩ. Для дайной энергии имеется много различных конечных состояний к, соответствующих различным направлениям вектора и при заданной его величине. Обычно матричный элемент (29.13) зависит от направления и, так что каждый раз нужно учитывать лишь направления, лежащие внутри малого телесного угла. В связи с этим нас будет интересовать вероятность перехода в бесконечно малый элемент телесного угла ейп Ое(Ойдо, ориентированного в направлении, характеризуемом полярными углами О, ер.
Таким образом, 0(0)ОЕ, есть число состояний в элементе объема йтю определяемом данным элементом телесного угла и интервалом абсолютных величин 00, соответствующим интервалу энергии ЫЕ,: о(й) е(Еи = ~ — ) ИО)ез1п 0000ео. Поскольку ачР йеи аеа Е л 2и ~ ая р мы получаем для а(/е): и(й) з Зфг ~ и 0 0 ~Р' (29.14) Полученное таким образом значение в представляет собой число частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла, при условии, что в объеме Ее находится одна падающая частица.
Последнее означает, что падающий поток равен и(Ее, ь = ал/р — скорость падающей или (так как энергия сохраняется) рассеянной частицы. Поскольку дифференциальное эффективное сечение определяется отношением числа рассеянных частиц к падающему потоку, мы имеем ее (О, у) з1 и О е(0 сцр = "— „— „ю. (29.15) Подставляя (29.12), (29.13) и (29.14) в (29.15), получаем: а(0, р) =- ~ "„;) ! ~ Ъ'(г)е'"'йт! . (29.16) Этот результат соответствует формулам борновского приближения (26.18) и (26.19) и имеет те же пределы применимости.
Гармоническое возмущение. Формула (29.8) принимает простой вид также и в другом случае, когда возмущение зависит от времени гармонически в интервале от нуля (момент включения) до 1(момент выключения). Положим Н , (1') = Неа 31 и еа1', Р 2У, Неотааионарная теория возмущений 233 тогда в первом приближении для момента времени ( получим Н'в, 1(вити-о) ( ) в((оЬю — ) ( а'„" (() — '. ~ ~ . (29.17) 2РВ еопт + ео тнм Вероятность обнаружить систему в состоянии )( имеет заметную величину только в том случае, если знаменатель одного из двух слагаемых в (29.17) близок к нулю. Поэтому интерференции между двумя членами не будет, и возмущение будет вызывать лишь переходы, для которых а)з ~ ео (если только соответствующий матричный элемент не обращается в нуль).
Полученное ранее условие сохранения энергии Ез Е заменяется следующим: Ен Е ~ Йео. (29.18) Соотношение (29.18) показывает, что в первом приближении возмущение, гармонически зависящее от времени с угловой частотой (о, сообщает системе (или отбирает у нее) энерги)о Вео. Этот результат будет использован в гл. Х при качественном рассмотрении процессов излучения. Второй порядок теории возмущений. Если возмущение не зависит от времени, то систему уравнений (29.7) легко решить с точностью до величин второго порядка.
Возьмем уравнение с у = 1 и подставим в праву)о часть выражение (29.9) а(з) и мп п|п („,1 оз ~е 1 Н' Н' еопт Интегрируя это уравнение с начальным условием а)и(О) = О, получаем для амплитуды второго приближения в момент времени (: Соотношение (29.19) показывает, что переходы, вероятность которых линейно возрастает со временем, могут иметь место либо при а)„О, либо при ео„„О. В первом случае энергия,сохраняется при переходе из начального состояния л) в конечйое )(; во втором случае это может быть и не так. Легко видеть, что второй член в скобках возникает за счет единицы в числителе (29.9), появление которой в свою очередь вызвано начальным условием при 1 = О.
Это начальное условие означает, что возмущение возникает внезапно; таким образом, математическая формулировка задачи наводит на мысль, что переходы второго порядка, при которых энергия не сохрайяется, связаны с внезапным. появлением возмущения. Полученный результат находится в соответствии 234 Гл, У111, Приближенные мееиоды решения нестационарны» задач с соотношениями (29.8) и (29.17), которые показывают, что если в разложении возмущения в ряд Фурье имеются компоненты, соответствующие отличным от нуля частотам, то возмущенная система может отдавать или поглощать энергию. В рассматриваемом сейчас случае эти компоненты Фурье недостаточно исильны", чтобы обусловить соответствующие переходы в первом приближении, но во втором приближении это оказывается возможным.
В большинстве практических задач внезапное включение возмущения имеет смысл лишь математического приема, упрощающего вычисления. В действительности в подобных случаях возмущение или действует в течение всего времени, или же включается очень медленно, так что при переходах из начального в конечные состояния энергия сохраняется.
Задачи, которые можно решать при помощи апроксимации внезапных возмущений (см. конец $ 31), составляют исключение; в этих случаях энергия не обязательно должна сохраняться. В настоящем и в следующем параграфах мы будем рассматривать только переходы с сохранением энергии (еи, — 0). Предположим теперь, что в йервом приближении возмущение не вызывает переходов, т. е. в системе нет состояний и с той же энергией, что и начальная(еа„„==О), и таких, что матричный элемент Н„' ~лО. Поскольку еа, О, это означает также, что Н„ '= О,если ш,„ О.
В этомслучае второй член в скобках (29.19) никогда не достигает заметной величины. Вычисление вероятности перехода ж проводится так же, как и в предыдущем параграфе, за исключением того, что коэффициент аЯ> заменяется на аЯ>; таким образом, можно пользоваться формулой (29.12), если только заменить в ней матричный элемент Нй на матричный элемент второго порядка: В Н,'а~а,„ Ет Еа Влияние переходов первого порядка. Если переходы первого порядка все же имеют место, но приводят не в то состояние, которое нас интересует, то можно поступать следующим образом. Второе слагаемое в скобках в (29.19) для состояний и, энергия которых заметно отлична от Е, (или Е ), по-прежнему пренебрежимо мало, так как частота еа, в этом случае велика.
Однако теперь могут быть такие состояния и, для которых энергии Ееа Е и Е„близки друг к другу и оба матричных элемента Н'„„и Н„' не равны нулю. Тогда вторым членом в скобках пренебрегать нельзя, так как без него сумма или интеграл по л имели бы сингулярность при ш„= О. Нетрудно видеть, что если частота еа„ „ мала, то для любого значения шн (равного или не равного нулю) все выражение в скобках пропорционально еа, (причем в свою очередь аз„= шдш — сан„);тогда аз„в числителе и знаме- 29. Не«тани«я«рная теория возмущений 235 нателе сокращается и выражение под знаком суммы (или интеграла) становится конечным при го„= Оы. Покажем теперь, как в этом случае явно вычислить выражение в цравой части (29.19), если символ Я представляет собой интеграл по Е„или ю„. Разделим интеграл на две части, в одной из которых абсолютная величина )го„! велика, а в другой невелика по сравнению с 1/д В первой области вторым слагаемым в (29.19) можно пренебречь, так как модуль )гол„)= )гол — ю„,' также велик по сравнениго с 1/1 (приближенное равенство ю ы О означает, что произведение го, 1 мало по сравнению с единицей).
Таким образом, для этой части интеграла мы получаем р (и) Ь Йота. (29,21) Здесь д(п)Йń— число состояний в одной из рассматриваемых групп с энергией в интервале г/Е около Е„; штрих у интеграла означает, что при интегрировании исключается область — с/1 -. го - с/1, где с †постоянное чис, большое по сравнению с единицей. Если имеется нескрлько различных групп состояний п, для которых матричные элементы или плотности состояний различны, то в дальнейшем необходимо провести также суммирование по различным группам.
Во второй области, где )ю„„) с/1, мы предположим 1 настолько большим, что произведение Йа„Н„' р(п) можно считать постоянным и вынести его за знак интеграла при ю„= О. Теперь, чтобы подинтегральное выражение оставалось конечным, необходимо учитывать оба члена в скобках в (29.19). Таким образом, эта часть интеграла равна вп Нл«Н«то (и) ) опт — о — од юат юпт юпт (29.22) Интеграл, фигурирующий в (29.22), можно вычислить в комплексной плоскости ш „, проводя контур, как показано на фиг. 28. Внутри этого контура нет полюсов подинтегрального выражения, и, следовательно, интеграл по нему равен нулю; таким образом, интеграл в (29.22) будет равен интегралу по ') Этот результат носит вполне общий характер н следует нз самой структуры метода возмущений, так как в последнем не содержится никаких оснований для появлення сннгулярностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
