Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Ядро атома водорода с массовым числом 3 является радиоактивным; оно испускает электрон с энергией, не превышающей 17 000 зе, превращаясь в ядро атома гелия с тем же массовым числом. Показать, что к внеядерному электрону, первоначально находившемуся в атоме водорода, можно применять апроксимацию внезапных возмущений, в то время как другие приближенные методы приводят в данном случае к худшим результатам. Предполагая, что первоначально атом водорода находится в состоянии !8, определить численное значение вероятности обнаружить получающийся нон атома гелия в состояниях 18, 28 и 2Р. Качественно рассмотреть вопрос о балансе энергии в этом процессе. ЛИТЕРАТУРА 1.
О ! г а с Р. А. М., Ргос. )тоу. Зос., 112А, 661 (1926)! 114А, 243 (1927). 2. !ЧЬ1!1пйег Е. Т., %а!зон О. Х., А Соигзе о! Мобегп Апа1уз!з, 4СЬ еб., СашЬгЫде, Еопбоп, 1935. (Имеется русский перевод: Е. У и тте кер, Г. В атс он, Курс современного анализа, М.— Л., 1934.) 3. Н е ! ее п Ь ег д %., ТЬе РЬуа!са! Рг!пс!р1ез о! !Ье !анап!иш ТЬеогу, СМ- садо, 1930. (Имеется русский перевод: В. Гей вен бе р г, Физические принципы квантовой теории, М. — Л., !932.) 4. В о г и М., Р о с Н Ч., Еа.
!. РЬув., 51, 165 (1928). 5. О й ! ! 1 п д е г Р., Ев. 1. РЬуа., 73, 169 (1931). ГЛАВА ! Х ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ И СПИН ГЭ ~ азвитая выше квантовая теория частиц страдает тремя недостатками. Во-первых, предполагалось, что при одновременном описании двух или более частиц, например электрона и протона в атоме водорода (9 16) или падающего и атомного электронов, претерпевающих неупругое столкновение ($ 30), частицы можно отличить друг от друга.
Это допущение сраведливо в первом примере, так как масса и электрический заряд электрона и протона различны. Однако во втором случае нет наблюдаемой разницы между падающим и атомным электронами; последствия этой тождественности частиц должны учитываться в самом формализме теории. Во-вторых, в теории пренебрегают внутренним слиновым моментом количества движения (или просто саином), которым фактически обладают некоторые встречающиеся в природе частицы". В-третьих, до сих пор мы не принимали во внимание требований специальной теории относительности. Роль последней, очевидно, должна быть заметна при описании частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света.
В настоящей главе излагаются способы устранения первых двух недостатков и рассматриваются некоторые примеры. Релятивистским эффектам будет посвя1цена гл. Х11. $ 32. Тождественные частицы Тождественные частицы невозможно различить по какому-либо внутреннему свойству,так как в противном случае они не были бы полностью тождественны. В классической механике, где существуют вполне определенные траектории отдельных частиц, можно в принципе различить тождественные частицы, отличающиеся друг от друга только траекториями, так как за каждой из частиц можно следить в продолжение всего опыта. В квантовой механике вследствие конечного размера и расплывания волновых пакетов, описывающих отдельные частицы, зачастую невозможно различить тождественные частицы по их положению, особенно если они '1 Впервые наличие спина у электронов было открыто Уленбеком и Гаулсмитом !1!.
Гл. 1Х. Тождественные часшнца н спин 256 заметно взаимодействуют друг с другом. Это относится, в частности к электронам одного и того же атома, когда описание с помощью движущихся волновых пакетов оказывается полностью непригод. ным. Однако электроны различных атомов, которые достаточна удалены друг от друга, с большой степенью точности можно считать различными.
В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые эффекты, возникающие при квантовомеханическо» рассмотрении систем из двух или более частиц и связанные с тождественностью частиц. Далее будут рассмотрены другие эффекты, в которых существенную роль играет спин. Физяческий смысл тождественности. Принципиальная невозмож. ность различить тождественные частицы" в большинстве случаев, рассматриваемых квантовой механикой, может приводить к эффектам, не имеющим классических аналогий. Рассмотрим, напри мер, упругое столкновение двух тождественных частиц, взаимодействующих друг с другом по определенному закону, и сравнийй его со столкновением двух различных частиц, взаимодействующих по тому же закону.
При классическом описании эти опыты принципиально друг от друга не отличаются, поскольку как в первом, так и во втором слу-; чаях рассеивающую и рассеиваемую частицы можно отличить друг от друга. Однако практически это обычно бывает возможно лишь-' во втором опыте. Таким образом, согласно классической механике,', дифференциальное эффективное сечение, измеряемое в первом: опыте, равно сумме соответствующих сечений для рассеивающих, и рассеиваемых частиц во втором опыте.
В соответствующем квантовомеханическом случае тождественные частицы в первом опыте нельзя различить по их траекториям,так как невозможно локализовать частицы, не нарушая при этом процесса рассеяния. Таким образом, различие между рассеивающей и рассеиваемой частицами не имеет физического смысла и простое классическое соотношение между результатами обоих опытов может и не иметь места.
Под тождественными мы будем понимать такие частицы, при перестановке которых в любых возможных условиях физическое состояние системы остается неизменным. Иногда тождественные частицы можно отличить друг от др уга, например в тех случаях, когда описывающие их волновые пакеты не перекрываются. Частицы можно различить также, если они обладают олином, значение которого сохраняется при столкновении. Будем считать, что проекция спина на некоторую ось не меняется при столкновении. В этом случае можно различать частицы, если соответствующие проекции их спиноз различны.
Естественно, М Фактически дело, конечно, не в наших экспериментальных воэможностнх, а в объективных свойствах частиц. — Принс нарев. в" 22. Тождественные частицы 257 подобные результаты должны сами собой вытекать из того фор- мализма, который будет развит ниже. Симметричные н внтиенмметрнчные волновые функции. Уравнение Шредингера для системы п тождественных частиц имеет вид вз,— р(1,2, ... л,1) — Н(1, 2, ..., п)вр(1,2, ..., и, 1), (32,1) где каждое число характеризует все координаты частицы (пространственные и спиновые).
Гамильтониан, очевидно, симметричен относительно любой перестановки своих аргументов. Действительно, в силу тождественности частиц их можно менять местами, не меняя гамильтониана. Уравнение (32.1) имеет два типа решений, свойства симметрии которых представляют особый интерес. Если волновая функция не меняется при перестановке любой пары частиц, чему соответствует перестановка аргументов, то она называется симмеглричной.
Если же при перестановке любой пары частиц знак а изменяется, то волновая функция называется анвлисиммевлричной. Покажем те. перь, что с течением времени характер симметрии волновой функции не изменяется. Пусть в некоторый момент времени 1 функция врэ симметрична. Тогда функция Нуз тоже симметрична, и из уравнения (32.1) следует, что симметрична и производная Эврэ~зб Поскольку в момент 1 волновая функция рэ и ее производная по времени симметричны, волновая функция будет симметричной и в более поздний момейт 1+ и1, ибо она равна уз+ (9рв/Э1)й. Такой процесс последовательного интегрирования волнового уравнения можно в принципе продолжать сколь угодно долга, и мы видим, что функция врз все время будет оставаться симметричной.
Аналогично, если функция вр„в некоторый момент времени анти- симметрична, то антисимметричными будут и Нр„и двр„/Эг. Интегрируя аналогичным образом волновое уравнение, убеждаемся, что волновая функция вр, будет оставаться антисимметричной все время. Это доказательство не изменится, если аргументами Н и вр будут координаты тождественных частиц, входящих в две или более различные группы; поэтому если волновая функция симметрична или антисимметрична по отношению к перестановке координат тождественных частиц, входящих в каждую группу, то характер симметрии ее не изменяется со временем.
В связи с этим различные группы тождественных частиц, встречающихся в природе, могут обладать определенными свойствами симметрии, что и имеет место в действительности; при этом опытные данные однозначно говорят о том, что электроны, протоны и нейтроны описываются анти- симметричными волновыми функциями. 17 Л. ШИФФ 258 Гл, вХ. Тождественные настицы и спин Линейные комбинации несимметризованных функций.
Покажем теперь, каким образом можно получить !сс и !сп из функции !с, пред ставляющей собой общее несимметризованное решение уравне. ния (32.1). Если совершить какую-либо перестановку аргумент тов ер, то в результате вновь получится решение уравнения (32.1). Дей ствительно, уравнение (32.1) не изменится, если в обеих его част~щ совершить одну и ту же перестановку (такая перестановка означаей лишь изменение нумерации частиц), а оператор Н симметричен', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
