Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 9
Текст из файла (страница 9)
39 (напомним, что 1, гп, Π— соотвстствеш1о орбитальное, магнитное и спнно~вое квантовые числа). Подчеркнем, что ,координаты и составляющие импульса микрообъекта (в данном случае электрона) попадают в разные полныс наборы величин; указанные физические величины одмовреме1пю неизмеримы. И11енно поэтому классические соотношения (1.2) и (1.3) не,работают,пр|и переходе к микрообъектам; ведь в каждое из этих соотношений входят и координаты, и импульс. Набор (З.бб) используют, в частности, для описания состояний свободно движущегося электрона; при этом оказывается определенной также,и энергия электрона: Е= (р.е+рн'+р,')12т ". Набор (З.бв) используют обычно для о11исання состояний электрона в атоме. Для описания состояний фотона используют чаще лссго следующие наборы: ции отражения,в зеркале.
Впоследствии (см. $ 20) мы остановимся на этом подробнее; здесь же мы отметим только, что четность принимает два значения; Р= 1, — 1. Набор (3.7а) используют для описания состояний фотонов, отвечающих плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также и энергия фотона (напомним; Е=йы=йсп). О состояниях, описываемых набором (3.7а), говорят как о йа-состоянггях. Набор (3.7б) используют для описания состояний фотонов, отвечающих сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно тому, как сферическая волна может быть п~редставлена в виде суперпозиции плоских волн, состояние фотона, определяемое набором (3.7б), может быть представлено в виде «суперпозиции» состояний, определяемых |набором (3.7а). Верно также и противопологкное заклгочение— о представлении, плоской волны в виде суперпозиции сферических волн.
Здесь мы коснулись (пока только коснулись!) одного из наиболее важных и тонких аспектов квантовомеханического описания материи — специфики «взаимоотношений» состояний микрообъекта, описываемых разными полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее коггспруктивном принципе квантовой механики — принципе суперпозиции состояний.
Суперпозиция состояний будет обстоятельно рассмотрена во второй главе; здесь же пока ограничимся сделанными замечаниями. Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное в $ 2 основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если воспользоваться идеей дуализма, а точнее, соотношениями неопределенностей (3.2). Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е, на уровень Е, при поглощении фотона с энергией Ьы=Е,— Еь Напомним, что противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. Легко видеть, что теперь этот вопрос попросту теряет смысл.
Действительно, есл~и до и после взаимодействия с излучением имеем связанный электрон с энергией соответственно Е, и Е,, то во время, взаимодействия с излучением имеем единую кеантоеомеханическую систему, включающую в себя и электрон, и излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит взаимодействие с излучением) и, согласно (3.2), пе может иметь какой-либо определеп- 40 пой энергии. Поэтому нет смысла выяснять, чтб именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия электрона с фотонами нет, строго говоря, ни электрона, ни фотонов, а есть нечто единое целое, которое и следует ~рассэгатривать именно как единое целое — без уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя безгранично детализировать ~во,врегиени физический ~процесс.
Вопрос: что происходит после чего? — не всегда можно ставить в отношении микроявлений ". Соотношения неопределенностей (3.2) позволяют ввести и использовать для объяснения квантовых переходон весьма важное в квантовой теории понятие так называемых впртуальльгх пере- холов. Проведем здесь упрощенное рассмотрение виртуальных переходов, предполагая дать более обстоятельное объяснение позднее в й б. Согласно соотношеншо (3.2), электрон может перейти с уровня Е~ на уровень Е> и без получения энергии извне; важно лишь, чтобы он быстро возвратился на исходный уровень Еь Подобвое «путешествие» (Ег->Ег->Е1) возможно, если его длителыюсть бс такова, что выполняется неравенство Ъ,(И) (Ез — Е1), поскольку в этом случае неопределенность энергии электрона больше разности энергий рассматрнвасмых уровней.
Отсюда видно, что фраза «элсьтрон живет на уровне Е,> может пониматься весьма своеобразно — как беспрестанные «переходы» электрона с данного уровня на другие с обязательным возвращением всякий раз на исходный уровень Еь Такнс переходы нельзя обнаружить экспериментально; в отличие от обычных (реальных) переходов нх называют виртуальными.
При взаимодействии совершающего виртуальные переходы электрона с излучением возможна смена «прописки> электрона, например он станет «жнть» на уровне Е„т. е. в дальнейшем будет совершать виртуальпыс переходы уже не относительно уровня Еь а относительно уровня Ез. Если это произошло, то говорят, что электрон поглотил фотон с энергией Ъ.г>=Е> — Е| и совершил переход с уровня Е1 на уровень Еь Виртуальные переходы не требуют затраты энергии извне; реальные же переходы невозможны без затраты энергии — это есть энергия фотонов, поглощаемых (пли испускаемых) электронама в процессе взшгмодействпя с излучением.
Для пояснения различия между реальными и виртуальными псреходамн заметим, что реальный переход с некоторого уровня Е, на уровень Ез и обратно можно разбить на два последовательных временных этапа (можно экспериментально зарегистрировать электрон н промежуточном состоянии, т. е. на уровне Ез). Виртуальный же переход с уровня Е1 на уровень Е> и обратно принципиально нельзя разбить на два временных этапа— обе «части> перехода (туда н обратно) слелует рассматривать во времени как единый, неделимый процесс. * «Противоречие» квантовых переходон полностью снимается при рассмотрении принципа суперпозиции состояний (см. $ 10). 41 Соотношение неопределенностей «число фотонов— фаза». Используемые в квантовой тсорпи соотношения неопределенностей отнюдь не исчерпываются соотношениями (3.2) — (3.4).
В качестве сше одного такого соотношения укажем соотношение неопределенностей для числа фотонов и фазы волны. Пусть имеется монохроматическое излучение частоты ы. С одной стороны, оно может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый мз которых имеет энергию йви с другой стороны — как классическая электромагнитная волна.
Пусть У вЂ” число фотонов в:рассматривасмом объсме, а Ф=ы( — фаза классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов М) и во.чно~вая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно определенные значения; существует соотношение неспрсделеппостей (3.8) ЬЛглФ =- 1. Чтобы прийти к соотношению (3.8), будем ~исходить из соотношения неопределенностсй для энергии и времени. Напомним, что для измсрения энергии квантового объекта с точностью ЛЕ надо затратить время М~ЦЛЕ.
Если в качестве квантового о~бъекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае ЛЕ= ЙыЛЛ', где ЛЛà — неопрсдсленность числа фотонов. В течение времени Л1, нсобходимого для измерения энергии объекта с точностью до йыЛХ, фаза Ф обьекта изменится на величину ЛФ=-ыйй Подставляя сюда соотношение М й/йиЛЖ, находим ЛФ > 1(ЛМ, что и требовалось показать. В соотношении (3.8) отразилось диалектически противоречивое единство корпускулярных и волновых свойств излучения.
Нсопределспность ЛФ мала, когда ярко выражены волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико У), а следовательно, и неопределенность ЛМ. С другой стороны, неопределенность ЛМ мала, когда,в коллективе мало фотонов; в этом случае ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика неопределенность ЛФ. 42 й 4.
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЪ|ТЕКАЮЩИЕ ИЗ СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атоле водорода в оснолнол| состоянии. Воспользуемся известным| классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоповском поле р2 е2 Е= — — —, 2т г (4.1) где т и е — соответственно масса,и заряд электрона.
Чтобы использовать классическое выражение (4,1) в квантовой теории, будем рассматривать величины р и г, входящие в него, как неопределенности соотвстствспно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению (З.З), этими величины связаны друг с другом. Положим рг=й,,нли проще рг=й. (4.2) Используя (4.2), исключим величину г из (4.1). Получим р2 е2р (4.З) 2гл гь Легко убедиться, что функция Е(р) имеет минимум при некотором значении р=-рб обозначим его через Еь Величину Ег можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а,величину г| =Црг— как оценку линейных размеров атома (в теории Бора это есть радиус первой орбиты). Приравнивая нулю, произл водную — Е (о), находим рг = паек!й.
Отсюда немедленно гер получаем искомые оценки [сравните с (2.6) и (2.7)): И2 тет г,= —, Е,= —— (4.4) те2 2И2 Оценки (4А) полностью совпадают с результатами строгой теории *. Конечно, к такому ~полному совпадению ". В строгой теорпн вслнчнна г, сеть характерное для основного состояния атома водорода расстояние от ядра, на котором наиболее вероятно обнзружнть электрон [см, в связи с этнм выраженяе (5.4)1. 43 надо относиться в известкой мере как к случайиому успеху.
Всерьез здесь следует, рассматривать лишь порядок величин. Подчоркпем, что этот порядок оценивается, как мы вилим, весьма просто: достаточно заменить в классическом выражепии (4.1) точпые значения дииампческих переменных величипами, характеризующими степспь «размытия» этих перемеппых, т. с. их пеопрелелеппостякми, а затем воспользоваться кваптовомехаиическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности. Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Энергия классического олцомерпого гармопического осциллятора описывается выражением Рк + кню»х2 2т 2 (4.5) Рассматривая р„,и х как цсопрелелеииости импульса и координаты осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения иеопределепиостей равенством р„х=й, получаем из (4.5) 44 2 Е(р )= — + 2р2 х И Приравнивая нулю произволпую — Е (р ), находим веер, личику ра=+'Гкн2й Ь при которой функция Е(р,) прииимаст минимальное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
