Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Универсальные динамические переменные. При переходе от макрообъектов к микрообъектам следует ожидать качественно новых ответов на вопросы: какими динами- 20 ческими переменными описывается состояние объекта? как описывается его движение? Ответы на эти вопросы в существенной мере раскрывают специфику физики микрообъектов. В классической физике используются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса. Как известно, эти законы являются следствиями определенных свойств симметрии пространства и времени.
Так, закон сохранения энергии — следствие однородности времени (следствие независимости протекания физических процессов от выбора того или иного момента в качестве начала отсчета времени); закон сохранения импульса— следствие однородности пространства (следствие того, что все точки пространства физически равноправны); закон сохранения момента импульса — следствие изогропности пространства (следствие того, что все направления в пространстве физически равноправны). Для пояснения свойств симметрии пространства и времени заметим, что благодаря этим свойствам, например, законы Кеплера для движения планеты вокруг Солнца не зависят от положения Солнца в галактике, от ориентации в пространстве плоскости движения планеты, а также от того, в каком именно столетии открыты эти законы. Связь между свойствами симметрии пространства и времени и соответствующими законами сохранения означает, что энергия, импульс и момент могут рассматриваться как интегралгя движения, сохранение которых есть следствие соответственно однородности времени, однородности и изотропности пространства.
Отсутствие каких-либо экспериментальных указаний на нарушение в микроявлениях отмеченных выше свойств симметрии пространства и времени позволяет заключить, что такие динамические переменные, как энергия, импульс, момент импульса, должны сохранять смысл и в применении к микрообъектам. Иначе говоря, связь этих динамических переменных с фундаментальными свойствами симметрии пространства н времени превращают их в универсальные переменные, т. е. переменные, имеющие «хождение» при рассмотрении самых различных явлений из самых разных областей физики. Однако при переносе понятий энергии, импульса н момента импульса из классической физики в квантовую механику необходимо учитывать специфику микрообъектов.
Напомним в связи с этим известные выражения для 21 энергии (Е), импульса (р) и момента импульса (М) классического объекта, имеющего массу т, координату г, скорость в: Е= ™ +(у(г), р=ти, М=п>(г Хо). (1.1) 2 Исключая скорость, получаем отсюда соотношения, свя- зывающие вверг>по, импульс и момент импульса класси- ческого объекта; р2 Е= — +1У (г), 2т (1.2) М=(г Х р). (1.3) Если обратиться к микрообъекту, то, забегая несколько вперед (см. э 3), следует подчеркнут>п соотношения (1.2) и (1.3) теперь не годятся.
Иначе говоря, привычные классические связи между интегралами движения прп переходе к микрообъсктам становятся непригодными (что же касается соотношений (1.1), то о них вообще пе следует говорить, поскольку само понятие скорости микрообъекта, как мы убедимся ниже, пе имеет смысла). Это есть первое качественно новое обстоятельство, Для рассмотрения других качественно новых обстоятельств необходимо обратиться к двум основополагающим идеям квантовой механики --идее квантования >ризичсских величин и идее >сорнускулярно-волнового дуализма.
а 2. дВе ОснОВОпОлАГАющие идеи кВАнтОВОЙ МЕХАНИКИ Идея квантования (дискретности). Сущность идеи квантования состоит в том, что некоторые физические величины, относящиеся к микрообъекту, могут в соответствующих условиях принимать только какис-то вполне определенные, дискретные значения. Об этих величинах говорят, что они квантуются. Так, квантуется энергия любого микрообъекта, находящегося в связанном состоянии, например энергия электрона в атоме. Энергия же свободно движущегося микрообъекта не квантуется. Предположим, что рассматривается энергия электрона в атоме.
Дискретному набору значений энергии электрона соответствует система так называемых энергетических рровней. Рассмотрим два энергетических уровня: Е, и Ем как показано на рис. 2.1 (по вертикальной оси откладываются значения энергии электрона). Электрон может иметь энергию Е! илн энергию Еэ н не может иметь какую-либо «промежуточную» энергию — все значення энергии Е, удовлетворяющие неравенствам Е,<Е<Ея, для него запрещены ". Примечательно, что дискретность энергии отнюдь не означает, что электрон «осужден» вечно находиться в исходном энергетическом состоянии (напрнмер, на уровне Е!). Электрон может перей- Рис.
2.1 (! 1! в„=2псу;! !1 — — — ~, 14 пт~ (2.1) где и — целые числа 3, 4, 5, ...; с — скорость света, Я— так называемая постоянная Ридбергп ()с=1,097 10' м-'). Формула (2.1) установлена Бальмером; поэтому принято называть совокупность частот, описываемую этой формулой, серией Бальмера. Частоты серии Бальмера попада- * Возможна спепифическая для квантовой механики ситуация, когда следует полагать, что электрон находится и на уровне Еь и иа уровне Ея (см.
$ !О). 23 ти на другои энергетическни уровень (уровень Ея илн какой-то другой), получив или испустив соответствующее количество энергии. Такой переход называется квантовым переходом. Квантовомеханическая идея дискретности имеет довольно длинную предысторию. Еще в конце Х1Х в. было установлено, что спектры излучения свободных атомов являются линейчатыми (состоят из набора линий), содержат определенные для каждого элемента линии, которые образуют упорядоченные группы (серии). В 1885 г.
было обнаружено, что атомарный водород дает излучение с частотами ет„(здесь и ниже используются циклические частоты от, связанные с обычными частотами т соотношением пт=2ят), которые можно описать фор- мулой ют в область видимого спектра. Позднее (в начале ХХ в.) были открыты дополнительные серии частот излучения атомарного водорода, попадающие в ультрафиолетовую и инфракрасную части спектра.
Закономерности в структуре этих серий оказались тождественными с закономерностями в структуре серии Бальмера, что позволило обобщить формулу (2.1), записав ее в виде г»„=2пс)г'~ — — — ~ . /! ! (2.2) ~йз пг~ Число й фиксирует серию, причем в каждой серии и>'я; й=2 дает серию Бальмера, й=! — серию Лаймана (ультрафиолетовые частоты), я=З вЂ” серио 1гагиена (инфракрасные частоты) и т.
д. Закономерность в структуре серий была обнаружена не только в спектре атомарного водорода, но также и,в спектрах других атомов. Она определенно указывала на возможность каких-то обобгцений. В качестве такого обобщения Ритц выдвинул в 1908 г. свой комбинационный принцип: «Если даны формулы серий и известньг входягцие в них постоянные, то путем комбинации в виде сумл и разностей ложно новую открытую линию в спектре вывести из ранее известных».
В применении к водороду этот, принцип следует понимать так. Составим для разных чисел и так называемые спектральные терлгы: Т (п) = 2пс)~,'пг. Тогда каждая наблюдаемая в спектре водорода частота может быть выражена ~в виде комбинациями каких-то двух спектральных термов. Комбинируя спектральные термы, можно предсказывать различные частоты. Примечательно, что в это же время идея дискретности прокладывала себе путь егце в одном направлении (не имеющем отношения к спектроскопии атомов).
Речь идет об излучении внутри замкнутого объема, ~или, иными словамн, об излучении абсолютно черного тела. Анализируя экспериментальные данные, Планк в 1900 г. выдвинул знаменательную гипотезу. Он предположил, что энергия электромагнитного излучения испускается стенкам|и полости не,непрерывно, а ггорциями (квантами), причем энерпия одного кванта равна Е= йгь, (2.3) где ы †часто излучения, а й — некоторая уннверсаль- 24 ń— Ед (О = Ъ, (2.4) Формула (2.4),выражает знаменитое правило частот Бора.
В теории Бора п-му стационар~ному состоянию атома водорода соответствует круговая орбита радиуса г„, по которой электрон движется вокруг ядра. Для вычисления г„ Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской силы: "л ед д гп— гл г л (2.5а) (здесь и .и е — масса и заряд электрона, и„ вЂ” скорость электрона на п-й орбите), и, во-вторых, условием квантования момента~импульса электрона ти„г„=пй. (2.5б) ная постоянная (так в физике появилась постоянная Планка). Как известно, гипотеза Планка обеспечила согласие теории с экспериментом и, в частности, устранила неприятности, возникавшие в прежней теории при переходе к большим частотам и известные под названием «ультрафиолетовой катастрофы» (см., например, (17)) Идея квантования и модель атома водорода по Бору.
В 1913 г. Бор предложил теорию атома водорода. Эта теория возникла как результат «слияния» планетарной модели атома Резерфорда, комбинационного принципа Рнтца и идеи квантования энергии Планка. Согласно теории Бора, существуют состояния, находясь в которых атом не ~излучает (стационарные состояния); энергия этих состояний образует дискретный спектр: Еь Е,, ..., Е„, ... Атом излучает (поглощает), переходя,из одного стационарного состояния ~в другое; излучаемая (поглощаемая) энергия есть разность энергий соответствующих стационарных состояний. Так, при переходе из состояния с энергией Е„ в состояние с меньшей энергией Ед ~испускается квант излучения с энергией (Е„ — Ед), при этом в спектре атома появляется линия ,с частотой (2.7) 26 Используя соотношения (2.5а) и (2.М), легко найти г„ н о„: гл и ' ~л е» (2.6) тгт Ьл Энергия Е„стационарного состояния состоит из кинетического (Т„) и потенциального ((/„) слагаемых: Е„= =Т +(/„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
