Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эффект Комптона получил объяснение а предположении, что пучок рентгеновских лучей ведет себя как поток фотоиоа, которые испытывают упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением заьоноп сохрааения энергии и импульса для сталкивающихся частиц. При этом достигалось не только качестаеняое, но и колпчестиснное согласие с экспериментом (см.[17]). йпть Е Лм,р Х [2.1Ц В 1924 г. де Бройль, предложил распространить идею дуализма не только на излучение, но и вообще на все микрообъекты. Конкретно: он предложил с каждым микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярнгае характеристики (энергию Е и импульс р), а с другой стороны, волновые характеристики (частоту ю и длину волны Х). Взаи~мосвязь между характеристиками разного типа осуществляются, по де Бройлю, через,постоянную Планка й следующим образом: (второе из этих соотношений известно как формула дв Бройля).
Для фотонов соотношения (2.11),вьгполняются автоматически, если в (2.10) полста~вить ьз=2пс/Х. Смелость гипотезы де Бройля состояла в том, что соотношения (2.!1) предполагались выполняющимися ~не только для фотонов,,но и вообще для любых микрообъектов, в частности для таких, у которых есть масса покоя и которые до этого ассоциировались с корпускулами. Гипотеза де Бройля получила в !927 г. подтверждение: была обнаружена дифракция электронов, Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие пластинки, Дэвиссон и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили на экране-детекторе характерные дифракционные кольца.
Для «электронных волн» кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки. Измерения расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной энергии подтвердили формулу де Бройля. В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они пропускали через дифракционное устройство .крайне слабый электронный пучок — промежуток времени между последовательными актами пропуокания (между двумя электронами) более чем в 10' раз превышал время, необходимое для прохождения электрона через устройство.
Это давало уверенность в том, что на поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт ~показал, что при длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе достаточно большое число электронов,~возникала такая же дифракционная картина, что и,в случае обычных электронных пучков. Отсюда следовало, что волновые свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект коллектива электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон. Роль постоянной Планка.
Идея квантования вводит дискретность, а дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет «границу» между микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию, обладающую размерностью длины: г,= — =0,53 10-' см ъ,з (2.12) тех з! (заметим, что г1 есть радиус первой орбиты в теории Бора). В соответствии с (2.12) величина порядка 10 — «см ,может рассматриваться как,пространственная «граница» ~мнкроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.
Если бы при прочих равных условиях постоянная й была бы, например, в 100 раз больше, то, согласно (2.12), «граница» микроявлений оказалась бы порядка 10 4 см. Это означало бы, что микроявлеиия стали гораздо бл~иже к нам, к нашим масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами,,материя оказалась бы в этом случае более «кру~пнозернистой» и следовало бы при более крупных масштабах пересматривать классические предста~влепив.
Как указывалось ранее, проекции ~момента микро- объекта отличаются друг от друга на величины, кратные й (см. (2.9б)]. Следовательно, здесь постоянная Планка является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше й, то его квантованием можно пренебречь; в этом случае приходим к классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент .не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь ~квантованием пренебречь принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет классического аналога (это обстоятельство уже отмечалось в 5 1).
Постоянная Планка органически связана не только с ~идеей кванте~ванин, но также и с,идеей дуализма. Из (2.11) видно, что эта постоянная играет весьма важную роль — именно она осуществляет «связь» между корпускулярными и волновыми характеристиками .мнкрообъекта.
Указанное обстоятельство особенно хо~роша видно, если переписать (2.11) в виде, позволяющем учесть векторную:природу импульса; Е=йм, р=ай. (2.13) Здесь й — волновой вектор; его направление совпадает с направлением ~распространения волны, а величина выражается через длину волны следующим образом: й= =2л~Х. В левые части равенств 1в (2.13) входят корпускулярные, а ~в правые — волновые характеристики микро- объекта. Попутно отметим, что |вид соотношений (2.13) указывает на релятивистскую инва~риантность идеи дуализма. Итак, постоянная Планка играет в квантовой механике две оспо~впые;ролн — служит мерой дискретности и связывает воедино ко~рпусгтулярный и волновой аспекты движения материи.
Тот факт, что обе,роли, играет одна и та же постоянная, косвенно указывает па,внутреннее единство двух основополагающих идей квантовой механики, В заключение подчеркнем, что наличие в том или ином выражении постоянной Планка является характерным признаком «квантовомеханической природы» этого выражения ". 5 3. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Идея дуализма и соотношения неопределенностей.
Рассмотрим совокупность большого числа плоских волн (природа волн несущественна), распространяющихся, например, гдоль оси х. Пусть частоты волн «разбросаны» в некотором интерьале Лю, а значения волнового вектора — в интервале Лй„. Если наложить друг на друга все эти плоские волны, то в результате получится волновое образованно, ограниченное в пространстве,— так называемый волновой пакет (рис. 3.!). 1'азмытис волнового пакета в пространстве (Лх) и во времени (Л1) определяется соотношениями: Л~яйт')1, Лгг, Лх ) 1. Эти соотношения хорошо извесйгы в классической физике. Тот, кто знакоми с радиотехникой, знает, что для создания более локализованного сигнала надо взять побольше плоских,волн с разными частотами. Иначе говоря, чтобы уменьшить Лх ~и Л1, надо увеличивать Лй„и Лсь * Обратное утвсрждснпе нсвсрно.
Заметим в связи с этим, что было бы неправильно пытаться сводить, как это иногда делают, все «сугдсство» квагповой механики к наличию постоянной Планка. 33 2 — 23! 9 (3,2) (3.3) дЕд1) й, др„.дх) й. Этн соотношения были впервые введены Гейзенбергом в !927 г. Их принято,называть соотношениями неопределенностеи. Соотношения (3.2),и (3.3) следует дополнить слсдуюгцнм соотношением ~еопрсдслсппостсй: (3.4) где д~р„— неопределенность угловой координаты микро- объекта (рассматривается ~поворот около оси х), а Л̄— неопределенность проекции момента на ось х. По аналогии с (3.3) ~и (3.4) могут быть записаны соовношени~я для других проекций импульса и ьчомепта: (3.3а) (3.4а) др„ду) й, др,дх) й, дМ„дт„) й, дМ,дт,) й.
Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим соотношение (3.3). Здесь Лх — неопределенность х-координаты микрообъе~кта, Др„— неопределенность х-проекции его импульса. Чем меныпе Лх, тем больше Ьр„, и наоборот. Если микрообъект локализован в некоторой определенной точке х, то х-проекция его импульса должна иметь сколь угодно большую |неопределенность. Есл~и, напротив, микрообъект находится в состоянии с определенным значением р„ то он должен быть делокализован по всей оси х.
Иногда соотношение неопределенностей (3.3) трактуют так: нельзя измеритыкоордипату и импульс мпкро- Зл Далее отвлечемся от ~волнового пакета ~и будем формально ~полагать, что соотношения (3.1) справедливы пс только для классических волн, по также н для,волновых характер|нстик микрообъекта. Подчеркнем, что это предположение отнюдь нс означает, что в действительности мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового пакета.
Если рассматривать в (3.1) величины ы и /е„как волновые характеристики микрообъкта и воспользоваться соотношениями (2.13), то нетрудно перейти к аналогичным выражениям для корнускулярных характеристик мцкрообъекта (для его энергии и ммпульса): объекта с произвольно высокой точностью одновременно; чем то шее измерена координата, тем менее точно может быть ~измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, поскольку из пее можно вывести ложное заключение, что смысл соотношения (З.З) сводится к ограничениям, которые опо накладывает на процесс измерения. В этом случае можно предположить, что сам по себе микрообъект имеет и .какой-то ~импульс, и какую-то координату, но соотношение неопределенностей не позволяет нам измерить ~их одновременно.
В действительности же ситуация здесь иная — просто са~м микрообъект не,может одновременно иметь и определенную,координату, и определенную соответствуюгцую проекцию импульса; если, например, он находится в состояни|и с более определенным значением коорд~ипаты, то в этом состоянии соответствующая проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что отсюда вытекает и фактическая невозможность совместного ~измерения координат и импульсов микрообъектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
