Тарасов Л.В. Основы квантовой механики (1185096), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Легко убедиться, что это значение равно Еа — Е (р,)=й ъ (4.7) Этот результат весьма,иптересеи. Оп показывает, что в квантовой механике энергия осциллятора ие может обратиться в нуль; ее минимальное значение оказывается порялка йн. Это есть так называемая энергия нулееь2х колебаний. Заметим, что оценка (4.7) отличается от точного выражсиия для э~ерпии пулевых колебаний лишь множителем '/2 (точиый результат: Ед=йь2!2).
Учитывая существование нулевых колебаций, можпо прийти, в частности, к следующему интересному заключеипю: энергия колебательного д~вижеиия атомов кристалла ие обращается в нуль даже при температуре абсолютиого нуля. (4.8) Здесь пг — эффективная масса электрона в зове проводимое~и.
Рассматривая р„и х как неопределенности .импульса и координаты электрона и,пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством р„х=й, получаем из (4.8) г Е(р )= —, Р» д'«Ъ, 2т р« (4.9) Далее, как обычно, приравниваем нулю производную з — Е)р ) и находим значение р«-— — — )г'г«еггпг, при ко"Рк Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство; нельзя реализовать ьникрообъект на «дне потенциальной ямы», или,:иначе говоря, «микро- объект,пе может упасть на дно потенциальной ямы». Этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием соотношения неопределенностей: «падсние на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса млкрообъскта, а вместе с тем и,неопределенности импульса; в этом случае неопределенность ,координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту ~пребываггия микрообъекта ~в потенциальной яме.
Оценка величины «размытия» края полосы оптического поглощения в эффекте Франца — Келдыша. Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и независимо от него Францем„состоит в следующем: во:внешнем однородном электрическом поле минимум энергии электроно~в в зоне проводимости в полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к «размытию» края основной полосы оптического поглощения (в результате становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины запрещенной зоны) )22). Характеризующая указанное «размытис» ~вели- чипа энергетического смещен~ив электронных состояний может быть оценена таким же методом, каким были получены предыдущие оценки.
Воспользуемся классическим выражением для энергии заряженной частицы в электрическом поле напряженностью «»" г 2 Р„ Е= — — аех. 2т тором функция Е(р«) достигает минимума: з з, з Е„= — »'(дед)' т= 1 фей)«и. 2 (4.10) Выражение (4.10) как раз и дает оценку величины «размытия» края основной полосы оптического поглощения в эффекте Франца — Келдыша. Почему электрон не падает на ядро? Постулируя стационарные состояния, теория Бора не объяснила„почему все-такн электрон, двигаясь ускоренно,пе излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение (3.3) объясняет это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно, существенное уменьшение неопределенности его координаты: если до падения на ядро электрон локализован в пределах атома, т, е.
в области пространства, линейные размеры ,которой порядка й'/пге'=1О-«см (см. (4.4)], то после .падения на ядро электрон должен был бы локализоваться,в области с линейными размерами меньше 10 —" см. Согласно (3.3), более сильная локализация микрообъекта в пространстве связана с «размытием» его,импульса, поэтому при падении па ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего требуется затрата энергии. Получается, что нужно усилие отнюдь не для того, чтобы «удержать» электрон от падения па ядро, а совсем наоборот — нужно усилие, чтобы «заставить» электрон локализоваться~в пределах ядра. На примере пулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микроо~бъект в потенциальной яме всегда имеет отличную от муля минимальную энергию Ем Величина Е» зависит, в частности, от пространственных размерон ямы (от ее пгиримы а, определяющей степень прострапспвсвной локализации микрообъекта).
Учитывая соотношение неопределенностей, легко сообразить, что ЕО 2 (4.11) Если а уменьшается, то Е, растет. При достаточно малом а энергия Е, может стать больше глубины,потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме:микрообъект вообще не реализуется. Падение электрона на ядро соответствует уменьше.нию ширины,потенциальной ямы от 10 †« до !О-" см (я даже меньше). Согласно (4.11), минимальная энергия 46 Е«должка при этом возрасти — от 10 до 10» эВ (и больше). В результате минимальная эпе|ргия электрона оказывается иа .несколько порядков больше энергии связи пуклоиа в атомиом ядре (последняя це ~превышает 1О' эВ). Это значит, что в ядерной потенциальной яме электроп вообцге ис реализуется, так что никаким образом даже насильно нельзя его «заставить» локализоваться в пределах ядра.
Тем самым ис только снимается проблема «падеиия электрона иа ядро», ио решается и другой прииципиальпый вопрос: в состав атомного ядра электроны не входят. О «траектории» микрообъекта. Чтобы начертить траекторию некой частицы, кадо„ строго говоря, для каждого момента времсии знать координату и импульс частицы [действительио, что~бы изобразить зависимость х(>), задо для каждого ~ знать х и ггх>дг) Поскольку, согласно соотиошемию исопределсииостей (3.3), микро- объект пе может одповрсмеипо иметь и определенную координату, и опредслспиую соответствующую проекцию импульса, то отсюда следует вывод: понятие траектории к микрообъекту, строго говоря, пепримеиимо.
Отказ от траектории связан с наличием у микрообьектов волновых свойств, которые ис позволяют рассматривать микрообъскты как классические корпускулы. С перемещением микрообъекта вдоль осп х нельзя сопоставлять диффсрсицируемую функцию х(>), столь широко ~используемую при рассмотрении механики классичепсих объектов; по известному значению х в некоторый момент 1 нельзя п|редсказать значение координаты миккрообт~екта в момент >+ай В применении к теории Бора рассмотренное обстоятельство означает отказ от самого понятия «орбита элскпропа в атоме».
Можно говорить о локал~изации электрона в прсделах атома в целом; орбита же требует существеипо большей прострапствеивой локализации. К чему может привести такая локализапия, можно почувствовать, обратившись к рассмотрсииой выше проблеме «падеиия электрона иа ядро». Планетарная модель атома оказалась, таким образом, лишь неким промежуточным этапом в процессе развития наших представлений об атоме.
Много позднее, в 50-с годы, сам Бор, смеясь, вспомииал,,как после одной из лекций вышел студент и спросил: «Неуэхели действительно были такие идиоты, которьге думали, что электрон вращается по орбите?» Звмстим, что пмсстс с откосом от орбит элсктроив и вгомс впгомвтичсскп сипмпстся и огмсчввшссси п й 2 прогиворсчис, спяэпннос с проблемой «м~новсннога» псрсскпкнвпшш элок~рона с одной орбиты нв другую.
Существуют, однако, ситуации, когда понятием «траектория микрообъскта» пользоваться все же допустимо. В качестве примера рассмотрим движение электронов в кинескопе телевизора. Импульс электрона вдоль оси трубки есть р=)'2птес/, где У вЂ” ускоряющее напряжение. Формирование пучка электронов означает определенную локализацию координаты в поперечном направлении; степень этой локализации характеризуется диаметром пучка с(. л ~ Согласно (3.3), долгкыа существовать неопределенность импульса электрона в направлении, перпендикулярном оси пучка: Лр 6!г(.
В силу этой неопределенности электрон может отк.топиться от оси пучка в пределах угла ЛО=ЛрУр — Црг(. Пусть г'. — длина пути электрона в кинескопе; тогда неопределенность положения точки попадания электрона на экран будет характеризоваться величиной Лх=1.ЛО= Щрг(. Полагая 0=20 кВ, бг= 10 — в см, г'.=1От см, находим отсюда Лх=10 — ' см.
Таким образом, обусловленное соотношением неопределенностей «размытие» точки попадания оказывается значительно меньше диаметра пучка. Ясно, что в таких условиях движение электрона можно рассматривать классически. Возможность подбарьерного прохождения микро- объекта (туинельный эффект). Предположим, что имеется, потенциальный барьер, высота которого У больше, чем эноргия частицы (рис. 4.!). Поставим вопрос: может ли частица, находясь где-то слева от барьера, оказаться через некоторое время оправа от него при условии, что она не получает энергии извне? Классическая механика дает отрицательный ответ — классическая корпускула не может «пройти» под барьером; если бы это случилось, то,,например, ~в точке А на рис. 4.1 полная энергия частицы оказалась бы меньше ее потенциальной энергии, что физически абсурдно. Остается ли этот запрет в силе и для микрообъекта? Можно показать, что не остается — он снимается соотношением (3.2). Пусть микрообъект движется откуда-то из 48 бесконечности слева и встречается с потенциальным барьером.
До этой встречи он находился в состоянии свободного движения, сколь угодно долго и поэтому его энергггя имела определенное значение. Но вот микрообьскт вступает во нзаимодействие с барьером, а точнее, с теми объектами, которые обусловили возникновение барьера. Предположим, что взаимодействие длится в течение времени ЛЛ Еогласгго (3.2), энергия микрообъекта в состоянии взаимодействия с барьером уже не будет определенной, а будет характеризоваться неопределенностью ЛЕ~ЦЛЛ Если эта пеопределенность порядка высо- ты барьера У, то последний перестает быть для микрообъекта непреодолимым препятствием. Итак, микрообъект может «пропти» сквозь потенциальпып барьер, Этот специфический Ри' 42 квантовый эффект называют гуннельноглг эффектом.
Он объясняет, в частности, явление сс-распада атомных ядер. Подчеркнем, что прги рассмотрении туннельного эффекта уже нельзя представлять движение микрообъекта по пунктирной линии, изображенногй на рис. 4.1. Ведь пунктирная линия соответствует классической траектории, а у микрообъектов траектории нет. Поэтому не имеет смысла пытаться «уличить> микро- объект в том, что он в какой-то момент времени «оказался под потенциальным барьером». Выше уже отмечалось, что энергия свободво движущегося микрообъскта не квантуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
