Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 49
Текст из файла (страница 49)
о ф(УТ)'(У, )1а= 1, находим следуюшее выражение для дополнительной энергии 1, при 1=!+ —: ЬЕ""" = 2!' ! [(1+ т) т+ (!+ 1 — ™) (т — 1)) =(АВЯЖ (гп — — ) †. 1 Точно так же прп 1=1 — — имеем: 2 ье"""= 2!' ! [(1 — !и+1) п1+(!+О!) (1и — 1)! =(Аееж(1п — — )— ! Отсюда, учитывая, что т! —— т — —, оба последних выражения можно записать в виде одной формулы ЛЕ"" = !А,ьтРИт! = Одет!, (20.43) ЩЖ где О = — — частота ларморовой процессии, а множитель 2тсс ,))анде равен ! 1+ 2 Ы= ! -1" 2 (20.44) Подставляя же вместо шаровых спиноров их значения из (19.24) и (!9.25) и учитывая при этом условие ортогональности для шаровых функций й 20.
Тонкаа структура спектра аоаоропопояойного атома 29$ в = во+ о(дат~ — рсп ), (20. 45) где во — частота излучения в отсутствие магнитного поля (Я=О), до и д — множители Ланде начального и конечного состояний; магнитное квантовое число пт, конечного состояния может принимать три значения; щ = пто, пто -ь 1. / /' / На фиг. 20.4 изображено рассцепление спектральных уровней !тва и 2трз в слабом магнитном поле, причем за единицу расщепления взята ларморова частота. Из фиг. 20.46 видно, что в этом случае мы будем иметь не трн (как в случае нормального эффекта Зеемана), а четыре смещенные линии. Величина смещения определяется формулой (20.45). В случае слабого поля согласно (20.44) находим: о мпо и 2 3 ' Отсюда 2 ств~ = в~ — во = — о, 3 „ ! Гтв, = — о, ств 3 4 йвт = — — о, 3 2 — — о.
3 (20.46) Таким образом, в случае аномального эффекта Зеемана в дополнительной энергии появляется множитель Ланде д, который в случае нормального эффекта Зеемана [см. (16.12)) равняется единице. Дополнительная энергия (20.43] ведет не к обычному триплетному расщеплению (нормальный эффект Зеемана), а дает более сложную картину расщепления (аномальный эффект Зеемана). Ввиду того что тп, может принимать 2/+1 различных значений, каждый уровень при аномальном эффекте Зеемана оасщепляется на 21+1 отдельных подуровней, т. е. внешнее магнитное поле полностью снимает вырождение, имеющее место даже в релятивистской теории атома водорода. Для получения картины расщепления необходимо учесть 2 значения множителя Лэнде у=2 для зч;состояний, д= — для 4 р„-состояний, д= — для р, -состояний и т.
д., а также праэ 3 у. вила отбора для магнитного квантового числа лт,. В частности, при Лсп,=О испускаются компоненты, поляризованные параллельно оси а (т. е. параллельно магнитному полю), а при Лгп,= -т.! находим компоненты, поляризованные перпендикулярно магнитному полю. Формула (20АЗ) приводит нас к следующему значению для частоты излучения: Ч А С Т Ь 11 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА тп, =l/2 лл =г/2 2 а()~1 т — 1~2 1/г Фнг.
20.4. Эффект аеемйпа. а — оаеположепне упоен й 6*э полн, б — аномлльнын эфФект зеемана; а — нормальный эффент Зеемлна. Формула (20.44) для множителя Ланде применима для атома водорода, а также для атомов, обладающих одним валентным электроном. В обшем случае множитель Ланде принимает зна- чение У (1 -1- 1) — ь ( ь + 1) + л (о + 1) а= ' 21(7+1) (20.47) где 1, 5, 7 — обшие орбитальный, спиновый и полный моменты атомов, причем У=!й л- 5). (20.48) Для атомов с двумя электронами на внешней оболочке (например, атомов гелия) наряду с триплетным состоянием 5=1 возможны также одиночные линии (5=0, л'=л.). Для последних спиновые эффекты должны отсутствовать.
Поэтому мы должны при любых полях наблюдать нормальный эффект Зеемана. Случай сильных магнитных полей. ЭФфект Пашена — Бака. Как было указано, аномальный эффект Зеемана появляетси В частности, для элементов первой группы (У=), 7.= — 1, з= — ) ! 1 2) формулы (20.47) и (20.44) тождественно совпадают друг с дру- 1( гом. Для з-состояний (1=0, )=а= — ) множитель Ланде до- 2) стигает максимального значения 4 20. Тонкак структтра спектра водородоподопного атома 2вт в случае слабых полей, когда внешнее магнитное поле не может нарушить спин-орбитальную связь.
Математически это означает, что ЛЕ"'"'-рокЖ' (см. (20.43)] будет много меньше естественного расщепления линий с -е йМ'ат ЛЕ ! Екп — Епи ~ з определяемого формулой (20.39) ЛЕ' » ЛЕ"'"", (20.49) В последнем случае сначала мы должны решить задачу с учетом спин-орбитального взаимодействия и установить связь между шаровыми функциями, образуюшими шаровой спннор, а затем найти дополнительную энергию, которая приводит к аномальному эффекту Зеемана, поскольку множитель Ланде д не равен единице.
В случае сильных полей, когда, наоборот, расщепление за счет внешнего магнитного поля больше, чем за счет спин-орбитального взаимодействия ЛЕкзгн » ЛЕс 0 (20.49а) С~+ г 2 )( Ч ' ) = !"ооХУ( ' д +оз) (Чг„) (20 50) Полагая Ч", = йгУ, ', Ч',= 1РУг (20.51) и учитывая, что д к, м, — 1 — Гг '= пт1уг, дгр (20. 52) находим для определения волновых функций два независимых уравнения: ( хео р Е+ 2 Роо7»(т~+1)) Ч1=0, 2то ( к ее рт Š— — — — про ( — 1)) Чг = О, 2 ого (20.53) совпадающих с точностью до постоянных коэффициентов с со- ответствующими уравнениями проблемы Кеплера.
магнитное поле «разрывает» спин-орбитальную связь и решение для нулевого приближения через шаровые спиноры [см. (19.24) и (19.25)] не должно иметь места. Тогда в (20 37) мы можем пренебречь взаимодействиями и )г'""', и поэтому это уравнение с учетом (20.40) принимает вид: чхсть и велятивистскхя квантовая механика Поэтому мы можем сразу написать значения для энергии: Е,,= — —, + !глеба(тг г+ 2пг,), кМг (20.54) ггг а также выражение для радиальной волновой функции: й=)) г.
(20. 55) Из (20.54) видно, что решения (20.53) соответствуют двум возможным случаям ориентации спина электрона: либо по магниги ному полю (функция Ч"н ги, = — ), либо против него (функ- 11 пгггг грг, гп 2)' Для того чтобы обоим решениям соответствовала бы одна и та же энергия, мы должны положить лго=пг — 1 н тг=пг+1. Тогда мы найдем для спектра энергии П2 Ет = г + Роер~лгг (20.56) а также для волновых функций %=)с гУ ', Чгг=гг гУг"+'. (20.57) которые, кстати сказать, ортогональны друг к другу: ~ Ч',Ч'гс(х= ~ ~ Рог(гг'агг ~ сЮ(Уг ) Уггт =О. (20 58) Поскольку взаимодействие атома с внешним магнитным полем (20.41) содержит только матрицу о,* не смешивающую волновые функции Ч"1 и Ч'г, то под влиянием этого взаимоде11- ! ! ствия переходы из состояния с пг = — в состояние с пг = —— 2 2 должны быть запрещенными, и поэтому Лгп,=О.
Учитывая это обстоятельство н правила отбора для квантового числа пг(бт=О, ч-!), находим на основании !20.56) для спектральных линий норлгальное зеемановское расщепление Л го = обгп = О, (20.50) ч. о, где ларморова частога Роог6' сооягг о= Б 2тос ' Таким образом, в сильных полях (ЛЕ"'о )) ЛЕ") аномальный эффект переходит в нормальный, что находится в согласии с экспериментальными данными (эффект Пашена — Бака). Интересно отметить, что переход аномального эффекта Зее- й зн Лвмбовский сдвиг уровиеи мана в нормальный может быть проиллюстрирован фиг.
20.4, если множитель Ланде и положить равным единице (см. случай в). Тогда расщепление будет Лсо1=Лсое —— О, Лыв=о, а Лыв= — о, т. е. вместо четырех компонентов расщеплений получаем три. В особых случаях, когда для одного энергетического уровня ЛЕ' (ЛЕ" ", а для другого, наоборот, ЛЕ")ЛЕ"'"вили когда для обоих уровней они имеют один и тот же порядок, зеемановское расщепление становится еще более сложным. Поскольку все эти вопросы носят узкоспециальный характер, мы не станем здесь на них останавливаться.
* й 21. ЛЭМБОВСКИЙ СЙВИГ УРОВНЕЙ Электромагнитный вакуум. При движении электрона в атоме он взаимодействует не только с атомным ядром, но и с ваку- умами: электромагнитным, электронно-позитронным (см. э 22) и т. л. Классическим аналогом учета подобного взаимодействия яв- ляется электромагнитная масса электрона, которая, как из- вестно, в случае точечного электрона обращается в бесконеч- ность. Точно так же и в квантовой электродинамике, где элек- трон по существу рассматривается как точечный, взаимодействие е~о с вакуумом приводит к расходящимся результатам.
Однако большим достижением современной квантовой тео- рии поля оказалось развитие так называемой п р о б л е м ы р е- г у ля р и за пи и, позволяющей дать рецепт выделения в этом расходящемся взаимодействии таких конечных вакуумных чле- нов, которые можно наблюдать экспериментально, Мы не имеем возможности подробно останавливаться на су- шеству|оших методах регуляризации и укажем здесь лишь их основную идею. Оказывается, взаимодействие электрона, находя1цегося в поле ядра (потенциальная энергия и' чь О), и свободного элек- трона (У = О) с вакуумом несколько различно, хотя оба они яв- ляются расходящимися.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
